阿基米德螺線（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）

阿基米德螺線（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）

阿基米德螺線 （數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)） 次瀏覽 | 2022.05.18 22:34:02 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 阿基米德螺線數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

基米德螺線（亦稱等速螺線），得名于公元前三世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家阿基米德。阿基米德螺線是一個(gè)點(diǎn)勻速離開一個(gè)固定點(diǎn)的同時(shí)又以固定的角速度繞該固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡。阿基米德在其著作《螺旋線》中對(duì)此作了描述。

中文名

阿基米德螺線

別稱

阿基米德曲線

提出者

阿基米德

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

亦稱

“等速螺線”

方程式

極坐標(biāo)方程式

它的極坐標(biāo)方程為:r=aθ這種螺線的每條臂的距離永遠(yuǎn)相等于2πa。

笛卡爾坐標(biāo)方程式為:

r=10*(1+t)

x=r*cos(t*360)

y=r*sin(t*360)

z=0

阿基米德螺旋線的標(biāo)準(zhǔn)極坐標(biāo)方程:r(θ)=a+b(θ)

式中:

b-阿基米德螺旋線系數(shù)，mm/°，表示每旋轉(zhuǎn)1度時(shí)極徑的增加(或減小)量;

θ-極角，單位為度，表示阿基米德螺旋線轉(zhuǎn)過的總度數(shù);

a-當(dāng)θ=0°時(shí)的極徑，mm。

改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ>0，另一條θ<0。兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn)90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。

在極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系(笛卡爾坐標(biāo)系)間轉(zhuǎn)換:

圖一圖二

極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo)r和θ可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值(圖一)。由上述二公式，可得到從直角坐標(biāo)系中x和y兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo)(圖二)。

在x=0的情況下:若y為正數(shù)，則θ=90°(π/2radians);若y為負(fù)，則θ=270°(3π/2radians).

相關(guān)發(fā)現(xiàn)

阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。他公元前287年生于希臘敘拉古附近的一個(gè)小村莊。11歲時(shí)去埃及，到當(dāng)時(shí)世界著名學(xué)術(shù)中心、被譽(yù)為“智慧之都”的亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生柯農(nóng)學(xué)習(xí)，以后和亞歷山大的學(xué)者保持緊密聯(lián)系，因此他算是亞歷山大學(xué)派的成員。

公元前240年，阿基米德由埃及回到故鄉(xiāng)敘拉古，并擔(dān)任了國(guó)王的顧問。從此開始了對(duì)科學(xué)的全面探索，在物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域取得了舉世矚目的成果，成為古希臘最偉大的科學(xué)家之一。后人對(duì)阿基米德給以極高的評(píng)價(jià)，常把他和牛頓、高斯并列為有史以來三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家。

據(jù)說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的。柯農(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。

阿基米德螺線的畫法

1、阿基米德螺線的幾何畫法

以適當(dāng)長(zhǎng)度(OA)為半徑，畫一圓O；作一射線OA；作一點(diǎn)P于射線OA上；模擬點(diǎn)A沿圓O移動(dòng)，點(diǎn)P沿射線OA移動(dòng)；畫出點(diǎn)P的軌跡；隱藏圓O、射線OA&點(diǎn)P；即可得到螺線

2、阿基米德螺線的簡(jiǎn)單畫法

有一種最簡(jiǎn)單的方法畫出阿基米德螺線，用一根線纏在一個(gè)線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。

更多信息

阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當(dāng)一點(diǎn)P沿動(dòng)射線OP一等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，這射線有以等角速度繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。

它的極坐標(biāo)方程為：r=aθ

這種螺線的每條臂的距離永遠(yuǎn)相等于2πa。

笛卡爾坐標(biāo)

方程式為：

r=10*(1+t)

x=r*cos(t*360)

y=r*sin(t*360)

z=0

一動(dòng)點(diǎn)沿一直線作等速移動(dòng)的同時(shí)，該直線又繞線上一點(diǎn)O作等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所走的軌跡就是阿基米德渦線。直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)的距離稱為導(dǎo)程用字母S表示。

阿基米德渦線在凸輪設(shè)計(jì)、車床卡盤設(shè)計(jì)、渦旋彈簧、螺紋、蝸桿設(shè)計(jì)中應(yīng)用較多。阿基米德渦線畫法如圖：

（1）先以導(dǎo)程S為半徑畫圓，再將圓周及半徑分成相同的n等分，圖中n=8；

（2）以O(shè)為圓心，作各同心圓弧于相應(yīng)數(shù)字的半徑相交，得交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、…Ⅷ各點(diǎn)，即為阿基米德渦線上的點(diǎn)；

（3）依次光滑連接各點(diǎn)，即得阿基米德渦線。

與希皮亞斯割圓曲線相類似，阿基米德螺線不但可以用來三等分角，也可以用來化圓為方。不過，后者也是阿基米德自己完成的。如圖一，螺線P=aθ的極點(diǎn)為O，第一圈終于點(diǎn)A。以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，則圓周長(zhǎng)等于=OA。這樣，阿基米德輕易解決化圓為方問題。

圖一

稍遲于阿基米德的阿波羅尼斯用圓柱螺線解決了化圓為方問題，如圖4-2-27所示。設(shè)圓O是一直圓柱之底面，A是螺旋線之起始點(diǎn)。螺旋線在其上任一點(diǎn)P處的切線交底所在平面于T。則PT在底平面上的投影BT與AB相等。因此，當(dāng)P點(diǎn)恰好為A點(diǎn)所在母線上離A最近的點(diǎn)時(shí)，TB與圓周長(zhǎng)相等。從而化圓為方問題得以解決。

圖二

在阿波羅尼斯之后，機(jī)械師卡普斯（Carpus）也解過化圓為方問題。他所用的“雙重運(yùn)動(dòng)曲線”今已失傳，據(jù)數(shù)學(xué)史家唐內(nèi)里（P.Tannery,1843～1904）推測(cè)，它是擺線，亦即卡普斯是通過將圓沿直線滾動(dòng)一周獲得圓周長(zhǎng)的（圖二）。

文藝復(fù)興時(shí)期，意大利著名藝術(shù)大師達(dá)·芬奇（1452～1519）為化圓為方問題所吸引，并獲巧妙方法。如圖4-2-29，設(shè)圓半徑為R，以圓為底作高為R/2的圓柱，然后將圓柱在平面上滾動(dòng)一周，得矩形。將矩形化方，即完成化圓為方。

以上我們看到，希臘人很早就意識(shí)到（但未能證明）三大難題不能以尺規(guī)在有限步驟內(nèi)完成。但它們看似如此簡(jiǎn)單，以至希臘人未能抵制誘惑；他們不斷尋求尺規(guī)以外的方法，結(jié)果導(dǎo)致圓錐曲線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線和螺線等高次曲線和超越曲線的相繼發(fā)現(xiàn)。三大難題使一代又一代希臘數(shù)學(xué)家顯示了非凡的聰明才智，并深刻影響了希臘幾何的整個(gè)發(fā)展過程。

三大難題的魅力并未隨希臘文明的淪亡而消失。事實(shí)上，從希臘以后特別是歐洲文藝復(fù)興時(shí)期以來直到本世紀(jì)，對(duì)于它們的研究從未停止過。

1837年，年輕的法國(guó)數(shù)學(xué)家萬采爾（P.L.Wantzel，1814～1848）證明了三等分角和倍立方尺規(guī)作圖之不可能性。1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（C.Lindemann,1852～1938）證明了π的超越性，從而證明了化圓為方的尺規(guī)作圖之不可能性。以后數(shù)學(xué)家們又還建立了兩條一般定理：

定理1：任何可用尺規(guī)由已知單位長(zhǎng)度作出的量必為代數(shù)數(shù)；

定理2：若一有理系數(shù)三次方程沒有有理根，則它的根不可能用尺規(guī)由一給定單位長(zhǎng)度作出。

工程套用：阿基米德螺旋泵

阿基米德螺旋泵的工作原理是當(dāng)電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)泵軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),螺桿一方面繞本身的軸線旋轉(zhuǎn),另一方面它又沿襯套內(nèi)表面滾動(dòng),于是形成泵的密封腔室。螺桿每轉(zhuǎn)一周,密封腔內(nèi)的液體向前推進(jìn)一個(gè)螺距,隨著螺桿的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),液體螺旋形方式從一個(gè)密封腔壓向另一個(gè)密封腔,最后擠出泵體。

螺桿泵是一種新型的輸送液體的機(jī)械,具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作安全可靠、使用維修方便、出液連續(xù)均勻、壓力穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。[1]

參考資料