空間向量（空間中具有大小和方向的量）

空間向量（空間中具有大小和方向的量）

空間向量 （空間中具有大小和方向的量） 次瀏覽 | 2022.10.02 20:28:08 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 空間向量空間中具有大小和方向的量

空間向量（space?vector）是一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，是指空間中具有大小和方向的量。

中文名

空間向量

英文名

space vector

范疇

數(shù)學(xué)

空間向量

有大小和方向的量

向量規(guī)定

向量的大小叫做向量的長度或模(modulus)。

1.長度為0的向量叫做零向量，記為0。

2.模為1的向量稱為單位向量。

3.與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a。

4.方向相等且模相等的向量稱為相等向量。

基本定理

1、共線向量定理

兩個(gè)空間向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb

2、共面向量定理

如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使c=ax+by

3、空間向量分解定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，零向量的表示唯一。

卦限

三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每個(gè)部分叫做一個(gè)卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時(shí)針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。

空間向量的八個(gè)卦限的符號(hào)
	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ
x	+	-	-	+	+	-	-	+
y	+	+	-	-	+	+	-	-
z	+	+	+	+	-	-	-	-

問題

立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計(jì)算線線角，而如何用向量證明線面平行，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個(gè)拋磚引玉的作用。

常識(shí)

以下用向量法求解的簡單常識(shí)：

1、空間一點(diǎn)P位于平面MAB的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使得PM=xPA+yPB

2、對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），則四點(diǎn)P、A、B、C共面．

3、利用向量證a∥b，就是分別在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．

4、利用向量證a⊥b，就是分別在a，b上取向量a·b=0．

5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取a,b，求：<a,b>的問題．

6、利用向量求距離即求向量的模問題．

7、利用坐標(biāo)法研究線面關(guān)系或求角和距離，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，正確表達(dá)已知點(diǎn)的坐標(biāo)．

計(jì)算

第一步：

按照?qǐng)D形建立三維坐標(biāo)系O-xyz

之后，將點(diǎn)的坐標(biāo)帶進(jìn)去，求出所需向量的坐標(biāo)。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

因?yàn)榉ㄏ蛄看怪庇诖似矫?/p>

所以n垂直于此面內(nèi)兩相交直線（其方向向量為a，b)

可列出兩個(gè)方程n·a=0,n·b=0

兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)

然后根據(jù)計(jì)算方便

取z（或x或y）等于一個(gè)數(shù)（如：1，√2等）

代入即可求出面的一個(gè)法向量n的坐標(biāo)了.

會(huì)求法向量后

1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量n的夾角，所求角為上述夾角的余角或者夾角減去π/2.

2.點(diǎn)到平面的距離就是求出該面的法向量n在平面上任取(除被求點(diǎn)在該平面的射影外）一點(diǎn)，

求出平面外那點(diǎn)和你所取的那點(diǎn)所構(gòu)成的向量，記為a

點(diǎn)到平面的距離就是法向量n與a的數(shù)量積的絕對(duì)值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

3.二面角的求法就是求出兩個(gè)平面的法向量

可以求出兩個(gè)法向量的夾角為兩向量的數(shù)量積除以兩向量模的乘積：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)

那么二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補(bǔ)角。

4.設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν則

線線平行l(wèi)∥m<=>a∥b<=>a=kb

線面平行l(wèi)∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0

面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν

線線垂直l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0

線面垂直l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ

面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=0

5.向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則

1.|a|=

2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

5.a·b=x1x2+y1y2

6.a∥b<=>x1y2=x2y1(一般寫為：x1y2-x2y1=0)

7.a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

8.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2)/[]

注：x1中的1為下標(biāo)，以此類推。

參考資料