林德曼-魏爾斯特拉斯定理（數(shù)學(xué)定理）

林德曼-魏爾斯特拉斯定理（數(shù)學(xué)定理）

林德曼-魏爾斯特拉斯定理 （數(shù)學(xué)定理） 次瀏覽 | 2022.09.05 14:47:28 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 林德曼-魏爾斯特拉斯定理數(shù)學(xué)定理

林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrasstheorem）是一個可以用于證明實數(shù)的超越性的定理。它表明，如果α1,...,αn是代數(shù)數(shù)，在有理數(shù)?內(nèi)是線性獨立的，那么在?內(nèi)是代數(shù)獨立的；也就是說，擴張域在?內(nèi)具有超越次數(shù)n。

一個等價的表述是：如果α1,...,αn是不同的代數(shù)數(shù)，那么指數(shù)在代數(shù)數(shù)范圍內(nèi)是線性獨立的。

這個定理由林德曼和魏爾斯特拉斯命名。林德曼在1882年證明了對于任何非零的代數(shù)數(shù)α，eα都是超越數(shù)，因此推出了圓周率是超越數(shù)。魏爾斯特拉斯在1885年證明了一個更一般的結(jié)果。

這個定理，以及格爾豐德-施奈德定理，可以推廣為Schanuel猜想。

中文名

林德曼-魏爾斯特拉斯定理

外文名

Lindemann–Weierstrass?theorem

適用領(lǐng)域

數(shù)學(xué)

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

本質(zhì)

用于證明實數(shù)的超越性的定理

研究者

林德曼、魏爾斯特拉斯

定理定義

如果是代數(shù)數(shù)，在有理數(shù)內(nèi)是線性獨立的，那么在內(nèi)是代數(shù)獨立的；也就是說，擴張域在內(nèi)具有超越次數(shù)。

一個等價的表述是：如果是不同的代數(shù)數(shù)，那么指數(shù)在代數(shù)數(shù)范圍內(nèi)是線性獨立的。[1]

定理推廣e和π的超越性

e和π的超越性是這個定理的直接推論。

利用反三角函數(shù)序列｛ａｒｃｃｏｓｃｏｓ（πｎ）｝的一個線性序列ｄｅｇ（ｃｎπ）＝１，去逼近ｄｅｇ（πｎ）＝ｎ的一個有理系數(shù)的多項式的方法去證明π為超越數(shù)。從而改進了１８８２年德國數(shù)學(xué)家林德曼關(guān)于的超越性證明。

假設(shè)是一個非零的代數(shù)數(shù)，那么在有理數(shù)范圍內(nèi)是線性獨立的集合，因此根據(jù)定理的第一種表述，是一個代數(shù)獨立的集合，也就是說，是超越數(shù)。特別地，是超越數(shù)。

另外，利用定理的第二種表述，我們可以證明，如果是一個非零的代數(shù)數(shù)，那么就是不同的代數(shù)數(shù)的集合，因此集合在代數(shù)數(shù)范圍內(nèi)是線性獨立的，特別地，不能是代數(shù)數(shù)，因此一定是超越數(shù)。

我們來證明是超越數(shù)。如果v是代數(shù)數(shù)，2也是代數(shù)數(shù)（因為2是代數(shù)數(shù)），那么根據(jù)林德曼-魏爾斯特拉斯定理，（參見歐拉公式）也是超越數(shù)，這與-1是代數(shù)數(shù)的事實矛盾。

把這個證明稍微改變以下，可以證明如果α是一個非零的代數(shù)數(shù)，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它們的雙曲函數(shù)也是超越數(shù)。

p進數(shù)猜想

進數(shù)林德曼-魏爾斯特拉斯猜想，就是這個定理在進數(shù)中也成立：假設(shè)是素數(shù)，是進數(shù)，它們都是代數(shù)數(shù)，且在內(nèi)線性獨立，使得對于所有的，都有。那么進指數(shù)在內(nèi)是代數(shù)獨立的。

驗證推導(dǎo)

假設(shè)是一個無界序列，則有一個子序列使得存在。由于是無界的，故而對于所有的，中的元素的絕對值無限次超過k。

令。不難發(fā)現(xiàn)，集合非空。[2]

參考資料