函數(shù)（數(shù)學術語）

函數(shù)（數(shù)學術語）

函數(shù) （數(shù)學術語） 次瀏覽 | 2022.06.20 11:43:06 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 函數(shù)數(shù)學術語

函數(shù)（function），最早由中國清朝數(shù)學家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學》。之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。函數(shù)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。

中文名

函數(shù)

外文名

function

別稱

含數(shù)、方程表達式

表達式

y=f(x)

提出者

萊布尼茨（G.W.Leibniz）

提出時間

16世紀

應用學科

數(shù)學、計算機科學等

適用領域范圍

物理、數(shù)學、理論學

表示法

列表法、圖像法、解析法

三要素

自變量、因變量、對應法則

由來

中文數(shù)學書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞。是我國清代數(shù)學家李善蘭在翻譯《代數(shù)學》（1859年）一書時，把“function”譯成“函數(shù)”的.

中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思.李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù).”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量.這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù).”所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思.我們所說的方程的確切定義是指含有未知數(shù)的等式。但是方程一詞在我國早期的數(shù)學專著《九章算術》中,意思指的是包含多個未知量的聯(lián)立一次方程，即所說的線性方程組。

特性有界性

設函數(shù)f(x)在區(qū)間X上有定義，如果存在M>0,對于一起屬于區(qū)間X上的x，恒有,則稱f(x)在區(qū)間X上有界，否則稱f(x)在區(qū)間上無界。

單調(diào)性

設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I包含于D。如果對于區(qū)間上任意兩點x及x，當xf(x)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

復變函數(shù)

復變函數(shù)是定義域為復數(shù)集合的函數(shù)。

復數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。復數(shù)的一般形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。極限的運算題目類型多,而且技巧性強,靈活多變,難教也難學。極限被稱為高等數(shù)學學習的第一個難關,為此,對高等數(shù)學中一元函數(shù)極限的常見求解方法進行了歸納總結(jié),并在某些具體求解方法中就其中要注意的細節(jié)和技巧做了說明,以便我們了解函數(shù)的各種極限以及對各類函數(shù)極限進行計算,希望對整個高等數(shù)學的教和學有一定的指導意義。[1]

以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù)，而與之相關的理論就是復變函數(shù)論。解析函數(shù)是復變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復變函數(shù)論主要就研究復數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復變函數(shù)論為解析函數(shù)論。

復變函數(shù)論的發(fā)展簡況

復變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

復變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就象微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。

為復變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學科的先驅(qū)。

后來為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，復變函數(shù)論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數(shù)學家列夫勒、法國數(shù)學家彭加勒、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ鳎_拓了復變函數(shù)論更廣闊的研究領域，為這門學科的發(fā)展做出了貢獻。

復變函數(shù)論在應用方面，涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的。

比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運用復變函數(shù)論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。

復變函數(shù)論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數(shù)學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。

復變函數(shù)論的內(nèi)容

復變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。

如果當函數(shù)的變量取某一定值的時候，函數(shù)就有一個唯一確定的值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這樣的函數(shù)。

復變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在離曼曲面上就變成單值函數(shù)。

黎曼曲面理論是復變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。關于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質(zhì)。

復變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。

留數(shù)理論是復變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復雜。應用留數(shù)理論對于復變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數(shù)定積分，可以化為復變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點上求留數(shù)的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。

把單值解析函數(shù)的一些條件適當?shù)馗淖兒脱a充，以滿足實際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。

廣義解析函數(shù)的應用范圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，自2002年來這方面的理論發(fā)展十分迅速。

從柯西算起，復變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。2002年，復變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應用。

參考資料