孿生質(zhì)數(shù)（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）

孿生質(zhì)數(shù)（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）

孿生質(zhì)數(shù) （數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)） 次瀏覽 | 2022.07.29 12:04:58 更新 來(lái)源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 孿生質(zhì)數(shù)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

孿生素?cái)?shù)，就是指相差2的素?cái)?shù)對(duì)，例如3和5，5和7，11和13。孿生素?cái)?shù)猜想正式由希爾伯特在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的報(bào)告上第8個(gè)問(wèn)題中提出，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2是素?cái)?shù)。素?cái)?shù)對(duì)（p，p+2）稱為孿生素?cái)?shù)。在1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了一般的猜想：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)（p，p+2k）。k=1的情況就是孿生素?cái)?shù)猜想。

中文名

孿生質(zhì)數(shù)

英文名

Twin prime

別稱

孿生素?cái)?shù)

適用領(lǐng)域范圍

數(shù)論

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

核心問(wèn)題

孿生素?cái)?shù)猜想

簡(jiǎn)介

只有1和本身即只能被自身和1整除的正整數(shù)叫做素?cái)?shù)。孿生素?cái)?shù)是指兩個(gè)相差為2的素?cái)?shù)，例如3和5，17和19。[1]而隨著素?cái)?shù)的增大，下一個(gè)素?cái)?shù)離上一個(gè)素?cái)?shù)應(yīng)該越來(lái)越遠(yuǎn)，故古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得猜想，存在無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)，他們只相差2，例如3和5，5和7，2003663613×2195,000-1和2003663613×2195,000+1等等。

素?cái)?shù)定理說(shuō)明了素?cái)?shù)在趨于無(wú)窮大時(shí)變得稀少的趨勢(shì)。而孿生素?cái)?shù)，與素?cái)?shù)一樣，也有相同的趨勢(shì)，并且這種趨勢(shì)比素?cái)?shù)更為明顯。

由于孿生素?cái)?shù)猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯(lián)系，因此不斷有學(xué)術(shù)共同體外的數(shù)學(xué)愛(ài)好者試圖證明它。有些人聲稱已經(jīng)證明了孿生素?cái)?shù)猜想。然而，尚未出現(xiàn)能夠通過(guò)專業(yè)數(shù)學(xué)工作者審視的證明。

1849年，波林那克（Alphon de Polignac）提出了更一般的猜想：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2k)。k=1的情況就是孿生素?cái)?shù)猜想。

進(jìn)展

以下是S100以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)分布表

（以孿中為準(zhǔn)，含3；5） 　　N 對(duì)數(shù) 最后一對(duì) 　　s 1 8 73 71 　　s 2 7 199 197 　　s 3 8 433 431 　　s 4 7 661 659 　　s 5 9 1063 1061 　　s 6 11 1489 1487 　　s 7 11 1999 1997 　　s 8 13 2593 2591 　　s 9 10 3169 3167 　　s 10 19 3931 3929 　　s 11 19 4723 4721 　　s 12 14 5521 5519 　　s 13 15 6553 6551 　　s 14 20 7561 7559 　　s 15 14 8629 8627 　　s 16 18 9769 9767 　　s 17 18 10939 10937 　　s 18 20 12253 12251 　　s 19 11 13681 13679 　　s 20 20 14869 14867 　　s 21 20 16633 16631 　　s 22 28 18133 18131 　　s 23 19 19843 19841 　　s 24 29 21601 21599 　　s 25 26 23371 23369 　　s 26 16 25171 25169 　　s 27 23 27109 27107 　　s 28 28 29209 29207 　　s 29 23 31321 31319 　　s 30 32 33349 33347 　　s 31 30 35593 35591 　　s 32 25 37993 37991 　　s 33 23 40153 40151 　　s 34 28 42841 42839 　　s 35 28 45343 45341 　　s 36 25 47809 47807 　　s 37 37 50593 50591 　　s 38 30 53281 53279 　　s 39 26 56101 56099 　　s 40 34 59023 59021 　　s 41 25 61981 61979 　　s 42 27 64921 64919 　　s 43 31 68113 68111 　　s 44 37 71263 71261 　　s 45 32 74509 74507 　　s 46 33 77713 77711 　　s 47 37 81199 81197 　　s 48 37 84631 84629 　　s 49 38 88003 88001 　　s 50 35 91573 91571 　　s 51 43 95443 95441 　　s 52 41 99139 99137 　　s 53 34 102931 102929 　　s 54 39 106861 106859 　　s 55 36 110881 110879 　　s 56 40 114799 114797 　　s 57 43 118903 118901 　　s 58 46 122869 122867 　　s 59 34 127291 127289 　　s 60 42 131713 131711 　　s 61 44 136069 136067 　　s 62 35 140551 140549 　　s 63 40 145009 145007 　　s 64 47 149731 149729 　　s 65 51 154279 154277 　　s 66 43 159193 159191 　　s 67 46 163993 163991 　　s 68 36 168901 168899 　　s 69 37 173779 173777 　　s 70 55 178909 178907 　　s 71 56 183973 183971 　　s 72 44 189151 189149 　　s 73 46 194269 194267 　　s 74 46 199753 199751 　　s 75 47 205033 205031 　　s 76 53 210601 210599 　　s 77 34 215983 215981 　　s 78 53 221719 221717 　　s 79 51 227473 227471 　　s 80 55 233161 233159 　　s 81 47 238921 238919 　　s 82 42 244861 244859 　　s 83 54 250969 250967 　　s 84 47 256903 256901 　　s 85 45 262783 262781 　　s 86 65 269221 269219 　　s 87 50 275593 275591 　　s 88 51 281923 281921 　　s 89 55 288361 288359 　　s 90 46 294649 294647 　　s 91 56 301363 301361 　　s 92 56 307873 307871 　　s 93 59 314599 314597 　　s 94 61 321469 321467 　　s 95 72 328129 328127 　　s 96 59 335173 335171 　　s 97 45 342073 342071 　　s 98 56 349081 349079 　　s 99 56 356263 356261 　　s 100 61 363439 363437 　　s 101 44 370873 370871

素?cái)?shù)——那些因數(shù)除了1就是他們本身的數(shù)們——就像代數(shù)的原子一樣。從歐幾里得——他在2000年前證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)——開(kāi)始，它們就讓無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家們?yōu)橹畠A倒。

因?yàn)樗財(cái)?shù)從根本上和乘法相關(guān)，理解他們和加法相關(guān)的性質(zhì)就變得很困難。一些數(shù)學(xué)上最古老的未解之謎就和素?cái)?shù)和加法相關(guān)，其中之一就是孿生素?cái)?shù)Q——存在無(wú)限多組差為2的素?cái)?shù)對(duì)。另一個(gè)則是哥德巴赫猜想，這個(gè)猜想提出所有的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

在自然數(shù)列的起始部分存在著大量的素?cái)?shù)，但是隨著數(shù)字變大，它們變得越來(lái)越稀少。舉例來(lái)說(shuō)，在前10個(gè)自然數(shù)里，40%都是素?cái)?shù)——2，3，5和7——但是在所有的10位數(shù)里，僅有4%的數(shù)是素?cái)?shù)。在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們掌握了素?cái)?shù)減少的規(guī)律：在大數(shù)中，連個(gè)素?cái)?shù)之間的間隔大約是位數(shù)的2.3倍。舉例說(shuō)明，在100位的數(shù)中，兩個(gè)素?cái)?shù)的平均間隔大約是230。

但是這只是平均而言。素?cái)?shù)通常比平均預(yù)計(jì)的更加緊密的出現(xiàn)，或者相隔更遠(yuǎn)。具體來(lái)說(shuō)，“孿生”素?cái)?shù)通常扎堆出現(xiàn)，比如3和5還有11和13，他們的差僅為2。而在大數(shù)中，孿生素?cái)?shù)似乎從沒(méi)有完全消失（詳見(jiàn)本詞條的最大值）。

1849年，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2k)。k等于1時(shí)就是孿生素?cái)?shù)猜想，而k等于其他自然數(shù)時(shí)就稱為弱孿生素?cái)?shù)猜想（即孿生素?cái)?shù)猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。

從那時(shí)開(kāi)始，這些猜想的內(nèi)在吸引力冠予了它們數(shù)學(xué)的圣杯的稱號(hào)，雖然他們可能沒(méi)有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。雖然有很多數(shù)學(xué)家們致力于證明這一猜想，他們還是不能排除素?cái)?shù)的間隔會(huì)一直增長(zhǎng)最終超過(guò)一個(gè)特定上限的可能。

1921年，英國(guó)數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個(gè)與波利尼亞克猜想類似的猜想，通常稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”（即孿生素?cái)?shù)猜想的強(qiáng)化版）。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。中國(guó)數(shù)學(xué)家周海中指出：要證明強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想，人們?nèi)砸鎸?duì)許多巨大的困難。

最大值

目前已知最大的孿生素?cái)?shù)共有388,342位數(shù)，通過(guò)分布式計(jì)算項(xiàng)目Primegrid的Sophie Germain素?cái)?shù)搜索項(xiàng)目于2016年9月14日發(fā)現(xiàn)：

2,996,863,034,895×21,290,000±1

非估算性孿生質(zhì)數(shù)

早在20世紀(jì)初，德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道就推測(cè)孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多，許多跡象也越來(lái)越支持這個(gè)猜想。最先想到的方法是使用歐拉在證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)所采取的方法。設(shè)所有的素?cái)?shù)的倒數(shù)和為：

如果素?cái)?shù)是有限個(gè)，那么這個(gè)倒數(shù)和自然是有限數(shù)。但是歐拉證明了這個(gè)和是發(fā)散的，即是無(wú)窮大。由此說(shuō)明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。1919年，挪威數(shù)學(xué)家布隆仿照歐拉的方法，求所有孿生素?cái)?shù)的倒數(shù)和：

如果也能證明這個(gè)和比任何數(shù)都大，就證明了孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)了。這個(gè)想法很好，可是事實(shí)卻違背了布隆的意愿。他證明了這個(gè)倒數(shù)和是一個(gè)有限數(shù)，這個(gè)常數(shù)就被稱為布隆常數(shù)：b=1.90216054…布隆還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任何一個(gè)給定的整數(shù)m，都可以找到m個(gè)相鄰素?cái)?shù)，其中沒(méi)有一個(gè)孿生素?cái)?shù)。

1920年代，通過(guò)使用著名的篩理論（Sieve theory，基于埃拉托斯特尼篩法的理論），挪威的維果·布朗（Viggo Brun）證明了2能表示成兩個(gè)最多有9個(gè)素?cái)?shù)因子的數(shù)的差。這個(gè)結(jié)論已經(jīng)有些近似于孿生素?cái)?shù)猜想了。可以看到，只要將這個(gè)證明中的“最多有9個(gè)素?cái)?shù)因子的數(shù)”改進(jìn)到“最多有1個(gè)素?cái)?shù)因子的數(shù)”，就可以證明孿生素?cái)?shù)猜想了。

1966年由已故的我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)利用篩法（sieve method）所取得的。陳景潤(rùn)證明了：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2要么是素?cái)?shù)，要么是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這個(gè)結(jié)果與他關(guān)于Goldbach猜想的結(jié)果很類似。一般認(rèn)為，由于篩法本身的局限性，這一結(jié)果在篩法范圍內(nèi)很難被超越。

2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報(bào)道張益唐證明了“存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)”，這一研究隨即被認(rèn)為在孿生素?cái)?shù)猜想這一終極數(shù)論問(wèn)題上取得了重大突破，甚至有人認(rèn)為其對(duì)學(xué)界的影響將超過(guò)陳景潤(rùn)的“1+2”證明。在最新研究中，張益唐在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，發(fā)現(xiàn)存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)，從而在孿生素?cái)?shù)猜想這個(gè)重要問(wèn)題的道路上前進(jìn)了一大步。

孿生素?cái)?shù)猜想可以弱化為“能不能找到一個(gè)正數(shù)，使得有無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)之差小于這個(gè)給定正數(shù)”，在孿生素?cái)?shù)猜想中，這個(gè)正數(shù)就是2。而張益唐找到的正數(shù)是“7000萬(wàn)”。盡管從2到7000萬(wàn)是一段很大的距離，《自然》的報(bào)道還是稱其為一個(gè)“重要的里程碑”。正如美國(guó)圣何塞州立大學(xué)數(shù)論教授Dan Goldston所言，“從7000萬(wàn)到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比于從無(wú)窮到7000萬(wàn)的距離（指張益唐的工作）來(lái)說(shuō)是微不足道的。”

2013年5月13日，張益唐在美國(guó)哈佛大學(xué)發(fā)表主題演講，介紹了他的這項(xiàng)研究進(jìn)展。《自然》的報(bào)道稱，如果這個(gè)結(jié)果成立，就是第一次有人正式證明存在無(wú)窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì)。換言之，張益唐將給孿生素?cái)?shù)猜想證明開(kāi)一個(gè)真正的“頭”。世界頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）將準(zhǔn)備接受張益唐作出證明的這篇文章，審稿人還評(píng)價(jià)“其證明是對(duì)的，并且是一流的數(shù)學(xué)工作”。

張益唐的論文在5月14號(hào)在網(wǎng)絡(luò)上公開(kāi)，兩個(gè)星期后的5月28號(hào)，這個(gè)常數(shù)下降到了6000萬(wàn)。僅僅過(guò)了兩天的5月31號(hào)，下降到了4200萬(wàn)。又過(guò)了三天的6月2號(hào)，則是1300萬(wàn)。次日，500萬(wàn)。6月5號(hào)，40萬(wàn)。在英國(guó)數(shù)學(xué)家Tim Gowers等人發(fā)起的“Polymath”計(jì)劃中，孿生素?cái)?shù)問(wèn)題成為了一個(gè)在全球數(shù)學(xué)工作者中利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行合作的一個(gè)典型。人們不斷的改進(jìn)張益唐的證明，進(jìn)一步拉近了與最終解決孿生素?cái)?shù)猜想的距離。截至2014年10月9日(2014-10-09)[update],素?cái)?shù)對(duì)之差被縮小為≤246。從246到2，雖然離孿生質(zhì)數(shù)的桂冠近在咫尺，但道路越來(lái)越艱難，誰(shuí)能摘冠、何時(shí)摘冠不得而知。

估算性

證明孿生素?cái)?shù)猜想的另一類結(jié)果則是估算性結(jié)果。這類結(jié)果估算的是相鄰素?cái)?shù)之間的最小間隔Δ，更確切地說(shuō)是：

翻譯成白話文，這個(gè)表達(dá)式所定義的是兩個(gè)相鄰素?cái)?shù)之間的間隔，與其中較小的那個(gè)素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)值之比在整個(gè)素?cái)?shù)集合中所取的最小值。很顯然，孿生素?cái)?shù)猜想如果成立，那么Δ必須等于0。因?yàn)閷\生素?cái)?shù)猜想表明pn+1-pn=2對(duì)無(wú)窮多個(gè)n成立，而ln(pn)→∞，因此兩者之比的最小值對(duì)于孿生素?cái)?shù)集合（從而對(duì)于整個(gè)素?cái)?shù)集合也）趨于零。不過(guò)要注意，Δ=0只是孿生素?cái)?shù)猜想成立的必要條件，而不是充份條件。換句話說(shuō)，如果能證明Δ≠0，則孿生素?cái)?shù)猜想就不成立；但證明Δ=0卻并不意味著孿生素?cái)?shù)猜想就一定成立。

對(duì)Δ最簡(jiǎn)單的估算來(lái)自于素?cái)?shù)定理。按照素?cái)?shù)定理，對(duì)于足夠大的x，在x附近素?cái)?shù)出現(xiàn)的幾率為，這表明素?cái)?shù)之間的平均間隔為ln(x)（這也正是Δ的表達(dá)式中出現(xiàn)ln(pn)的原因），從而給出的其實(shí)是相鄰素?cái)?shù)之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1。平均值為1，最小值顯然是小于等于1，因此素?cái)?shù)定理給出Δ≤1。

對(duì)Δ的進(jìn)一步估算始于Hardy和Littlewood。1926年，他們運(yùn)用圓法（circle method）證明了假如廣義Riemann猜想成立，則Δ≤2/3。這一結(jié)果后來(lái)被Rankin改進(jìn)為Δ≤3/5。但這兩個(gè)結(jié)果都有賴于本身尚未得到證明的廣義Riemann猜想，因此只能算是有條件的結(jié)果。1940年，Erd?s利用篩法首先給出了一個(gè)不帶條件的結(jié)果：Δ<1（即把素?cái)?shù)定理給出的結(jié)果中的等號(hào)部分去掉了）。此后Ricci于1955年，Bombieri和Davenport于1966年，Huxley于1977年，分別把這一結(jié)果推進(jìn)到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665及Δ≤0.4425。Goldston和Yildirim之前最好的結(jié)果是Maier在1986年取得的Δ≤0.2486。

2003年，Goldston和Yildirim發(fā)表了一篇論文，聲稱證明了Δ=0。但2003年4月23日，Andrew Granville（University de Montreal）和Kannan Soundararajan（University of Michigan）發(fā)現(xiàn)了Goldston和Yildirim證明中的一個(gè)錯(cuò)誤。2005年，他們與Janos Pintz合作完成了證明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孿生素?cái)?shù)猜想的弱化版本——存在無(wú)窮多對(duì)相距16的素?cái)?shù)——在Δ=0時(shí)也會(huì)成立。

Δ=0被證明后人們的注意力自然就轉(zhuǎn)到了研究Δ趨于0的方式上來(lái)。孿生素?cái)?shù)猜想要求Δ~[log(pn)]（因?yàn)閜n+1-pn=2對(duì)無(wú)窮多個(gè)n成立)。Goldston和Yildirim的證明所給出的則是Δ~[log(pn)]，兩者之間還有相當(dāng)距離。但是看過(guò)Goldston和Yildirim手稿的一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，Goldston和Yildirim所用的方法存在改進(jìn)的空間。這就是說(shuō)，他們的方法有可能可以對(duì)Δ趨于0的方式作出更強(qiáng)的估計(jì)。因此Goldston和Yildirim的證明，其價(jià)值不僅僅在于結(jié)果本身，更在于它很有可能成為未來(lái)一系列研究的起點(diǎn)。

其他方式

1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了更一般的猜想：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2k)。k=1的情況就是孿生素?cái)?shù)猜想。因此，波利尼亞克有時(shí)也被認(rèn)為是孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。

1921年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德提出了以下的強(qiáng)化版猜想：設(shè)為前N個(gè)自然數(shù)里孿生素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。那么其中的常數(shù)是所謂的孿生素?cái)?shù)常數(shù)，其中的p表示素?cái)?shù)。

哈代和李特爾伍德的猜測(cè)實(shí)際上是存在已久的孿生素?cái)?shù)猜想的加強(qiáng)版。孿生素?cái)?shù)猜想是指“孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”。這個(gè)猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測(cè)并不是需要建立在孿生素?cái)?shù)猜想成立的前提上。

參考資料