對稱矩陣（方形矩陣）

對稱矩陣（方形矩陣）

對稱矩陣 （方形矩陣） 次瀏覽 | 2022.04.18 12:30:17 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 對稱矩陣方形矩陣

對稱矩陣（Symmetric?Matrices）是指以主對角線為對稱軸，各元素對應(yīng)相等的矩陣。?在線性代數(shù)中，對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉(zhuǎn)置矩陣和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。

中文名

對稱矩陣

外文名

SymmetricMatrices

定義

元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等

性質(zhì)

對稱矩陣的轉(zhuǎn)置等于其本身

形狀

n 階方陣

線性運算

滿足

基本性質(zhì)

1.對于任何方形矩陣X，X+XT是對稱矩陣。?

2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。

3.對角矩陣都是對稱矩陣。

4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當(dāng)且僅當(dāng)兩者的特征空間相同。

5.用<,>表示??上的內(nèi)積。n×n的實矩陣A是對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有X,?Y∈??，??。

6.任何方形矩陣X，如果它的元素屬于一個特征值不為2的域（例如實數(shù)），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：

?7.每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個復(fù)方形矩陣都可寫作兩個復(fù)對稱矩陣的積。

8.若對稱矩陣A的每個元素均為實數(shù)，A是Symmetric矩陣。

9.一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)所有元素都是零的時候成立。

10.如果X是對稱矩陣，那么對于任意的矩陣A，AXAT也是對稱矩陣。

11.n階實對稱矩陣，是n維歐式空間V（R）的對稱變換在單位正交基下所對應(yīng)的矩陣。

矩陣轉(zhuǎn)置

把一個m×n矩陣的行，列互換得到的n×m矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為A'或AT。?

矩陣轉(zhuǎn)置的運算律(即性質(zhì))：

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(kA)'=kA'(k為實數(shù))

4.(AB)'=B'A'

若矩陣A滿足條件A=A'，則稱A為對稱矩陣。由定義知對稱矩陣一定是方陣，而且位于主對角線對稱位置上的元素必對應(yīng)相等，即aij=aji對任意i,j都成立。

應(yīng)用

1．對稱矩陣

（1）對稱矩陣

在一個n階方陣A中，若元素滿足下述性質(zhì)：

?則稱A為對稱矩陣。

（2）對稱矩陣的壓縮存儲

對稱矩陣中的元素關(guān)于主對角線對稱，故只要存儲矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每兩個對稱的元素共享一個存儲空間。這樣，能節(jié)約近一半的存儲空間。

①按行優(yōu)先順序存儲主對角線（包括對角線）以下的元素

即按??次序存放在一個向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩陣中，元素總數(shù)為n(n+1)/2）。

其中：

sa[0]=a0,0

sa[1]=a1,0

……

sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1

②元素aij的存放位置

aij元素前有i行（從第0行到第i-1行），一共有：

1+2+…+i=i×(i+1)/2個元素。

在第i行上，??之前恰有j個元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1?，因此有：

sa[i×(i+1)/2+j]=aij

③aij和sa[k]之間的對應(yīng)關(guān)系：

若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2

令I(lǐng)=max(i，j)，J=min(i，j)，則k和i，j的對應(yīng)關(guān)系可統(tǒng)一為：

k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

（3）對稱矩陣的地址計算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d

通過下標(biāo)變換公式，能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲表示sa中的對應(yīng)位置k。因此是隨機存取結(jié)構(gòu)。

【例】a21和a12均存儲在sa[4]中，這是因為

k=I×(I+1)/2+J=2×(2+1)/2+1=4

參考資料