十七角星

十七角星的介紹

1796年3月30日是一個關鍵時候，當年高斯才18歲，他發現了如何從“歐氏工具”，也就是以圓規及直尺，作十七邊形的圖。這個發現使高斯在數學家中一炮而紅，也因這事件使高斯決定獻身數學。高斯對此成就是那么自豪與高興，因而告訴他的友人說，他的墓碑上一定要刻上正17邊形，可惜并沒有如愿以償，高斯的紀念碑上刻著一個十七個角的星星，原來是負責紀念碑的雕刻家認為正十七邊形和圓形太像了，大家一定分辨不出來。

十七角星的發明者簡介

卡爾·弗里德里希·高斯,德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數學家，是近代數學奠基者之一，18歲時發現了質數分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理后，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線（正態分布曲線）。其函數被命名為標準正態分布（或高斯分布），并在概率計算中大量使用。1799年高斯于黑爾姆施泰特大學因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。高斯的肖像已經被印在從1989年至2001年流通的10元面值德國馬克的紙幣上。

十七角星的正十七角星作法

先計算或作出cos(360°/17)
設正17邊形中心角為a，則17a=360°,即16a=360°-a
故sin16a=-sina，而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0，兩邊除之有：
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函數積化和差公式)等
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(誘導公式)等，有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有：
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
經計算知xy=-1
因而：x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4
其次再設：x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+√17)/4
y1+y2=(-1-√17)/4
最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表達式,它是數的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規作出 給一圓O，作兩垂直的半徑OA、OB，
在OB上作C點使OC=1/4OB，
在OA上作D點使∠OCD=1/4∠OCA 　作AO延長線上E點使得∠DCE=45度。 作AE中點M，并以M為圓心作一圓過A點，
此圓交OB于F點，再以D為圓心，作一圓
過F點，此圓交直線OA于G4和G6兩點。 過G4作OA垂直線交圓O于P4，
過G6作OA垂直線交圓O于P6，
則以圓O為基準圓，A為正十七邊形之第一頂點P4為第四頂點，P6為第六頂點。
以1/2弧P4P6為半徑，即可在此圓上截出正十七角星的所有頂點。 因為360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用該方法作正十七邊形總誤差為17*4′=68′，在不要求十分精確的情況下還是可行的。 作法如下：1.先畫一條直線，用圓規在上面截取5條相等線段，(盡量越短越好),再截取之前四條線段的和，接續之前畫的線段。這樣，如果每條小線段算作0.1的話，那么整條線段就是1.8。 2.用圓規截取之前5條小線段的長，畫5次，這樣這條線段就是5。1.8/5=0.36。準備工作完畢！ 3.另作一條直線，作垂線，1.8的線段作為對邊，5的線段作為斜邊，那個最小的銳角即是近似的360°/17的角。以其頂點為圓心，重復作角直至閉合。畫一大圓，連接其與17條射線的交點，即可。

十七角星的相關小故事

大多數的同學認識數學王子—高斯(GAUSS.德國數學家西元1777年~1855年)是由國中數學課本講等差級數時有這一則故事。據說高斯在幼年時，老師出了一道復雜的計算題，即「求由1到100所有整數和」，但高斯卻令人驚訝的在幾秒內就算出它的正確答案為〝5050〞。這使他的老師再也不敢看不起鄉下小孩，進而使老師更賣力地幫助高斯，直到他無法教給高斯更進一步的數學知識。

十七角星的相關理論

高斯不但解決了正十七邊形的作圖問題，而且也知道在理論上，用圓規和直尺作圖，哪些正多邊形可以做到，哪些是不能做到。他的定理說：
正n多邊形可以尺規作圖之主要條件是n可以寫成，其中都是不相同的費馬質數。所謂費馬質數就是形如Fn=[2^(2^n)]+1的質數，法國數學家Pirre Fermat（費馬1601-1665）曾研究這些數并猜想所有型如的數皆為質數，這是不對的。Euler（萊昂哈德·歐拉1707~1783）發現含有合數641。