棱柱的體積等于什么?
棱柱的體積公式： V=s*h（s為底面積，h為高）。
1、棱柱的截面主要是對角面和平行于底面的截面，學習時應注意掌握它們的性質，其余各種截面應從其位置及形狀去分析考慮。
2、求棱柱的側面積時，應注意它是求各側面面積的和，而不是指求某一個側面的面積。
（1）、直棱柱的側面積是將棱柱的側面展開后推導得出公式，使用時不應死記公式，而應從側面形狀來分析求取。
（2）、斜棱柱的側面積可分析側面形狀逐個求得，也可用直截面周長與側棱長的乘積。
擴展資料
棱柱的性質
1、底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。
2、正棱柱是側棱都垂直于底面，且底面是正多邊形的棱柱。
特別注意：底面為正多邊形，側棱垂直于底面，但是側棱和底面邊長不一定相等。
3、直棱柱側棱也是垂直于底面，側棱和底面邊長不一定相等，而且底面多邊形形狀也不確定。
4、上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱。正四棱柱是平行六面體的一種特殊情況。簡單的說，正四棱柱進一步是長方體的特殊情況。設其底邊長為a，側棱長為h，則其體積可表示為V=a*a*h。側面積為底面周長*斜高，即S=4a*h。
參考資料來源：百度百科——棱柱
棱柱的體積公式
棱柱的體積公式：V=sh。棱柱是幾何學中的一種常見的三維多面體，指上下底面平行且全等，側棱平行且相等的封閉幾何體。若棱柱的底面為n邊形，那么該棱柱便稱為n-棱柱。如三棱柱就是底面為三角形的棱柱。
多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體。它有三個相關的定義，在傳統意義上，它是一個三維的多胞形，而在更新的意義上它是任何維度的多胞形的有界或無界推廣。將后者進一步一般化，就得到拓撲多面體。
怎么求棱柱體積
設底棱長為x，側棱長為y，
x*y＝180/6＝30
（2x)^2+y^2=13^2
解得x＝6，y＝5。（負值與題意不符，舍去）。
再求棱柱底面六邊形面積
正六邊形中心點與邊的距離為根號下6^2-3^2，等于5。
面積為6*5/2再*6＝90
棱柱體積＝90*5＝450立方厘米。
怎么求棱柱體積
求斜棱柱的體積：
在求斜棱柱的體積時，最常用的方法是用棱柱的底面積乘以棱柱的高來求得，而在引入了直截面的概念之后，利用直截面面積與側棱長之積來求斜棱柱的體積，在某些時候顯得更為簡便。
例：如上例中，若改求該斜三棱柱的體積，就可先求得直截面△BMC的面積，然后利用直截面面積與側棱長的乘積來求得體積。
特別地，對于斜三棱柱來說，我們還可以利用該斜三棱柱的一個側面的面積S與它所對應的側棱到它的距離d的乘積的一半來求其體積，即用公式： V三棱柱= 1/2 Sd表示，公式證明如下：
作出斜三棱柱ABC- ABC的直截面△EBC，沿直截面切下，如圖安置，則斜三棱柱ABC-ABC與直三棱柱EBC-EBC的體積相等，設△EBC中BC=a，BC邊上的高為d，側棱長為l，則
∵VABC-ABC=VEBC-EBC=1/2d·a·l
S矩形BCCB=a·l
∴VABC-ABC=1/2sd
例：斜三棱柱的一個側面的面積等于10c㎡，該側面與其所對的側棱間的距離為6㎝，則該三棱柱的體積為30 c㎡（V= 1/2 ×10×6=30 c㎡）
【注】該公式的另一種證法是在原斜三棱柱的基礎上接上一個和它完全一樣的斜三棱柱,從而組成一平行六面體,利用轉換底面的方法求得該平行六面體的體積，于是原斜三棱柱的體積是它的體積的一半。
2、三棱錐體積的幾種方法：
（1）割補法：
例1：如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA.BC的公垂線DE=h，求三棱錐P-ABC的體積。
【分析】直接求三棱錐P-ABC的體積比較困難，考慮到DE是對棱PA和BC的公垂線，可把原棱錐分割成兩個三棱錐P-EBC和A-EBC，利用PA⊥截面EBC，且△EBC的面積易求，從而體積可求。
【詳解】連結BE、CE
∵DE為PA、BC的公垂線
∴PA⊥DE 又PA⊥BC，DE∩BC=D
從而PA⊥平面EBC
VP-ABC=VP-EBC+VA-EBC
=1/3S△EBC·PE+1/3S△EBC· AE
=1/3S△EBC（PE+AE）
=1/3PA·S△EBC =1/6 lh
【評注】本例的解法稱為分割法，把原三棱錐分割為兩個三棱錐，它們有公共的底面△EBC，而高的和恰為PA，因而計算機簡便，當然也可連PD、AD，用△PDA作為公共的底，把BC作為高。
例2：從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A-BCD，求它的 體積與原正方體體積之比
【分析】可直接求剩余部分的面積，利用底面積與高的乘積的1/3，但比較麻煩。可間接來求，利用原正方體體積扣除截去的四個全等的三棱錐的體積求得。
【略解】∵V截1=1/3·1/2·a·a=1/6a
V剩余=a-4·1/6·a=1/3a
∴VA-BCD：V正方體=1：3
（2）等積法
例：如圖，已知AC和CD分別是兩平行平面α和β內的異面線段，AB=a，CD=b，它們所成的角為θ，平面α、β間的距離為h.
求證:不論AB、CD 在α、β內作怎樣的平行移動，三棱錐A-BCD的體積不變，并用a、b、h和θ表示該體積。
【分析】由已知條件難以直接表示這個體積，注意到α∥β，可在β內作出與AB平行且相等的線段CE，構造一個新的四面體A-CDE，只要能證得VA-BCD =VA-CDE，則問題可解。
【詳解】過AB、AC作平面γ交β于CE，在CE上取點E，使CE=AB
∵α∥β，γ∩α=AB，γ∩β=CE
∴AB∥CE，又AB=CE
故四邊形ACEB為平行四邊形
∴VA-BCD=VB-ACD=VE-ACD=VA-CDE
△ECD中，AB∥CE，從而∠ECD=θ
AB=CE= a，CD=b，
故S△ECD =1/2absinθ
又A到β的距離為h
∴VA-BCD=VA-CDE=1/6abhsinθ
【評注】在三棱錐的等體積變換過程中，常用的一種方法是變換頂點和底面的位置，以達到解題目的。另外須注意的是正確的作圖是“過AB、AC作平面γ交β于CE，”，而不是“過C作CE平行且等于 AB”，因后者尚須證明“CE在β內”。
3、棱柱中棱錐體積的求法：
*棱柱中棱錐體積的求解，往往采用割補法或等積法，有時甚至兩者結合運用。
例1：如圖，已知正方體AC的棱長為a，E、F分別為棱AA與CC的中點，求四棱錐A-EBFD的體積。
【分析】先考慮能否直接求出棱錐的高和底面積，由于AC∥EF，即AC∥平面EBFD，所以要求此棱錐的高，即求異面直線AC與BD的距離，有一定難度，故再考慮改為用立體圖形的分解、組合和等積轉換等方法。
【詳解】四棱錐A-EBFD的底面是菱形，連結EF，則△EFB≌△EFD
∵三棱錐A-EFB與三棱錐A-EFD等底同高
∴VA-EFB=VA-EFD
VA-EBFD=2VA-EFB=2VF-EBA
=2·1/3S△EBA·a=1/6a
【評注】此解法把棱柱分割成兩個等積的三棱錐，從而轉化為求三棱錐的體積，進而又利用三棱錐可換底求解（等積）的靈活性，作進一步轉化。
例2：如圖，已知直三棱柱ABC-ABC的側棱和底面邊長都為a，截面ABC和截面ABC相交于DE，求三棱錐B-BDE的體積。
【詳解】（！）可采用分割法
取BB中點M，連結DM、EM
由于為直棱柱故有BB⊥平面DME
VB-BDE=VB-DME+VB-DME
=1/3S△DME·BM
+1/3 S△DME·BM
=1/3 S△DME（BM+BM）
=1/3 S△DME·BB
=1/3（1/2·a/2·3/4a）a
=3/48a
（2）可采用等積法
取BC中點F，連結BF、AF，則AF⊥平面BBC，取BF中點O，連結DO，則DO∥AF，故DO⊥平面BBC，
且DO=1/2·3/2a=3/4a
VB-BDE=VD-BBE
=1/3·1/4a·3/4a=3/48a
【評注】另外，本題還可利用三棱錐B-BDE與三棱錐B-ABC之體積之比為△BDE與△BAC之面積比，而三棱錐B-ABC的體積利用等積法與三棱錐B-ABC體積相等來求得
4、有內切球與外接球的三棱柱問題：
例1 ：如圖，三棱錐A-BCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內切球體積。
【分析】正如三角形的內切圓半徑常常與面積發生聯系一樣，三棱錐的內切球半徑常常和體積發生聯系，本題中，可以球心為頂點，四個全等的側面為底面，把原棱錐分割成四個小棱錐，由等體積關系可求出內切球半徑，進而求出體積。
【詳解】取CD中點E，連結AE、BE
∵AC=AD，∴CD⊥AE
∵BC=BD，∴CD⊥BE 又AE∩BE=E
故CD⊥平面ABE
VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE
=1/3S△ABE·CE+1/3S△ABE·DE
=1/3 S△ABE·（CE+DE）
=1/3 S△ABE·CD=6 7
由于各側面全等，面積均為12，設內切球半徑為r，則
VA-BCD=1/3（S△ABC+ S△BCD+ S△CDA
+S△DAB）·r
=1/3·48 r =16 r =6 7
故r =3 7/8
因此V球=4/3 πr =(63 7/128)π
【評注】多面體如果有一個內切球，球半徑為R，多面體n個面的面積分別為S，S，…S，把球心與多面體的頂點連結起來，就把多面體分割成n個以表面為底面，R為高的小棱錐，設多面體體積為V，則有V=1/3R（S+S+…+S），據此可求得球的半徑，進而求得球的體積。
例2：如圖,正三棱錐P-ABC的高為1，底面邊長為2 6，內有一個球與四個面均相切，求棱錐的全面積和球的面積。
【詳解】過側棱PA與球心O作截面PAE交側面PBC于PE，由于△ABC為正三角形，故AE既是△ABC底邊上的高，又是BC邊上的中線，作正三棱錐的高PD，則PD過球心O，且D為△ABC的中心。
（1）∵正三角形ABC邊長為2 6
∴DE=1/3·AE=1/3·3/2·2 6
=2
故PE=3
∴S全=S側+S底
=3·1/2·2 6·3+3/4·(2 6)
=9 2+6 3
（2）以球心為頂點,棱錐的四個面為底面,把正三棱錐分割為四個小棱錐,設球半徑為r,則
V+V+V+V=1/3r·S全=1/3h·S△ABC
故r= (S△ABC·h)/ S全= 6-2
∴S球=4πr=4π(6-2)
例3：如圖,求半徑為R的球O的內接正三棱錐P-ABC的體積的最大值。
【詳解】設OO=h,底面邊長為a
AO=(R-h)=a/ 3,則a=3(R-h)
PO=R+h
故V=1/3 S△ABC·PO
=1/3·3/4·3(R-h)(R+h)
≤〔3/(4·2)〕(R+h)(R+h)(2R-2h)
≤3/8(4R/3)=8 3/27R
(當且僅當R+h=2(R-h)即h=R/3時等號成立)
∴Vmax=(8 3/27)R
例4：如圖,過半徑為R的球面上的一點M作三條兩垂直的弦MA、MB、MC
(1)求證：MA +MB+ MC為定值
(2)求三棱錐M-ABC體積的最大值
【分析】由MA⊥MB可知,過M、A、B三點的平面截球面得一小圓O，而AB是圓O的直徑,設球心為O，連結OO，則OO⊥小圓面AMB，所以OO∥MC。由OO和MC確定的平面截球面就得到球的大圓O，M、D為兩圓交點，MD為小圓直徑，CD為大圓直徑，故MA +MB+ MC=AB+MC=MD+MC=4R
【詳解】（1）設MA、MB確定的平面截球面得到小圓O
∵MA⊥MB ∴AB為⊙O直徑
連結MO并延長交⊙O于D，MD為小圓直徑，連結CD
∵MC⊥MA，MC⊥MB，MA∩MB=M
∴MC⊥小圓面AMB，而MC在平面MCD內
∴平面MCD⊥平面MAB
連結OO，則OO⊥小圓面MAB，故過M、C、D的圓是球的大圓
又MC⊥MD，于是CD過球心O，即CD為球O的直徑
∴CD= MD+MC=MA +MB+ MC=4R
（2）V=（1/6MA·MB·MC）
=1/36·MA·MB·MC
≤ 1/36〔（MA+MB+MC）/3〕
=1/36（4R/3）
∴Vmax=4/27·3R
【評注】事實上，三棱錐M-ABC是球的內接長方體的一個“角”，故本題也可以用“構造法”，通過構造以MA、MB、MC為三條棱的長方體來求解，這個長方體的對角線就是球的直徑，長方體的體積最大時，就成為球的內接正方體。
以上就是學習棱柱、棱錐的一些技巧及其歸類運用。相信學生在已有的空間直線和平面知識的基礎上，對這部分內容若加以了比較學習，并能注意對其應用加以歸類總結，一定能起到事半功倍的效果。
