高等數學2

專科起點升本科高等數學（二）知識點匯總

常用知識點：

一、常見函數的定義域總結如下：

（1）

cbxaxy

bkxy

???

??

2

一般形式的定義域：x∈R

（2）

x

k

y?分式形式的定義域：x≠0

（3）

xy?

根式的形式定義域：x≥0

（4）

xy

a

log?對數形式的定義域：x＞0

二、函數的性質

1、函數的單調性

當

21

xx?時，恒有)()(

21

xfxf?，)(xf在

21

xx，所在的區間上是增加的。

當

21

xx?時，恒有)()(

21

xfxf?，)(xf在

21

xx，所在的區間上是減少的。

2、函數的奇偶性

定義：設函數)(xfy?的定義區間D關于坐標原點對稱（即若Dx?，則有Dx??）

(1)偶函數)(xf——Dx??，恒有)()(xfxf??。

(2)奇函數)(xf——Dx??，恒有)()(xfxf???。

三、基本初等函數

1、常數函數：cy?，定義域是),(????，圖形是一條平行于

x

軸的直線。

2、冪函數：

uxy?

，(

u

是常數)。它的定義域隨著

u

的不同而不同。圖形過原點。

3、指數函數

定義:xaxfy??)(，(

a

是常數且0?a，1?a).圖形過（0,1）點。

4、對數函數

定義:xxfy

a

log)(??，(

a

是常數且0?a，1?a)。圖形過（1,0）點。

5、三角函數

(1)正弦函數:xysin?

?2?T，),()(?????fD，]1,1[)(??Df。

(2)余弦函數:xycos?.

?2?T，),()(?????fD，]1,1[)(??Df。

(3)正切函數:xytan?.

??T，},

2

)12(,|{)(ZR?????kkxxxfD

?

，),()(?????Df.

(4)余切函數:xycot?.

??T，},,|{)(ZR????kkxxxfD?，),()(?????Df.

5、反三角函數

(1)反正弦函數:xysinarc?，]1,1[)(??fD，]

2

,

2

[)(

??

??Df。

(2)反余弦函數:xyarccos?，]1,1[)(??fD，],0[)(??Df。

(3)反正切函數:xyarctan?，),()(?????fD，)

2

,

2

()(

??

??Df。

(4)反余切函數:xyarccot?，),()(?????fD，),0()(??Df。

極限

一、求極限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函數在某點的極限，等于該點的函數值。”因此遇到大部分簡單題目的時候，可以直

接代入進行極限的求解。

2、傳統求極限的方法

（1）利用極限的四則運算法則求極限。

（2）利用等價無窮小量代換求極限。

（3）利用兩個重要極限求極限。

（4）利用羅比達法則就極限。

二、函數極限的四則運算法則

設Au

x

?

??

lim，Bv

x

?

??

lim，則

（1）BAvuvu

xxx

?????

??????

limlim)(lim

（2）ABvuvu

xxx

????

??????

limlim)(lim.

推論

（a)vCvC

xx????

???lim)(lim，(C為常數)。

（b）n

x

n

x

uu)lim(lim

????

?

（3）

B

A

v

u

v

u

x

x

x

??

?

?

?

?

?

?lim

lim

lim，(0?B).

（4）設)(xP為多項式

n

nnaxaxaxP??????1

10

)(，則)()(lim

0

0

xPxP

xx

?

?

（5）設)(),(xQxP均為多項式，且0)(?xQ，則

)(

)(

)(

)(

lim

0

0

0xQ

xP

xQ

xP

xx

?

?

三、等價無窮小

常用的等價無窮小量代換有：當0?x時，xx~sin，xx~tan，xx~arctan，xx~arcsin，xx~)1ln(?，

xex~1?，2

2

1

~cos1xx?。

對這些等價無窮小量的代換，應該更深一層地理解為：當0□?時，□~□sin，其余類似。

四、兩個重要極限

重要極限I1

sin

lim

0

?

?x

x

x

。

它可以用下面更直觀的結構式表示：1

□

□sin

lim

0□

?

?

重要極限IIe

x

x

x

?

?

?

?

?

?

?

?

??

1

1lim。

其結構可以表示為：e?

?

?

?

?

?

?

?

??

□

□□

1

1lim

八、洛必達(L’Hospital)法則

“

0

0

”型和“

?

?

”型不定式，存在有A

xg

xf

xg

xf

axax

??

??)(

)(

lim

)(

)(

lim

'

'

（或

?

）。

一元函數微分學

一、導數的定義

設函數)(xfy?在點

0

x的某一鄰域有定義，當自變量x在

0

x處取得增量?x（點xx??

0

仍在該鄰域）時，相應地

函數y取得增量)()(

00

xfxxfy?????。如果當0??x時，函數的增量y?與自變量x?的增量之比的極限

0

lim

??xx

y

?

?

=

0

lim

??xx

xfxxf

?

???)()(

00=）（

0

xf

?

注意兩個符號x?和

0

x在題目中可能換成其他的符號表示。

二、求導公式

1、基本初等函數的導數公式

（1）0)(?

?

C(C為常數)

（2）1)(??

????xx（?為任意常數）

（3）aaaxxln)(?

?

)1,0(??aa特殊情況xxee?

?

)(

（4）

ax

e

x

x

aaln

1

log

1

)(log??

?

)1,0,0(???aax，

x

x

1

)(ln?

?

（5）xxcos)(sin?

?

（6）xxsin)(cos??

?

（7）

x

x

2

'

cos

1

)(tan?

（8）

x

x

2

'

sin

1

)(cot??

（9）

2

'

1

1

)(arcsin

x

x

?

?

)11(???x

（10）

)11(

1

1

)(arccos

2

'???

?

??x

x

x

（11）

2

'

1

1

)(arctan

x

x

?

?

（12）

2

'

1

1

)cot(

x

xarc

?

??

2、導數的四則運算公式

（1）)()(])()([xvxuxvxu

?

?

?

?

?

?

（2）)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu

?

?

?

?

?

（3）ukku

?

?

?

][（k為常數）

（4）

)(

)()()()(

)(

)(

2xv

xvxuxvxu

xv

xu

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3、復合函數求導公式：設)(ufy?,)(xu??，且)(uf及)(x?都可導，則復合函數)]([xfy??的導數為

)().('xuf

dx

du

du

dy

dx

dy

??

???。

三、導數的應用

1、函數的單調性

0)('?xf則)(xf在),(ba嚴格單調增加。

0)('?xf則)(xf在),(ba嚴格單調減少。

2、函數的極值

0)('?xf的點——函數)(xf的駐點。設為

0

x

（1）若

0

xx?時，0)('?xf；

0

xx?時，0)('?xf，則)(

0

xf為)(xf的極大值點。

（2）若

0

xx?時，0)('?xf；

0

xx?時，0)('?xf，則)(

0

xf為)(xf的極小值點。

（3）如果)('xf在

0

x的兩側的符號相同，那么)(

0

xf不是極值點。

3、曲線的凹凸性

0)(''?xf，則曲線)(xfy?在),(ba是凹的。

0)(''?xf，則曲線)(xfy?在),(ba是凸的。

4、曲線的拐點

（1）當

)(''xf在

0

x的左、右兩側異號時，點))(,(

00

xfx為曲線)(xfy?的拐點，此時

0)(

0

''?xf

.

（2）當

)(''xf在

0

x的左、右兩側同號時，點))(,(

00

xfx不為曲線)(xfy?的拐點。

5、函數的最大值與最小值

極值和端點的函數值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

dxxfdy)('?，求微分就是求導數。

一元函數積分學

一、不定積分

1、定義，不定積分是求導的逆運算，最后的結果是函數+C的表達形式。公式可以用求導公式來記憶。

2、不定積分的性質

（1）)(])(['xfdxxf??或dxxfdxxfd)()(??

（2）CxFdxxF???)()('或CxFxdF???)()(

（3）???????????dxxxdxxfdxxxxf)()()()]()()([??????。

（4）dxxfkdxxkf???)()(（k為常數且0?k）。

2、基本積分公式（要求熟練記憶）

（1）??Cdx0

（2）)1(

1

1

1???

?

???aCx

a

dxxaa.

（3）Cxdx

x

???ln

1

.

（4）Ca

a

dxaxx???

ln

1

)1,0(??aa

（5）Cedxexx???

（6）????Cxxdxcossin

（7）???Cxxdxsincos

（8）Cxdx

x

???tan

cos

1

2

.

（9）Cxdx

x

????cot

sin

1

2

.

（10）

Cxdx

x

??

?

?arcsin

1

1

2

.

（11）Cxdx

x

??

?

?arctan

1

1

2

.

3、第一類換元積分法

對不定微分dxxg?)(，將被積表達式dxxg)(湊成

)()()()]([)('xdxfdxxxfdxxg??????，這是關鍵的一步。

常用的湊微分的公式有：

（1）)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf????

（2）)()(

1

)(1baxdbaxf

ka

dxxbaxfkkkk??????

（3）xdxfdx

x

xf2

1

)(??

（4）

x

d

x

fdx

x

x

f

1

)

1

(

1

)

1

(

2

???

（5）)()()(xxxxedefdxeef??

（6）)(ln)(ln

1

)(lnxdxfdx

x

xf??

（7）)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf??

（8）)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf???

（9）)(tan)(tan

cos

1

)(tan

2

xdxfdx

x

xf??

（10）)(cot)(cot

sin

1

)(cot

2

xdxfdx

x

xf???

（11）

)(arcsin)(arcsin

1

1

)(arcsin

2

xdxfdx

x

xf?

?

?

（12）

)(arccos)(arccos

1

1

)(arccos

2

xdxfdx

x

xf??

?

?

（13）)(arctan)(arctan

1

1

)(arctan

2

xdxfdx

x

xf?

?

?

（14）

))((ln

)(

)('

xddx

x

x

?

?

?

?

)0)((?x?

4、分部積分法

????vduuvudv

二、定積分公式

1、（牛頓—萊布尼茨公式）如果)(xF是連續函數)(xf在區間],[ba上的任意一個原函數，則有

)()()(aFbFdxxfb

a

???。

2、計算平面圖形的面積

如果某平面圖形是由兩條連續曲線

)(),(

21

xfyxgy??及兩條直線ax?

1

和bx?

2

所圍成的（其中

1

y

是下面的曲線，

2

y是上面的曲線），則其面積可由下式

求出：

)(xfy?

)(xgy?

y

aobx

.)]()([dxxgxfSb

a???

3、計算旋轉體的體積

設某立體是由連續曲線)0)()((??xfxfy和直線)(,babxax???及

x

軸所圍平面圖形繞

x

軸旋轉一周所形成的旋轉體，如圖所示。則該旋轉體的體積

V可由下式求出：

.)()(22dxxfdxxfVb

a

b

a

x??????

多元函數微分學

1、偏導數，對某個變量求導，把其他變量看做常數。

2、全微分公式：yBxAyxdfdz?????),(。

3、復合函數的偏導數——利用函數結構圖

如果),(yxu??、),(yxv??在點),(yx處存在連續的偏導數

x

u

?

?

，

y

u

?

?

，

x

v

?

?

，

y

v

?

?

，且在對應于),(yx的點),(vu

處，函數),(vufz?存在連續的偏導數

u

z

?

?

，

v

z

?

?

，則復合函數)],(),,([yxyxfz???在點),(yx處存在對

x

及y的

連續偏導數，且

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

。

4、隱函數的導數

對于方程0),(?yxF所確定的隱函數)(xfy?，可以由下列公式求出y對

x

的導數'y：

),(

),(

'

'

'

yxF

yxF

y

y

x??，

2、隱函數的偏導數

對于由方程0),,(?zyxF所確定的隱函數),(yxfz?，可用下列公式求偏導數：

),,(

),,(

'

'

zyxF

zyxF

x

z

z

x??

?

?

，

),,(

),,(

'

'

zyxF

zyxF

y

z

z

y??

?

?

，

5、二元函數的極值

設函數

),(

00

yxfz?在點),(

00

yx的某鄰域有一階和二階連續偏導數，且

0),(

00

'?yxf

x

，0),(

00

'?yxf

y

又設

Ayxf

xx

?),(

00

''，Byxf

xy

?),(

00

''，Cyxf

yy

?),(

00

''，

則：

（1）當02??ACB時，函數),(yxf在點),(

00

yx處取得極值，且當0?A

oaxx+dxbx

y)(xfy?

時有極大值，當0?A時有極小值。

（2）當02??ACB時，函數),(yxf在點),(

00

yx處無極值。

（3）當02??ACB時，函數),(yxf在點),(

00

yx處是否有極值不能確定，要用其它方法另作討論。

概率常識

1、數學期望

??

?

?

1

)(

i

ii

pxXE。

2、方差

2)]([)(XEXEXD??。

方差的算術平方根稱為均方差或標準差，記為)(X?，即

i

XEXEXDX2)]([)()(????。