三角函數積分公式(三角函數積分公式大全24個)

#頭條創作挑戰賽#

老黃自己推導了下面兩個冪函數與三角函數的積的不定積分公式，并且越來越發現它們強大的功能。因此決定繼續分享如何應用它們來解一些看著幾何是不可能求解的不定積分。

因為是老黃自己的推導的公式，所以老黃很快的就對它們滾瓜爛熟了。小伙伴們應該不那么容易記熟，可以把它們收藏起來，需要的時候直接應用就可以了。請不要因為它們實在太復雜，就忽略它們！高等數學這個程度其實還算蠻簡單的。這兩個公式的形式如下：

當n∈N*, a≠0，

I. ∫x^n*cos(ax+b)dx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1))x^(n-i)*sin(ax+b+iπ/2)+C；

II. ∫x^n*sin(ax+b)dx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1) )x^(n-i)*cos(ax+b+iπ/2)+C.

我們可以利用它們直接求出下面三個高次冪的不定積分：

求：(1)∫x^601*sin(x/7)dx；(2)∫x^89*cos4x*sin2xdx； (3)∫x^2022*cosxdsin2x.

解：(1)∫x^601*sin(x/7)dx=-∑(i=0->601)(601!?7^(i+1)/(601-i)!)*x^(601-i)cos(x/7+iπ/2)+C.

(2)∫x^89*cos4x*sin2xdx=1/2*∫x^89*(sin6x-sin2x)dx；

其中∫x^89*sin6xdx=-∑(i=0->89)89!/((89-i)!?6^(i+1))*x^(89-i)*cos(6x+iπ/2)+C1；

∫x^89*sin2xdx=-∑(i=0->89)89!/((89-i)!?2^(i+1))*x^(89-i)*cos(2x+iπ/2)+C2；

原積分=1/2*∑(i=0->89)(89!?x^(89-i))/((89-i)!?6^(i+1))(3^(i+1)*cos(2x+iπ/2)-cos(6x+iπ/2))+C.

(3)∫x^2022*cosxdsin2x=2∫x^2022*cosx*cos2xdx=∫x^2022(cos3x+cosx)dx.

其中∫x^2022*cos3xdx=∑(i=0->2022)2022!/((2022-i)!?3^(i+1))*x^(2022-i)*sin(3x+iπ/2)+C1；

∫x^2022*cosxdx=∑(i=0->2022)2022!/((2022-i)!)*x^(2022-i)*sin(x+iπ/2)+C2；

原積分=∑(i=0->)(2022!?x^(2022-i))/((2022-i)!?3^(i+1))(sin(3x+iπ/2)+3^(i+1)*sin(x+iπ/2))+C.

再來一道練習：求∫x^47*(cosx)^2dx.

解：(cosx)^2=(1+cos2x)/2.

原積分= 1/2*∫x^47dx+ 1/2*∫x^47*cos2xdx

= x^48/96 + 1/2*∑(i=0->47)47!/((47-i)!?2^(i+1))*x^(47-i)sin(2x+iπ/2)+C.

求和公式前面的系數1/2也可以分配到各項中去，分母的因數2^(i+1)改成2^(i+2)就可以了。用這個方法，不論余弦或正率的幾次方，都可以解決。當然次數太高就會特別麻煩。

你以為這兩個公式就這點功能嗎？不，老黃已經發現了它們另一項強大的功能，會在接下來的視頻中分享給大家，老黃相信它們的功能還有很多，等待老黃去慢慢發掘，有興趣的小伙伴也可以動動你們聰明的大腦筋，和老黃笨笨的小腦筋一起去探究，就會有倍增的發現哦。