轉動慣性(轉動慣量計算公式)

慣性，是用來描述具有一定質量的物體，在外力作用下，由靜止變為運動，或者相反，由運動變為靜止的時候展現出來的抗性力。慣性，或者說是物體抵抗運動狀態變化的趨勢，與質量正相關。和較輕的物體相比，較重的物體在靜止時難以加速運動，在運動時也會難以停止。

工業飛輪具有很大的轉動慣量，可以用來抗拒轉速的改變。當動力源對旋轉軸作用有一個變動的力矩時（例如往復式發動機），或是應用在間歇性負載時（例如活塞或沖床），飛輪可以減小轉速的波動，使旋轉運動更加平順。

在物理學上，“矩”這個前綴通常用來描述一個線性量對應的轉動物體。因此，“轉動慣量（慣性矩）”就是物體的線性運動的轉動當量，通常用“I”來表示。與之類似的一個詞“（力矩）”就是線性力的轉動當量，也可稱作扭矩。

旋轉物體相對于其旋轉軸的轉動慣量I等于它的質量與它本身到旋轉軸距離的平方的乘積。但是，這個算法只對均勻物體有效，比如說一個綁在繩子上的以一定角速度旋轉的球體。

而對于不均勻物體，轉動慣量的計算通常是由各個獨立的點質量與各點到其旋轉軸距離的乘積之和。這種通用算法可以計算任何物體的轉動慣量，因為所有的物體都可以看作是許多類似點質量的組合。

走鋼絲者手里端著長桿，為了靠轉動慣量保持平衡，對抗轉動運動。

要計算這種點質量分布在不同距離的不均勻物體的轉動慣量，我們用到了微積分，因為微積分可以靈活計算連續變量。

飛輪擁有很大的轉動慣量，可以用來使機械運轉順滑。

我們將物體質量進行微分，將物體分為無窮個小質量塊微分dm，轉動慣量的微分即為dI = r^2dm。要計算物體總質量M的轉動慣量I，我們將物體質量微分dm對應的轉動慣量的微分dI進行求和。或者簡而言之，我們對其進行積分：

假設一個細桿的質量為M，長度為L，其線性密度λ即為M/L。根據其旋轉軸的位置，細桿具有兩個矩：一個是當旋轉軸垂直穿過細桿的中心，同時穿過細桿的重心；第二個是當軸垂直于細桿的一端。

與無窮個小質量塊微分dm類似，假設其具有無窮個小長度單元微分dl，將重心的原點置于旋轉軸上，我們會發現從原點到左端的距離為-L/2，而從原點到右端的距離是+L/2。

如果細桿是均勻物體，那么其線密度是一個常量

將式子中dm的值帶入轉動慣量的計算，可得：

由于現在的積分分量為長度（dl），積分上下限需要從之前公式中的質量M改為需要分量長度L。

為了計算旋轉軸垂直于細桿一端的轉動慣量，我們將原點放在細桿的末端。

我們使用的是同樣的等式，但是依舊要改變積分上下限，因為現在旋轉軸位于末端，現在的積分上下限是從0（原點）到L（細桿另一端）

積分后可得：

（在這里d指的是從原點到細桿末端的距離）

我們也可以用平行軸理論計算出相同的轉動慣量結果，如下：

當長度L為L/2時，我們發現：

這是和我們之前的發現完全一致的。

1.WJ百科全書

2.天文學名詞

3. Akash Peshin- sciabc

麻省理工學院

波士頓大學物理系

喬治亞州立大學

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