數(shù)學(xué)高中

高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)

第一章函數(shù)概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中

都有唯一確定的數(shù)()fx和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合

A到B的一個函數(shù)，記作:fAB?．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè),ab是兩個實數(shù)，且ab?，滿足axb??的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[,]ab；滿足axb??

的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(,)ab；滿足axb??，或axb??的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，

分別記做[,)ab，(,]ab；滿足,,,xaxaxbxb????的實數(shù)x的集合分別記做

[,),(,),(,],(,)aabb????????．

注意：對于集合{|}xaxb??與區(qū)間(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab?，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）．

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①()fx是整式時，定義域是全體實數(shù)．

②()fx是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．

③()fx是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合．

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．

⑤tanyx?中，()

2

xkkZ

?

????．

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．

⑦若()fx是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的

定義域的交集．

第-2-頁共26頁

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知()fx的定義域為[,]ab，其復(fù)合函數(shù)[()]fgx的定

義域應(yīng)由不等式()agxb??解出．

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最

小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角

度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值

域或最值．

③判別式法：若函數(shù)()yfx?可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程2()()()0ayxbyxcy???

則在()0ay?時，由于,xy為實數(shù)，故必須有2()4()()0byaycy?????，從而確定函數(shù)的值域或最

值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三

角函數(shù)的最值問題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．

⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間

第-3-頁共26頁

的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．

（6）映射的概念

①設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯

一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到B的映射，

記作:fAB?．

②給定一個集合A到集合B的映射，且,aAbB??．如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫

做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

（6）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)

的

性

質(zhì)

定義圖象判定方法

函數(shù)

的

單調(diào)

性

如果對于屬于定義

域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意

兩個自變量的值x

1

、x

2

,

當(dāng)x

．1

．

．．2

．

時，都有

f(x

．．．1

．

)

．．．．．2

．

)

．

，那么就說

f(x)在這個區(qū)間上是增函

．．

數(shù)

．

．

x

1

x

2

y=f(X)

x

y

f(x)

1

f(x)

2

o

（1）利用定義

（2）利用已知

函數(shù)的單調(diào)性

（3）利用函數(shù)

圖象（在某個區(qū)間

圖

象上升為

增）

（4）利用復(fù)合

函數(shù)

第-4-頁共26頁

如果對于屬于定義

域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意

兩個自變量的值x

1

、x

2

，

當(dāng)x

．1

．

．．2

．

時，都有

f(x

．．．1

．

)>f(x

．．．．．2

．

)

．

，那么就說

f(x)在這個區(qū)間上是減函

．．

數(shù)

．

．

y=f(X)y

x

o

xx

2

f(x)

f(x)2

1

1

（1）利用定義

（2）利用已知

函數(shù)的單調(diào)性

（3）利用函數(shù)

圖象（在某個區(qū)間

圖

象下降為減）

（4）利用復(fù)合

函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增

函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．

③對于復(fù)合函數(shù)[()]yfgx?，令()ugx?，若()yfu?為增，()ugx?為增，則[()]yfgx?為增；

若()yfu?為減，()ugx?為減，則[()]yfgx?為增；若()yfu?為增，()ugx?為減，則[()]yfgx?

為減；若()yfu?為減，()ugx?為增，則[()]yfgx?為減．

（7）打“√”函數(shù)()(0)

a

fxxa

x

???的圖象與性質(zhì)

()fx分別在(,]a???、[,)a??上為增函數(shù)，分別

在[,0)a?、(0,]a上為減函數(shù)．

（8）最大（小）值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)()yfx?的定義域為I，如果存在實

數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI?，都有()fxM?；

（2）存在

0

xI?

，使得

0

()fxM?．那么，我們稱M

是函數(shù)()fx的最大值，記作

max

()fxM?．

②一般地，設(shè)函數(shù)()yfx?的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：（1）對于任意的xI?，都有()fxm?；

y

xo

第-5-頁共26頁

（2）存在

0

xI?，使得

0

()fxm?．那么，我們稱m是函數(shù)()fx的最小值，記作

max

()fxm?．

（9）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)

的

性

質(zhì)

定義圖象判定方法

函數(shù)

的

奇偶

性

如果對于函數(shù)f(x)定

義域內(nèi)任意一個x，都有

f(

．．

－

．

x)=

．．．

－

．

f(x)

．．．．

,那么函數(shù)

f(x)叫做奇函數(shù)

．．．

．

（1）利用定義

（要先判斷定義域

是否關(guān)于原點(diǎn)對

稱）

（2）利用圖象

（圖象關(guān)于原點(diǎn)對

稱）

如果對于函數(shù)f(x)定

義域內(nèi)任意一個x，都有

f(

．．

－

．

x)=f(x)

．．．．．．．

,那么函數(shù)

f(x)叫做偶函數(shù)

．．．

．

（1）利用定義

（要先判斷定義域

是否關(guān)于原點(diǎn)對

稱）

（2）利用圖象

（圖象關(guān)于y軸對

稱）

②若函數(shù)()fx為奇函數(shù)，且在0x?處有定義，則(0)0f?．

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．

第-6-頁共26頁

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或

奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果,,,1nxaaRxRn????，且

nN

?

?

，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n次方根

用符號na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負(fù)的n次方根用符號na?表示；0

的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根．

②式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)

時，0a?．

③根式的性質(zhì)：()n

naa?；當(dāng)n為奇數(shù)時，n

naa?；當(dāng)n為偶數(shù)時，

(0)

||

(0)

n

n

aa

aa

aa

?

?

??

?

??

?

．

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

(0,,,m

n

m

naaamnN

?

???

且1)n?．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

11

()()(0,,,

mm

m

nn

naamnN

aa

?

?

????

且1)n?．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①(0,,)rsrsaaaarsR?????②()(0,,)rsrsaaarsR???

③()(0,0,)rrrabababrR????

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

第-7-頁共26頁

定義

函數(shù)

(0xyaa??且1)a?叫做指數(shù)函數(shù)

圖象

1a?01a??

定義域R

值域

(0,)??

過定點(diǎn)

圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)0x?時，1y?．

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

1(0)

1(0)

1(0)

x

x

x

ax

ax

ax

??

??

??

1(0)

1(0)

1(0)

x

x

x

ax

ax

ax

??

??

??

a變化對圖象的

影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

xay?

x

y

(0,1)

O

1y?

xay?

x

y

(0,1)

O

1y?

第-8-頁共26頁

（1）對數(shù)的定義

①若

(0,1)xaNaa???且，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作log

a

xN?，其中a叫做底數(shù)，N叫做

真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：log(0,1,0)x

a

xNaNaaN??????．

（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

log10

a

?，log1

a

a?，logb

a

ab?．

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：lgN，即

10

logN

；自然對數(shù)：lnN，即

log

e

N

（其中2.71828e?…）．

（4）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果0,1,0,0aaMN????，那么

①加法：logloglog()

aaa

MNMN??②減法：logloglog

aaa

M

MN

N

??

③數(shù)乘：loglog()n

aa

nMMnR??④log

a

NaN?

⑤loglog(0,)b

n

a

a

n

MMbnR

b

???⑥換底公式：

log

log(0,1)

log

b

a

b

N

Nbb

a

???且

【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

名稱

對數(shù)函數(shù)

定義

函數(shù)

log(0

a

yxa??且1)a?叫做對數(shù)函數(shù)

圖象

1a?01a??

第-9-頁共26頁

定義域

(0,)??

值域R

過定點(diǎn)

圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)1x?時，0y?．

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性

在(0,)??上是增函數(shù)在(0,)??上是減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

log0(1)

log0(1)

log0(01)

a

a

a

xx

xx

xx

??

??

???

log0(1)

log0(1)

log0(01)

a

a

a

xx

xx

xx

??

??

???

a變化對圖象的

影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)()yfx?的定義域為A，值域為C，從式子()yfx?中解出x，得式子()xy??．如果對于y在

C中的任何一個值，通過式子()xy??，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子()xy??表示x是y

的函數(shù)，函數(shù)()xy??叫做函數(shù)()yfx?的反函數(shù)，記作1()xfy??，習(xí)慣上改寫成1()yfx??．

（7）反函數(shù)的求法

x

y

O

(1,0)

1x?

log

a

yx?

x

y

O

(1,0)

1x?

log

a

yx?

第-10-頁共26頁

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式()yfx?中反解出1()xfy??；

③將1()xfy??改寫成1()yfx??，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)()yfx?與反函數(shù)1()yfx??的圖象關(guān)于直線yx?對稱．

②函數(shù)()yfx?的定義域、值域分別是其反函數(shù)1()yfx??的值域、定義域．

③若(,)Pab在原函數(shù)()yfx?的圖象上，則'(,)Pba在反函數(shù)1()yfx??的圖象上．

④一般地，函數(shù)()yfx?要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)

yx??叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，?是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象

第-11-頁共26頁

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、

二象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，

圖象只分布在第一象限．

②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)??都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)．

③單調(diào)性：如果0??，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在[0,)??上為增函數(shù)．如果0??，則冪函數(shù)的圖

象在(0,)??上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸．

④奇偶性：當(dāng)?為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)?為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)

q

p

??（其中,pq互質(zhì)，

p和qZ?），若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則

q

pyx?是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則

q

pyx?是偶函數(shù)，若p

為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則

q

pyx?是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù),(0,)yxx?????，當(dāng)1??時，若01x??，其圖象在直線yx?下方，若1x?，

其圖象在直線yx?上方，當(dāng)1??時，若01x??，其圖象在直線yx?上方，若1x?，其圖象在直線yx?下

方．

〖補(bǔ)充知識〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

第-12-頁共26頁

①一般式：2()(0)fxaxbxca????②頂點(diǎn)式：2()()(0)fxaxhka????③兩根式：

12

()()()(0)fxaxxxxa????（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時，常使用頂點(diǎn)式．

③若已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求()fx更方便．

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca????的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為,

2

b

x

a

??頂點(diǎn)坐標(biāo)是

24

(,)

24

bacb

aa

?

?．

②當(dāng)0a?時，拋物線開口向上，函數(shù)在(,]

2

b

a

???上遞減，在[,)

2

b

a

???上遞增，當(dāng)

2

b

x

a

??時，

2

min

4

()

4

acb

fx

a

?

?；當(dāng)0a?時，拋物線開口向下，函數(shù)在(,]

2

b

a

???上遞增，在[,)

2

b

a

???上遞減，當(dāng)

2

b

x

a

??

時，

2

max

4

()

4

acb

fx

a

?

?．

③二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca????當(dāng)240bac????時，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)

11221212

(,0),(,0),||||

||

MxMxMMxx

a

?

???．

（4）一元二次方程20(0)axbxca????根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)

和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次

函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布．

設(shè)一元二次方程20(0)axbxca????

的兩實根為

12

,xx，且

12

xx?

．令2()fxaxbxc???

，從以下

四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：

2

b

x

a

??③判別式：?④端點(diǎn)函數(shù)值符號．

①k＜x1≤x2

?

第-13-頁共26頁

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

a

b

x

2

??

0)(?kf

k

x

y

1

x

2

x

O

?

a

b

x

2

??

k

0?a

0)(?kf

②x1≤x2

＜k?

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

a

b

x

2

??

k

0)(?kf

x

y

1

x

2

x

O

?

a

b

x

2

??

k

0?a

0)(?kf

③x1

＜k＜x

2

?af(k)＜0

0)(?kf

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

k

x

y

1

x

2

x

O

?

k

0?a

0)(?kf

④k1

＜x

1≤x2

＜k

2

?

x

y

1

x2

x

0?a

O

?

?

1

k

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

a

b

x

2

??

x

y

1

x

2

x

O

?

0?a

1

k

?

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

a

b

x

2

??

⑤有且僅有一個根x1

（或x

2

）滿足k

1

＜x

1

（或x

2

）＜k

2

?f(k

1

)f(k

2

)?0，并同時考慮f(k

1

)=0

或f(k

2

)=0這兩種情況是否也符合

第-14-頁共26頁

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

?

1

k

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

x

y

1

x

2

x

O

?

0?a

1

k

?

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

⑥k1

＜x

1

＜k

2≤p1

＜x

2

＜p

2

?

此結(jié)論可直接由⑤推出．

（5）二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca????在閉區(qū)間[,]pq上的最值

設(shè)()fx在區(qū)間[,]pq上的最大值為M，最小值為m，令

0

1

()

2

xpq??．

（Ⅰ）當(dāng)0a?時（開口向上）

①若

2

b

p

a

??，則()mfp?②若

2

b

pq

a

???，則()

2

b

mf

a

??③若

2

b

q

a

??，則()mfq?

①若

02

b

x

a

??，則()Mfq?②

02

b

x

a

??，則()Mfp?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

0

x

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

0

x

第-15-頁共26頁

(Ⅱ)當(dāng)0a?時(開口向下)

①若

2

b

p

a

??，則()Mfp?②若

2

b

pq

a

???，則()

2

b

Mf

a

??③若

2

b

q

a

??，則()Mfq?

①若

02

b

x

a

??，則()mfq?②

02

b

x

a

??，則()mfp?．

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

0

x

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

(p)

f

(q)

()

2

b

f

a

?

0

x

第-16-頁共26頁

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)))((Dxxfy??，把使0)(?xf成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

))((Dxxfy??的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù))(xfy?的零點(diǎn)就是方程0)(?xf實數(shù)根，亦即函數(shù))(xfy?的圖象

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程0)(?xf有實數(shù)根?函數(shù))(xfy?的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù))(xfy?有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù))(xfy?的零點(diǎn)：

○1（代數(shù)法）求方程0)(?xf的實數(shù)根；

○2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù))(xfy?的圖象聯(lián)系起來，并利用函

數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)

)0(2????acbxaxy．

１）△＞０，方程02???cbxax有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有

兩個零點(diǎn)．

２）△＝０，方程02???cbxax有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點(diǎn)，

二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

３）△＜０，方程02???cbxax無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)

第一章三角函數(shù)

第-17-頁共26頁

P

x

y

A

OM

T

1、角?的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱?為第幾象限角．

第一象限角的集合為??36036090,kkk?????????

第二象限角的集合為??36090360180,kkk????????

第三象限角的集合為??36,kkk??????????

第四象限角的集合為??36,kkk??????????

終邊在x軸上的角的集合為??180,kk??????

終邊在y軸上的角的集合為??18090,kk???????

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為??90,kk??????

2、與角?終邊相同的角的集合為??360,kk????????

3、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

4、半徑為

r

的圓的圓心角?所對弧的長為l，則角?的弧度數(shù)的絕對值是

l

r

??．

5、弧度制與角度制的換算公式：2360??，1

180

?

?，

180

157.3

?

??

??

??

??

．

6、若扇形的圓心角為????為弧度制，半徑為

r

，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr??，2Crl??，

2

11

22

Slrr???．

7、設(shè)?是一個任意大小的角，?的終邊上任意一點(diǎn)?的坐標(biāo)是??,xy，它與原點(diǎn)

的距離是?

?220rrxy???，則sin

y

r

??，cos

x

r

??，??tan0

y

x

x

???．

8、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，

第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

9、三角函數(shù)線：sin????，cos????，tan????．

10.三角函數(shù)的基本關(guān)系：??221sincos1??????2222sin1cos,cos1sin????????；

??

sin

2tan

cos

?

?

?

?

sin

sintancos,cos

tan

?

????

?

??

??

??

??

．.（3）倒數(shù)關(guān)系：tancot1???

11、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

第-18-頁共26頁

????1sin2sink?????，??cos2cosk?????，????tan2tankk???????．

????2sinsin??????，??coscos??????，??tantan?????．

????3sinsin?????，??coscos????，??tantan?????．

????4sinsin?????，??coscos??????，??tantan??????．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

??5sincos

2

?

??

??

??

??

??

，cossin

2

?

??

??

??

??

??

．??6sincos

2

?

??

??

??

??

??

，cossin

2

?

??

??

???

??

??

．

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

12、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移?個單位長度，得到函數(shù)??sinyx???的圖象；再將函數(shù)

??sinyx???的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1

?

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)??sinyx????

的圖象；再將函數(shù)??sinyx????的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的?倍（橫坐標(biāo)不變），得到

函數(shù)??sinyx?????的圖象．

②數(shù)sinyx?的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1

?

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

sinyx??的圖象；再將函數(shù)sinyx??的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

?

?

個單位長度，得到函數(shù)

??sinyx????的圖象；再將函數(shù)??sinyx????的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的?倍（橫

坐標(biāo)不變），得到函數(shù)??sinyx?????的圖象．

13、函數(shù)????sin0,0yx?????????的性質(zhì)：

①振幅：?；②周期：

2?

?

??；③頻率：

1

2

f

?

?

??

?

；④相位：x???；⑤初相：?．

函數(shù)??sinyx???????，當(dāng)

1

xx?

時，取得最小值為

min

y

；當(dāng)

2

xx?

時，取得最大值為

max

y

，則

??

maxmin

1

2

yy???，??

maxmin

1

2

yy???，??

21122

xxxx

?

???．

14、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

sinyx?

cosyx?

tanyx?

y=cotx

函

數(shù)

性

質(zhì)

第-19-頁共26頁

圖

象

y=cotx

3

?

2

?

?

2

2

?

-

?

-

?

2

o

y

定義

域

RR

,

2

xxkk

?

?

??

????

??

??

,

2

xxkk

?

?

??

????

??

??

值域??1,1???1,1?

RR

最值

當(dāng)

2

2

xk

?

???

??k??時，

max

1y?；當(dāng)

2

2

xk

?

???

??k??時，

min

1y??．

當(dāng)??2xkk????時，

max

1y?；當(dāng)

2xk????

??k??時，

min

1y??．

既無最大值也無最小

值

既無最大值也無最小

值

周期

性

2?2?

??

奇偶

性

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

單調(diào)

性

在

2,2

22

kk

??

??

??

??

??

??

??k??上是增

在

????2,2kkk??????

上是增函數(shù)；在

??2,2kk????

??k??上是減函

在

,

22

kk

??

??

??

??

??

??

??k??上是增

函數(shù)．

第-20-頁共26頁

函數(shù)；在

3

2,2

22

kk

??

??

??

??

??

??

??k??上是減

函數(shù)．

數(shù)．

對稱

性

對稱中心

????,0kk???

對稱軸

??

2

xkk

?

?????

對稱中心

??,0

2

kk

?

?

??

???

??

??

對稱軸

??xkk????

對稱中心

??,0

2

k

k

?

??

??

??

??

無對稱軸

對稱中心

??,0

2

k

k

?

??

??

??

??

無對稱軸

第三章三角恒等變換

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴??coscoscossinsin?????????；⑵??coscoscossinsin?????????；

⑶??sinsincoscossin?????????；⑷??sinsincoscossin?????????；

⑸??tantan

tan

1tantan

??

??

??

?

??

?

?（????tantantan1tantan??????????）；

⑹??tantan

tan

1tantan

??

??

??

?

??

?

?（????tantantan1tantan??????????）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos????．222)cos(sincossin2cossin2sin1??????????????

⑵2222cos2cossin2cos112sin???????????

?升冪公式

2

sin2cos1,

2

cos2cos122

?

?

?

?????

第-21-頁共26頁

?降冪公式2

cos21

cos

2

?

?

?

?，2

1cos2

sin

2

?

?

?

?．

3、合一變形?把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的BxAy???)sin(??

形式。??22sincossin????????????，其中tan?

?

?

?

．

數(shù)學(xué)選修2-2

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一.導(dǎo)數(shù)概念的引入

1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：

瞬時速率。一般的，函數(shù)

()yfx?

在

0

xx?處的瞬時變化率是00

0

()()

lim

x

fxxfx

x??

???

?

，

我們稱它為函數(shù)()yfx?在

0

xx?處的導(dǎo)數(shù)，記作

0

()fx

?

或

0

|

xx

y

?

?

，即

0

()fx

?

=00

0

()()

lim

x

fxxfx

x??

???

?

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)

n

P趨近于P時，直線PT與曲線相切。容易知道，割線

n

PP的斜率

是0

0

()()

n

n

n

fxfx

k

xx

?

?

?

，當(dāng)點(diǎn)

n

P趨近于P時，函數(shù)()yfx?在

0

xx?處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即

0

0

0

0

()()

lim()n

x

n

fxfx

kfx

xx??

?

?

??

?

3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時，()fx

?

便是x的一個函數(shù)，我們稱它為

()fx

的導(dǎo)函數(shù).

()yfx?

的導(dǎo)函數(shù)有

時也記作y

?

,即

0

()()

()lim

x

fxxfx

fx

x??

???

?

?

?

二.導(dǎo)數(shù)的計算

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

1若

()fxc?

(c為常數(shù))，則

()0fx

?

?

；2若

()fxx??

,則1()fxx????

?;

3若

()sinfxx?

,則()cosfxx

?

?4若

()cosfxx?

,則

()sinfxx

?

??

;

5若()xfxa?,則

()lnxfxaa

?

?

6若()xfxe?,則

()xfxe

?

?

7若()logx

a

fx?,則

1

()

ln

fx

xa

?

?

8若()lnfxx?,則

1

()fx

x

?

?

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

第-22-頁共26頁

1.[()()]()()fxgxfxgx

???

???2.[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx

???

?????

3.

2

()()()()()

[]

()[()]

fxfxgxfxgx

gxgx

??

???

?

?

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

()yfu?

和

()ugx?

,稱則y可以表示成為

x

的函數(shù),即(())yfgx?為一個復(fù)合函數(shù)

(())()yfgxgx

???

??

三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):

一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間

(,)ab

內(nèi)

(1)如果

()0fx

?

?

，那么函數(shù)

()yfx?

在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果

()0fx

?

?

，那么函數(shù)

()yfx?

在這個區(qū)間單

調(diào)遞減.

2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.

求函數(shù)

()yfx?

的極值的方法是:（1）如果在

0

x附近的左側(cè)

()0fx

?

?

,右側(cè)

()0fx

?

?

,那么

0

()fx

是極大值（2）

如果在

0

x附近的左側(cè)

()0fx

?

?

,右側(cè)

()0fx

?

?

,那么

0

()fx

是極小值;

4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)

()yfx?

在

[,]ab

上的最大值與最小值的步驟：

(1)求函數(shù)

()yfx?

在

(,)ab

內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)

()yfx?

的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

()fa

，

()fb

比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.

附：高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論.

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)??

2121

,,xxbaxx???那么

??

1212

()()()0xxfxfx??????baxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在??

?

?

上是增函數(shù)；

??

1212

()()()0xxfxfx??????baxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在??

?

?

上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù))(xfy?在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果0)(?

?

xf，則)(xf為增函數(shù)；如果0)(?

?

xf，則)(xf為減

第-23-頁共26頁

函數(shù).

2.如果函數(shù))(xf和)(xg都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù))()(xgxf?也是減函數(shù);如果函數(shù)

)(ufy?和)(xgu?在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù))]([xgfy?是增函數(shù).

3．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那

么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

4.若函數(shù))(xfy?是偶函數(shù)，則)()(axfaxf????；若函數(shù))(axfy??是偶函數(shù)，則

)()(axfaxf????.

5.對于函數(shù))(xfy?(Rx?),)()(xbfaxf???恒成立,則函數(shù))(xf的對稱軸是函數(shù)

2

ba

x

?

?;兩個函

數(shù))(axfy??與)(xbfy??的圖象關(guān)于直線

2

ba

x

?

?對稱.

6.若)()(axfxf????,則函數(shù))(xfy?的圖象關(guān)于點(diǎn))0,

2

(

a

對稱;若)()(axfxf???,則函數(shù)

)(xfy?為周期為a2的周期函數(shù).

7．多項式函數(shù)1

10

()nn

nn

Pxaxaxa?

?

????的奇偶性

多項式函數(shù)()Px是奇函數(shù)?()Px的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)()Px是偶函數(shù)?()Px的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

abfbaf????)()(1.

27.若函數(shù))(bkxfy??存在反函數(shù),則其反函數(shù)為])([

1

1bxf

k

y???,并不是

)([1bkxfy???,而函數(shù)

)([1bkxfy???是])([

1

bxf

k

y??的反函數(shù).

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)()fxcx?,()()(),(1)fxyfxfyfc????.

(2)指數(shù)函數(shù)

()xfxa?,()()(),(1)0fxyfxfyfa????.

(3)對數(shù)函數(shù)

()log

a

fxx?,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa?????.

第-24-頁共26頁

(4)冪函數(shù)()fxx??,'()()(),(1)fxyfxfyf???.

(5)余弦函數(shù)()cosfxx?,正弦函數(shù)()singxx?，()()()()()fxyfxfygxgy???，

0

()

(0)1,lim1

x

gx

f

x?

??.

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）)()(axfxf??，則)(xf的周期T=a；

（2）0)()(???axfxf，或)0)((

)(

1

)(???xf

xf

axf，或

1

()

()

fxa

fx

???

(()0)fx?,

或??2

1

()()(),(()0,1)

2

fxfxfxafx?????,則)(xf的周期T=2a；

(3))0)((

)(

1

1)(?

?

??xf

axf

xf，則)(xf的周期T=3a；

(4)

)()(1

)()(

)(

21

21

21xfxf

xfxf

xxf

?

?

??且

1212

()1(()()1,0||2)fafxfxxxa??????，則)(xf的周期T=4a；

(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa???????

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa?????,則)(xf的周期T=5a；

(6))()()(axfxfaxf????，則)(xf的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

(1)

1m

n

n

m

a

a

?（0,,amnN???，且1n?）.(2)

1m

n

m

n

a

a

??（0,,amnN???，且1n?）.

32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)

(0,,)rsrsaaaarsQ?????.(2)()(0,,)rsrsaaarsQ???.

(3)

()(0,0,)rrrabababrQ????.

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指

數(shù)冪都適用.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

22sincos1????，tan?=

?

?

cos

sin

，tan1cot????.

第-25-頁共26頁

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

47.和角與差角公式

sin()sincoscossin?????????;cos()coscossinsin????????;

tantan

tan()

1tantan

??

??

??

?

??.22sin()sin()sinsin??????????(平方正弦公式);

22cos()cos()cossin??????????.

sincosab???=22sin()ab????(輔助角?所在象限由點(diǎn)(,)ab的象限決定,tan

b

a

??).

48.二倍角公式

sin2sincos????.2222cos2cossin2cos112sin???????????.

2

2tan

tan2

1tan

?

?

?

?

?

.

49.三倍角公式

3sin33sin4sin4sinsin()sin()

33

??

???????????.

3cos34cos3cos4coscos()cos()

33

??

???????????.

3

2

3tantan

tan3tantan()tan()

13tan33

????

????

?

?

????

?

.

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)sin()yx????，x∈R及函數(shù)cos()yx????，x∈R(A,ω,?為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期

2

T

?

?

?；

函數(shù)tan()yx????，,

2

xkkZ

?

????(A,ω,?為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T

?

?

?.

51.正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

???.

(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

第-26-頁共26頁

52.余弦定理

2222cosabcbcA???;2222cosbcacaB???;2222coscababC???.

191.函數(shù))(xfy?在點(diǎn)

0

x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù))(xfy?在點(diǎn)

0

x處的導(dǎo)數(shù)是曲線)(xfy?在))(,(

00

xfxP處的切線的斜率)(

0

xf

?

，相應(yīng)的切線方程

是

))((

000

xxxfyy?

?

??.

192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)0?

?

C（C為常數(shù)）.(2)'1()()n

n

xnxnQ???

.(3)xxcos)(sin?

?

.(4)xxsin)(cos??

?

.(5)

x

x

1

)(ln?

?

；e

a

x

x

alog

1

)(log?

?

(6)xxee?

?

)(;aaaxxln)(?

?

.

193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

（1）'''()uvuv???.（2）'''()uvuvuv??.（3）

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv

?

??.

194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)()ux??在點(diǎn)

x

處有導(dǎo)數(shù)''()

x

ux??

，函數(shù))(ufy?在點(diǎn)

x

處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)''()

u

yfu?

，則

復(fù)合函數(shù)(())yfx??在點(diǎn)

x

處有導(dǎo)數(shù)，且'''

xux

yyu??

，或?qū)懽?''(())()()

x

fxfux???

.