不等式題

1.若aR，下列不等式恒成立的是

D.—1

4.

設x,y?R,且x?y=5,則3x3y的最小值是（)

A.10B.63C.4.6

D.183

5.

若x,y是正數，且

1-=1,則xy有

xy

(

)

A.最大值16B.最小值丄

16

C.最小值16D.

最大

值丄

16

6.

若a,b,C€R,

且ab+bc+ca=1,

則下列不等式成立的是

()

A.a2b2

C

2_2B2.(a■b■C)-3

C.1丄丄_2“_、.3

abc

(

A

)

c.

2ab

1

2

B.a2b2

D.a

3.

設x>0,

則y=3—3x—丄的

x

最大值為

(

)

A.3B.3一3-2c.3-

2.3

2.

若0:::a:::b且a?b=1,

則下列四個數

中最大的是

A.a21aC.a2■(a21).lg|2a|

7.

若x>0,y>0,且x+y空4,則下列不等式中恒成立的是

A

.

11B.

xy4

丄丄1

xy

C.,刃一2D1

1xy

8.

a,b是正數，則ab

,,0b,

2ab

三個數的大小順序是

(

)

2

ab

ab2ab

<

B.?.磯a%2ab

2a+b

2

ab

2abab

<

D..a^2ab

ab

<

a+b2a+b

2

9.

某產品的產量第一年的增長率為P,第一年的增長率為

q,

設這兩

年平均增長率為X,則有（

)

A.x=pqB.x::：

.x_p

q

2222

10.

下列函數中，最小值為4的是()

.4

A.y二xB.y_sinx

4

（0：：:

xsinx

C.y二ex4e叢D.y=log3x4logx3

11.函數y=x.1「x2的最大值為

12.建造一個容積為18m3，深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和

池壁每m的造價為200元和150元，那么池的最低造價為元.

13.若直角三角形斜邊長是1，則其內切圓半徑的最大值

是_____.

2214.若x,y為非零實數，代

數式15的值恒為正，對嗎?

yxyx

15.已知：x2y2=a,m2n2=b(a,b0),求m)+ny的最大值.

16.已知f(x)=logx(a?0且a=1,xR).若花、x

扣區)")］與f(寧)的大小，并加以證明

17.已知正數a，b滿足出=1(1)求ab的取值范圍；(2)求

ab

ab

的最小值.

對所有的正整數n都成立.

§3.4基本不等式

經典例題：

【解析】證法一假設(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a同時大于寸,

T1—a>0,b>0,「.(1一？b>(1-a)b?,：二寸,

18.設a.=.,12?i23?…一nn1.證明不等式

n(n1)

2

:::an

n12

2

同理—丄,(―丄.三個不等式相加得2.2，不可能，

222222

二(1—a)b,(1—b)c,(1—c)a不可能同時大于-.

4

證法二假設(1_a)b,(1-b)c1,(1-c)a1同時成立，

444

1—a>0,1—b>0,1—c>0,a>0,b>0,c>0,

1

(1-a)b(1-b)c(1-c)a?

64

即(1-a)a(1-b)b(1-c)c右.(*)又T(1-a)a<(1?a—,

11

同理(1—b)b<,(1-c)c<

44

(1—a)a(1—b)b(1—c)c<丄與(*)式矛盾，

64

故(1_a)b,(1_b)c,(1_c)a不可能同時大于1.

4

當堂練習：

1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;1O.C;11.1;12.

2

3600;

13.21;14.

2

對;

15..ab

當且僅當X1=X2時，取“=”號.

16.

【解析】

為+x

2

f(xjf(X2)=logaX1logaX2=loga(X1X2),f(2)=loga

X

1

X

2

X

1、

X2R,X1X2乞(x

X2)2

2)

當a1時，有loga^x?)_loga(X瀘).

.,、％+X

2

1X

2

…—loga(XiX2)乞叮oga(—-).[loga%logaX2]豈loga(--).

2222即![f(X!)f(X2)]乞f(X^^2).

22

當0.：a::1時，有loga(xiX2)_loga(勺X2)2?

1為X2

即二[f(xjf(X2)]—f(—-).

22

17.(1)0,1(2)

14」

17

4

18.【解析】證明由于不等式k-k(k1)「(k化2—1

對所有的正整數k成立，把它對k從1到n(n>1)求和，得到

又因12「n』如

2

-352n-11(n-1)2

3■5潛…卜2^：：：丄[135?…(2n1)]=丄?

22222

因此不等式叫」y：丄二】對所有的正整數n都成立.

22