三角形的內(nèi)角和

三角形的內(nèi)角和（基礎(chǔ)）知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；

2．掌握三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)；

3．能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問題.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．

要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：

①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；

②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；

③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．

要點(diǎn)二、三角形的外角

1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△

ABC的一個(gè)外角.

要點(diǎn)詮釋：

(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是

三角形某條邊的延長線．

（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)

頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．

2．性質(zhì)：

（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．

要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使

用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．

3.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°.

要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，

可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．

【典型例題】

類型一、三角形的內(nèi)角和

1．證明：三角形的內(nèi)角和為180°.

【答案與解析】

解：已知：如圖，已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°.

證法1：如圖1所示，延長BC到E，作CD∥AB．因?yàn)锳B∥CD（已作），所以∠1=∠A（兩

直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）．

又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定義），

所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代換）．

證法2：如圖2所示，在BC邊上任取一點(diǎn)D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB

于點(diǎn)F．

因?yàn)镈F∥AC（已作），

所以∠1=∠C（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠DEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．

因?yàn)镈E∥AB（已作）．

所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（兩直線平行，同位角相等）．

所以∠A=∠2（等量代換）．

又∠1+∠2+∠3=180°（平角定義），

所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）．

證法3：如圖3所示，過A點(diǎn)任作直線

1

l，過B點(diǎn)作

2

l∥

1

l，過C點(diǎn)作

3

l∥

1

l，

因?yàn)?/p>

1

l∥

3

l（已作）．

所以∠l=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．

同理∠3=∠4．

又

1

l∥

2

l（已作），

所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．

所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代換）．

又∠2+∠3=∠ACB，

所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代換）．

證法4：如圖4，將ΔABC的三個(gè)內(nèi)角剪下，拼成以C為頂點(diǎn)的平角.

證法5：如圖5－1和圖5－2，在圖5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在圖

5－2中過A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，進(jìn)而將三個(gè)內(nèi)角拼成平角.

【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和定理的證明方法有很多種，無論哪種證明方法，都是應(yīng)用的平行

線的性質(zhì).

2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，試求∠A，∠B和∠C的度數(shù)．

【思路點(diǎn)撥】題中給出兩個(gè)條件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等

于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度數(shù)．

【答案與解析】

解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，

知∠C＝100°．

又∵∠C＝2∠B，

∴∠B＝50°．

∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件∠A+∠B+∠C＝180°．本題可以設(shè)∠B＝x，

則∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．

舉一反三：

【變式】已知，如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù).

【答案】

解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A

設(shè)∠A=x

則∠C=∠ABC=2x

x+2x+2x=180°

解得：x=36°

∴∠C=2x=72°

在△BDC中，BD是AC邊上的高，

∴∠BDC=90°

∴∠DBC=180°－90°-72°=18°

類型二、三角形的外角

3.（1）如圖，AB和CD交于交于點(diǎn)O，求證：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

（2）如圖，求證：∠D=∠A＋∠B+∠C．

【答案與解析】

解：（1）如圖，在△AOC中，∠COB是一個(gè)外角，由外角的性質(zhì)可得：∠COB＝∠A＋∠C，

同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，

所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

（2）如圖，延長線段BD交線段與點(diǎn)E，

在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B①；

在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C②，

將①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得證．

【總結(jié)升華】重要結(jié)論：（1）“8”字形圖：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；

（2）“燕尾形圖”：∠D=∠A＋∠B+∠C．

舉一反三：

【變式1】（新疆建設(shè)兵團(tuán)）如圖，AB∥CD，AD和BC相交于點(diǎn)O，∠A＝40°，∠AOB＝

75°，則∠C等于（）

A、40°B、65°C、75°D、115°

【答案】B

【變式2】（2015春?龍口市）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為度．

【答案】如圖連接CE，

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，

在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，

∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．

類型三、三角形的內(nèi)角外角綜合

4.（2015春?綠園）如圖，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC邊上

的高，求∠DAE的度數(shù)．

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，由角平分線的定義得出∠BAD的

度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ADE的度數(shù)，由兩角互補(bǔ)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【答案與解析】

解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）

∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形內(nèi)角和180°）．

又∵AD平分∠BAC（己知），

∴∠BAD=21°，

∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性質(zhì)）．

又∵AE是BC邊上的高，即∠E=90°，

∴∠DAE=90°﹣59°=31°．

【總結(jié)升華】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的

關(guān)鍵．

舉一反三：

【變式】如圖所示，已知△ABC中，P為內(nèi)角平分線AD、BE、CF的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG

⊥BC于G，試說明∠BPD與∠CPG的大小關(guān)系并說明理由．

【答案】

解：∠BPD＝∠CPG．理由如下：

∵AD、BE、CF分別是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線，

∴∠1＝

1

2

∠ABC，∠2＝

1

2

∠BAC，∠3＝

1

2

∠ACB．

∴∠1+∠2+∠3＝

1

2

(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．

又∵∠4＝∠1+∠2，

∴∠4+∠3＝90°．

又∵PG⊥BC，

∴∠3+∠5＝90°．

∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．