圓的一般方程

《圓的一般方程》教學設計（1課時）一、教材分析

教材是在圓的標準方程的基礎上得出了圓的一般方程，然后分析方程特點，即討

論系數在通過配方觀察方程何時表示圓、何時不是圓，判斷的標準是圓的標準方

程，這樣做緊扣圓的幾何特征，最后得出二元二次方程表示圓的充要條件，使學

生加深對圓的一般方程的認識與記憶，認識到標準方程與一般方程的聯系與區別。

并對數學中分類思想，對比記憶等思想有更深的了解和掌握。

教材配備了兩個例題，例3利用圓的標準方程求同心圓方程：例4則是利用待定

系數法通過一般方程解過三點的圓的方程，這是數學中常用的一種方法。

二、學情分析

學生是在已有知識的基礎上能夠推導出圓的一般方程，并能初步利用圓的標準方

22解決程的特點研究圓的一般方程，學生在利用圓的一般方程0F?Dx?xEy?y??22，

靈活使用圓的方程的兩種形式解決問題時，常忽略表示圓的條件0??4D?EF問題

是學生學習的難點。

三、本節滲透的數學思想及教學方法分析

根據以上教材分析，貫徹以啟發性教學原則，教師引導，學生學習為主體的教學

思想，分析與討論結合。

1、經歷用待定系數法求圓的方程的過程，它是數學中常用的一種方法，在學習

過程中體會用代數方法解決幾何問題的思想。

2、圓的一般方程含有三個參變量，需要三個條件（坐標）才能確定圓，樹立利

用方程的思想求解參數變量。

3、引導學生分析兩個方程之間的互化關系，選擇兩個方程解決問題的條件和優

缺點。

4.教學中體現了轉化、數形結合及方程的數學思想方法。

四.教學目標

知識與技能：

1).掌握圓的一般方程及一般方程的特點

2).能將圓的一般方程化成圓的標準方程，進而求出圓心和半徑

3).能用待定系數法由已知條件求出圓的方程

過程與方法：

1).通過問題的分析與解決使學生認識研究問題中由簡單到復雜，由特殊到一般

的化歸思想。

2).通過分析，充分了解分類思想在數學中的重要地位，強化學生的觀察，思考

能力。

情感態度與價值觀：

培養學生主動探索、勇于思考、合作交流的意識，在體現數學美的過程中激發學

生的學習興趣，從而培養學生勤于動腦和動手的良好思維品質。

五.教學重、難點

教學重點：

22的形式特征。1.圓的一般方程0?F??y??DxxEy2.待定系數法求圓的方程。

教學難點：

2222分類討論。及對1.方程F?DE?40?Ey??yF?Dx?x2.根據具體條件，選擇圓的

方程解決有關問題及待定系數法求圓的方程。

難點突破：

22的分類討論，使問題化難為易，難點個個攻破，使課堂教學通過對F4D??E顯

得輕松易學。

六．學法分析

在教學活動中，教師提出疑問，引導學生主動思考，主動探究，討論交流，在積

極的學習中解決問題，獲得知識。貫穿“疑問”—“思索”—“發現”—“解惑”

四個學習環節。

七．教學過程設計

（一）創設情境，引發思考，引入新知

問題1：A.B兩鎮相距10km，為了響應黨的號召,豐富人民的文化生活,現在兩鎮

之間修建一個文化廣場,為方便大部分群眾,現要求廣場到兩鎮之間距離的平方

和為60,那么廣場應修建在何處?

分析：僅僅依據問題中的幾個數據無法表示距離，若將這個問題放在直角坐

標系x軸，以AB的中點為坐標中來考慮，就能很快表示出距離，以AB兩鎮所在

的直線為原點建立直角坐標系，則，設為廣場所在的位置，則有)yP(x,0B5A(?,0),(5,)

1

222222。，化簡得你能說明這是一個什么方程嗎？5yx5?(x?)??y?(x?5)??y60廣場應建在

什么位置？

設計意圖：以生活中的實例提出問題，激發學生的學習興趣，并借此復習學

生已經掌握的圓的標準方程，并為圓方程改寫成二元二次方程的形式引出圓的一

般方程做鋪墊。

222的展開式是什么？：：問題2圓的標準方程r?(y-b)(x-a)?22222

0?b?y--2ax-2by?axr?222+bD=-2a，E=-2b,F=a-r由于a,b,r

均為常數，故設此方程可寫成下面的形式：

22①0???yF?Dx?Eyx故任何一個圓的方程都可以用上式表示。

思考：形如①的方程表示的曲線一定是圓嗎？

設計意圖：在問題1的基礎上由圓的標準方程展開問題引發概念，給學生思考、

探索的空間，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，提高分析和解決問題的能力。

（二）深入思考，得出結論

如果形如①的方程表示的曲線是圓，那么由方程可求出圓心和半徑。下面我們配

22?4DF?EDE22(x?)?(y?)?②方整理可得：22422?4F?EDED22222??)x?)?(y(的形式

+(y-b)=r與比較圓的標準方程(x-a)42222的正負有關。上式表不表示圓，關

鍵跟F?D4?EDE1222204DF?E???4?E?)R?DF,?(為半以為圓心，時，當1）表示以222

徑的圓。DE22F?DE?4y????x即表示一個點）當2=0時，方程只有實數解，

22ED。)(??,2222?4FE??0D時，方程沒有實數解，因而不表示任何圖形。）當3

2

22表示的曲線不一定述，方程是圓，只有當綜上所0F?y??Dx?Ey?x2222叫圓的一

般時，它表示的曲線才是圓，此時0?4DF?E?0F?Dx?Eyx?y??DE122為半徑的圓。

方程。表示以為圓心，F?E)4R(??D?,?222

設計意圖：通過本過程，學生實現了對圓的方程更深的理解，實現了對圓的一般

方程的理解。引導學生理解圓的一般方程的意義，真正知道什么情況下表示圓，

并理解為什么。

（三）兩相對比，加深理解

222明確指出了圓心和半徑。=r+(y-b)標準方程：(x-a)22突出了形式上的特點一

般方程：0?F??y?Dx?xEy22的系數相同，且不等于0和。1．xy2．沒有xy這樣

的二次項。

223.0?4DF?E?

設計意圖：通過比較，不僅復習了以前的知識，增強了記憶。對今天的新課也有

了更深層次的理解。

（四）知識運用，鞏固概念

例1．判別下列方程表示什么圖形,如果是圓,找出圓心和半徑。

22-2x+4y+1=0x+y（1）22+2by=0（b≠0）x（2）+y22?4x?6y?y?3?0x相同的圓的方

程。，且圓心與已知圓例2．求過點),1?M(1方法一：利用配方法將其變成

圓的標準形式，求出圓心后再求半徑。

方法二：利用圓的一般方程方程形式求解，由于所求圓與已知圓是同心圓，故可

22?4x?6y?F?xy?0，然后將M點代入，利用待定系數法求F設所求圓的方程為：。

設計意圖：本題較簡單，學生獨立求解，然后教師點評。設計目的是讓學生應用

新知，鞏固知識，強調圓的標準方程與一般方程方程的相互轉化及二元二次方程

3

22表示圓的條件。同時也增強學生自信，提高興趣。0??Ey?x?yF?Dx

例3．求過三點O(0,0),M(1,1),M(4,2),的圓的方程，并指出圓心和半徑。21

設計意圖：讓學生通過自主解答，發現困難，教師適時引導，總結出用待定系數

法求圓的一般方程的步驟。通過本小題進一步理解待定系數法這一思想。

注：用待定系數法求圓的方程的步驟：

（1）根據題意設所求圓的方程為標準式或一般式；（圓的一般方程與圓的標準方

程在運用上的比較，(1)若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標準方程較

簡單.

(2)若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數法求解）

（2）根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設方程，就得要求的方程。

（五）反饋練習，強化概念

教材80頁，練習1、（2）（4）2.

（六）課堂小節，形成體系

從知識與方法兩個方面進行歸納。（學生先歸納總結，教師補充強調）

22，其,其表達式為1．本節課的主要內容是圓的一般方程0??F?Dx?xEy?y特點

是：

22的系數相同，且不等于0。1）和（xy（2）沒有xy這樣的二次項

22）（30FE??D4?DE122為半徑的圓。表示以為圓心，

F?R?(?D4?,?)E2222．圓的一般方程與圓的標準方程在運用上的比較

（1）若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標準方程較簡單.

（2）若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數法求解.

3.本節課用的數學思想方法：

（1）通過特殊認識一般的思想方法。

4

（2）配方法(求圓心和半徑).待定系數法(求圓的一般方程)

（3）問題轉化和分類討論的思想(原則是不重復,不遺漏)

六．作業布置：

教材85頁A組1、2

七．板書設計：

八、課后練習、鞏固新知

一基礎題

22的圓心坐標和半徑分別為．1．圓0?4x3??y6y??x

22表示的圖形是圓，則的取值范圍是2．若方程．05mx??y??2x4my?m

2222?的圓心在直．若圓線上，則、3)?4F?Dx?Ey(D??Ex0?y?0y?x?0DF、的關系

有．FE22的圓心是，是坐標原

點，則4．已知圓．04??4x?xy??||POOP22的圓

心相同的圓的方：5．過點且與已知圓03??4y?y??2xxC)1，??1M(?程是。

222?b02by?y??2xx?上的點關于直線對稱，則6．若圓．?b0?x?y7．過三，，

的圓的方程是．)1，??1)N(42，??，O(0??0)M(二提

高題

8．求過三點，，的圓的方程．)???25)6C(，1A(?，??5)5B(，??

22?2x?2y?1?xy?0關于直線9．求圓對稱的圓的方程．0??x?y3

5

三能力題

1，那么點的距離之比為，的坐標10．已知點與兩個頂點)3，??(0，??0)0A(M(x，

y)OM2滿足什么關系？畫出滿足條件的點所形成的曲線．M

九、教學后記本節課采用“問題探討教學”和“自主探究式教學”相結合，志

在體現學生學習“通過特殊認識一般”教學中突出數學思想方法的滲透，引導學

生運用了的主體地位，的思想方法探究新知，利用“待定系數法”與“配方法”

進行圓的一般方程與標準方程的轉化，借助“數形結合”的思想分析問題，解決

問題。教學最后讓學生從知識與鞏固所學新知的好習慣，系統總結，方法兩個方

面進行歸納小結，培養學生及時梳理，課后練習的完成使學生進一步鞏固新知，

加強了對本節知識的進一步認識與運用。22對方對程及本外，學生在學習節知

識時，在另0Fx??yDx??Ey?22分類討論及利用“配方法”確定圓的標準方程上存

在困難，在今后教學F?D?E4中應加強使學生訓練與提高。

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