三角函數題

1

三角函數1

1.在下列各組角中，終邊不相同的一組是()

A．60°與－300°B．230°與950°C．1050°與－300°D．－1000°與80°

2．給出下列命題，其中正確的是()

(1)弧度角與實數之間建立了一一對應的關系

(2)終邊相同的角必相等(3)銳角必是第一象限角

(4)小于90°的角是銳角(5)第二象限的角必大于第一象限角

A．(1)B．(1)(2)(5)C．(3)(4)(5)D．(1)(3)

3．一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，則這個扇形所含弓形的面積為()

A.

1

2

(2－sin1cos1)R2B.

1

2

sin1cos1R2C.

1

2

R2D．(1－sin1cos1)R2

4．α是第二象限角，P(x，5)為其終邊上一點且cosα＝

2

4

x，則x的值為()

A.3B．±3C．－3D．－2

二、填空題

6．填寫下表：

角α的度數－570°

375°

角α的弧度數

4π

5

－3

－

135π

12

角α所在的象限

7.(2008年惠州調研)已知θ∈

?

?

?

?

π

2

，π

，sinθ＝

3

5

，則tanθ＝________.

8．函數y＝

sinx

|sinx|

＋

cos2x

cosx

－

|tanx|

tanx

的值域是________．

9．已知一扇形的面積S為定值，求當扇形的圓心角為多大時，它的周長最小？最小值是多少？

10．已知點P(3r，－4r)(r≠0)在角α的終邊上，求sinα、cosα、tanα的值．

2

同角三角函數的基本關系及誘導公式

一、選擇題

1．sin2009°的值屬于區間()

A.

?

?

?

?

1

2

，1

B.

?

?

?

?

0，

1

2

C.

?

?

?

?

－1，－

1

2

D.

?

?

?

?

－

1

2

，0

2．α是第四象限角，tanα＝－

5

12

，則sinα＝()

A.

1

5

B．－

1

5

C.

5

13

D．－

5

13

3．已知f(x)＝2cos

π

6

x，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝()

A．0B．2C．2＋3D．3＋3

4．如果sinθ＝m,180°<θ<270°，那么tanθ＝()

A.

m－3

1－m2

B．－

m

1－m2

C．±

m

1－m2

D．－

1－m2

m

二、填空題

6．化簡：

1＋2sin20°cos160°

sin160°－1－sin220°

＝________.

7．已知sin(540°＋α)＝－

4

5

，則cos(α－270°)＝__________；若α為第二象限角，則

[sin?180°－α?＋cos?α－360°?]2

tan?180°＋α?

＝________________.

8．已知

tanα

tanα－1

＝－1，則

sinα－3cosα

sinα＋cosα

＝__________；sin2α＋sinαcosα＋2＝__________.

三、解答題

9．化簡：

sin?nπ＋α?cos?nπ－α?

cos[?n＋1?π－α]

(n∈Z)．

3

兩角和與差、二倍角公式及簡單的三角恒等變換

一、選擇題

1.

?

?

?

?

cos

π

12

－sin

π

12?

?

?

?

cos

π

12

＋sin

π

12

＝()

A．－

3

2

B．－

1

2

C.

1

2

D.

3

2

2．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝

3

5

，那么cos2β的值為()

A.

7

25

B.

18

25

C．－

7

25

D．－

18

25

3．(2009年上海預考)已知0<α<π，sinα＋cosα＝

1

2

，則cos2α的值為()

A.

7

4

B．－

7

4

C．±

7

4

D．－

3

4

4．(2008年湖南卷)函數f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在區間

?

?

?

?

π

4

，

π

2

上的最大值是()

A．1B.

1＋3

2

C.

3

2

D．1＋3

5．若α為第三象限角，則

cosα

1－sin2α

＋

2sinα

1－cos2α

的值為()

A．3B．－3C．1D．－1

二、填空題

6．(2009年淄博模擬)已知α，β∈

?

?

?

?

3π

4

，π

，sin(α＋β)＝－

3

5

，sin

?

?

?

?

β－

π

4

＝

12

13

，則cos

?

?

?

?

α＋

π

4

＝________.

7．已知α，β均為銳角，且sinα－sinβ＝－

1

2

，cosα－cosβ＝

1

3

，則cos(α－β)＝______.

8.(2009年青島模擬)2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是我國以古代數學

家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個

大正方形(如右圖)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小

的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________．

三、解答題

9．已知cos()α＋β

＝

4

5

，cos()α－β

＝－

4

5

，且

3

2

π<α＋β<2π，

π

2

<α－β<π，分別求cos2α和cos2β的值．

10．(2009年培正中學月考)設f(x)＝6cos2x－3sin2x.

(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若銳角α滿足f(α)＝3－23，求tan

4

5

α的值．

4

三角函數的性質

一、選擇題

1．(2008年廣東卷)已知函數f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，則f(x)是()

A．最小正周期為π的奇函數B．最小正周期為

π

2

的奇函數

C．最小正周期為π的偶函數D．最小正周期為

π

2

的偶函數

2．函數f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的單調遞增區間是()

A.

?

?

?

?

－π，－

5π

6

B.

?

?

?

?

－

5π

6

，－

π

6

C.

?

?

?

?

－

π

3

，0

D.

?

?

?

?

－

π

6

，0

3．當x∈

?

?

?

?

－

π

2

，

π

2

時，函數f(x)＝sinx＋3cosx的值域是()

A．[－1,1]B.

?

?

?

?

－

1

2

，1

C．[－2,2]D．[－1,2]

4．已知－

π

6

≤x<

π

3

，cosx＝

m－1

m＋1

，則m的取值范圍是()

A．m＜－1B．3

5．(2009年全國卷Ⅰ)如果函數y＝3cos(2x＋φ)的圖象關于點

?

?

?

?

4π

3

，0

中心對稱，那么

||φ

的最小值為()

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

二、填空題

6．(2008年廣東卷)已知函數f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，則f(x)的最小正周期是________．

7．下面有5個命題：①函數y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②終邊在y軸上的角的集合是

?

?

?

?

?

?

α

?

?

α＝

kπ

2

，k∈Z

.

③在同一坐標系中，函數y＝sinx的圖象和函數y＝x的圖象有3個公共點．

④把函數y＝3sin

?

?

?

?

2x＋

π

3

的圖象向右平移

π

6

得到y＝3sin2x的圖象．

⑤函數y＝sin

?

?

?

?

x－

π

2

在[0，π]上是減函數．

其中，真命題的編號是______．(寫出所有真命題的編號)

8．函數y＝sin

?

?

?

?

－2x＋

π

3

的遞減區間是________；函數y＝lgcosx的遞減區間是________．

三、解答題

9．求函數y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數在[0，π]上的單調遞

增區間．

10．是否存在實數a，使得函數y＝sin2x＋a·cosx＋

5

8

a－

3

2

在閉區間

?

?

?

?

0，

π

2

上的最大值是1？若存在，求

出對應的a值；若不存在，試說明理由．

5

三角函數的圖象及其變換

一、選擇題

1．(2010年全國卷Ⅰ)為得到函數y＝cos

?

?

?

?

x＋

π

3

的圖象，只需將函數y＝sinx的圖象()

A．向左平移

π

6

個長度單位B．向右平移

π

6

個長度單位

C．向左平移

5π

6

個長度單位D．向右平移

5π

6

個長度單位

2.(2009年廈門模擬)函數y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部

分圖象如右圖所示，則()

A．ω＝

π

2

，φ＝

π

4

B．ω＝

π

3

，φ＝

π

6

C．ω＝

π

4

，φ＝

π

4

D．ω＝

π

4

，φ＝

5π

4

3．函數y＝sin

?

?

?

?

2x－

π

3

在區間

?

?

?

?

－

π

2

，π

的簡圖是()

4．若函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R

?

?

?

?

其中ω>0，

||φ

<

π

2

的最小正周期是π，且f(0)＝3，則()

A．ω＝

1

2

，φ＝

π

6

B．ω＝

1

2

，φ＝

π

3

C．ω＝2，φ＝

π

6

D．ω＝2，φ＝

π

3

5.如右圖所示是函數y＝2sin(ωx＋φ)

?

?

?

?

|φ|≤

π

2

ω＞0

的一段圖象，則ω、

φ的值是()

A．ω＝

10

11

，φ＝

π

6

B．ω＝

10

11

，φ＝－

π

6

C．ω＝2，φ＝

π

6

D．ω＝2，φ＝－

π

6

二、填空題

6．將函數y＝f(x)·sinx(x∈R)的圖象向右平移

π

4

個單位后，再作關于x軸的對稱變換，得到函數y＝1

－2sin2x的圖象，則f(x)可以是__________．

6

7．函數f(x)＝3sin

?

?

?

?

2x－

π

3

的圖象為C，如下結論中正確的是________(寫出所有正確結論的編號)．

①圖象C關于直線x＝

11

12

π對稱；

②圖象C關于點

?

?

?

?

2π

3

，0

對稱；

③函數f(x)在區間

?

?

?

?

－

π

12

，

5π

12

內是增函數；

④由y＝3sin2x的圖象向右平移

π

3

個單位長度可以得到圖象C.

8．設函數f(x)的圖象與直線x＝a，x＝b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f(x)在[a，b]上的面積，已

知函數y＝sinnx在0，

?

?

?

?

π

n

上的面積為

2

n

(n∈N*)，則y＝sin3x在

?

?

?

?

0，

2π

3

上的面積為________.

三、解答題

9．(2010年廣東卷)已知函數f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)(x∈R)的最大值是1，其圖象經過點M

?

?

?

?

π

3

，

1

2

.

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α、β∈

?

?

?

?

0，

π

2

，且f(α)＝

3

5

，f(β)＝

12

13

，求f(α－β)的值．

10．(2010年山東卷)已知函數f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，(0<φ<π，ω>0)為偶函數，且函數y＝

f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

.

(1)求f

?

?

?

?

π

8

的值；

(2)將函數y＝f(x)的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，

縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)的解析式及其單調遞減區間．

7

正、余弦定理及應用

一、選擇題

1．(2009年德州模擬)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且c

＝2a，則cosB＝()

A.

1

4

B.

3

4

C.

2

4

D.

2

3

2．用長度分別為2、3、4、5、6(單位：cm)的5根細木棒圍成一個三角形(允許連接，但不允許折斷)，

能夠得到的三角形的最大面積為()

A．85cm2B．610cm2C．355cm2D．20cm2

3．(2009年成都模擬)設a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，則a2＝b()b＋c

是A＝2B的()

A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而充分條件D．既不充分又不必要條件

4.如右圖所示，在山腳A處測得該山峰仰角為θ，對著山峰在平坦地面上前進

600m后測得仰角為原來的2倍，繼續在平坦地面上前進2003m后，測得山峰的

仰角為原來的4倍，則該山峰的高度為()

A．200mB．300mC．400mD．1003m

5．甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B

出發以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是()

A.

150

7

分鐘B.

15

7

分鐘C．21.5分鐘D．2.15分鐘

二、填空題

6．(2008年山東卷)已知a、b、c分別為△ABC的三個內角A、B、C的對邊，向量m＝(3，－1)，n

＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，則角B＝________.

7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差數列，邊a、b、c成等比數列，且邊b＝4，則S△ABC

＝________.

8．如右圖所示，為測量河對岸A、B兩點的距離，在河的這邊取C、D兩點觀

察．測得CD＝3km，∠ADB＝45°，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠DCB＝45°，

(A、B、C、D在同一平面內)，則A、B兩點間的距離為________．

三、解答題

9.(2009年銀川模擬)如右圖所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝

3

4

.

(1)求AB的值；(2)求sin()2A＋C

的值．

10．(2008年全國卷Ⅱ)在△ABC中，cosB＝－

5

13

，cosC＝

4

5

.

(1)求sinA的值；

(2)設△ABC的面積S△ABC＝

33

2

，求BC的長．

8

角的概念和任意角的三角函數參考答案

1．C2.D3.D

4．解析：∵cosα＝

x

r

＝

x

x2＋5

＝

2

4

x，∴x＝0(舍去)或x＝3(舍去)或x＝－3.答案：C

5．C6.略7．－

3

4

8．{1，－3}

9．解析：設扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，周長為C，

則S＝

1

2

lr，∴r＝

2S

l

，∴C＝l＋2r＝l＋

4S

l

≥4S，

又∵0

4πS

l

，∴l<2πS.

當且僅當l＝

4S

l

，即l＝2S<2πS時等號成立．

∴當l＝2S時，周長有最小值4S，

此時，α＝

l

r

＝l×

l

2S

＝

?2S?2

2S

＝2(rad)．

10．解析：因為x＝3r，y＝－4r，

所以|OP|＝x2＋y2＝5|r|.

(1)當r>0時，則|OP|＝5r，sinα＝－

4

5

，cosα＝

3

5

，tanα＝－

4

3

.

(2)當r<0時，則|OP|＝－5r，sinα＝

4

5

，cosα＝－

3

5

，tanα＝－

4

3

.

同角三角函數的基本關系及誘導公式參考答案

1．D

2．解析：α是第四象限角，tanα＝－

5

12

，則sinα＝－

1

1＋cot2α

＝－

5

13

.答案：D

3．C4.B5.D6.－17．－

4

5

－

3

100

8．－

5

3

13

5

9．解析：①當n＝2k(k∈Z)時，原式＝

sinαcosα

－cosα

＝－sinα；

②當n＝2k－1(k∈Z)時，原式＝

?－sinα??－cosα?

cosα

＝sinα.

10．解析：由sin()3π＋θ

＝lg

1

3

10

，有－sinθ＝lg10－

1

3

＝－

1

3

，?sinθ＝

1

3

.

cos()π＋θ

cosθ[]cos()π－θ

－1

＋

cos()θ－2π

sin

?

?

?

?

θ－

3π

2

cos()θ－π

－sin

?

?

?

?

3π

2

＋θ

9

＝

－cosθ

cosθ()－cosθ－1

＋

cosθ

cosθ()－cosθ

＋cosθ

＝

1

cosθ＋1

＋

1

1－cosθ

＝

2

1－cos2θ

＝

2

sin2θ

＝2×9＝18.

兩角和與差、二倍角公式及簡單的三角恒等變換參考答案

1．D2.A3.B4.C

5．解析：∵α為第三象限角，∴sinα<0，cosα<0，

則

cosα

1－sin2α

＋

2sinα

1－cos2α

＝

cosα

|cosα|

＋

2sinα

|sinα|

＝－1－2＝－3.答案：B

6．－

56

65

7.

59

72

8．解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴每一個直角三角形的面積是6，設直

角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，則

?

?

?

?

?a2＋b2＝25

1

2

ab＝6

，

∴兩條直角邊的長分別為3,4，直角三角形中較小的銳角為θ，cosθ＝

4

5

，

cos2θ＝2cos2θ－1＝

7

25

.答案：

7

25

9．解析：∵

3π

2

<α＋β<2π，

π

2

<α－β<π，

∴sin()α＋β

＝－1－cos2()α＋β

＝－

3

5

，

sin()α－β

＝1－cos2()α－β

＝

3

5

，

所以cos2α＝cos[]()α＋β

＋()α－β

＝cos()α＋β

cos()α－β

－sin()α＋β

sin()α－β

＝

4

5

×

?

?

?

?

－

4

5

－

?

?

?

?

－

3

5

×

3

5

＝－

7

25

；

cos2β＝cos[]()α＋β

－()α－β

＝cos()α＋β

cos()α－β

＋sin()α＋β

sin()α－β

＝

4

5

×

?

?

?

?

－

4

5

＋

?

?

?

?

－

3

5

×

3

5

＝－1.

10．解析：(1)f(x)＝6

1＋cos2x

2

－3sin2x

＝3cos2x－3sin2x＋3＝23

?

?

?

?3

2

cos2x－

1

2

sin2x

＋3

＝23cos

?

?

?

?

2x＋

π

6

＋3.

10

故f(x)的最大值為23＋3；最小正周期T＝

2π

2

＝π.

(2)由f(α)＝3－23，得23cos

?

?

?

?

2α＋

π

6

＋3＝3－23，

故cos

?

?

?

?

2α＋

π

6

＝－1.

又由0<α<

π

2

得

π

6

<2α＋

π

6

<π＋

π

6

，

故2α＋

π

6

＝π，解得α＝

5

12

π.從而tan

4

5

α＝tan

π

3

＝3.

三角函數的性質參考答案

1．D解析：f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝

1

2

sin22x＝

1－cos4x

4

.

2．：D解析：f(x)＝2sin

?

?

?

?

x－

π

3

，因x－

π

3

∈

?

?

－

4

3

π，

?

?

－

π

3

故x－

π

3

∈

?

?

－

1

2

π，

?

?

－

π

3

，則x∈

?

?

?

?

－

1

6

π，0

.

3．D4.B

5．答案：A解析：∵函數y＝3cos(2x＋φ)的圖象關于點

?

?

?

?

4π

3

，0

中心對稱．

∴2·

4π

3

＋φ＝kπ＋

π

2

∴φ＝kπ－

13π

6

(k∈Z)，

由此易得|φ|min

＝

π

6

.故選A.

6．π解析：f(x)＝sin2x－sinxcosx＝

1－cos2x

2

－

1

2

sin2x，此時可得函數的最小正周期T＝

2π

2

＝π.

7．答案：①④解析：①y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，正確；②錯誤；

③y＝sinx，y＝x在第一象限無交點，錯誤；④正確；⑤錯誤．

8.

?

?

?

?

kπ－

π

12

，kπ＋

5

12

π

(k∈Z)

?

?

?

?

2kπ，2kπ＋

π

2

(k∈Z)

9．解析：y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x

＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x

＝3sin2x－cos2x

＝2sin

?

?

?

?

2x－

π

6

，

故該函數的最小正周期是π；最小值是－2；

單調遞增區間是

?

?

?

?

0，

π

3

，

?

?

?

?

5π

6

，π

.

10．解析：y＝1－cos2x＋acosx＋

5

8

a－

3

2

＝－

?

?

?

?

cosx－

a

2

2＋

a2

4

＋

5

8

a－

1

2

.

11

當0≤x≤

π

2

時，0≤cosx≤1.

若

a

2

>1時，即a>2，則當cosx＝1時，

y

max

＝a＋

5

8

a－

3

2

＝1?a＝

20

13

<2(舍去)，

若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，則當cosx＝

a

2

時，

y

max

＝

a2

4

＋

5

8

a－

1

2

＝1?a＝

3

2

或a＝－4<0(舍去)．

若

a

2

<0，即a<0，則當cosx＝0時，

y

max

＝

5

8

a－

1

2

＝1?a＝

12

5

>0(舍去)．

綜合上述知，存在a＝

3

2

符合題設．

三角函數的圖象及其變換參考答案

1．C解析：∵y＝cos

?

?

?

?

x＋

π

3

＝sin

?

?

?

?

π

2

＋x＋

π

3

＝sin

?

?

?

?

x＋

5π

6

，∴可由y＝sinx向左平移

5π

6

得到．

2．C3．A解析：f(π)＝sin

?

?

?

?

2π－

π

3

＝－

3

2

，排除B、D，

f

?

?

?

?

π

6

＝sin

?

?

?

?

2×

π

6

－

π

3

＝0，排除C.也可由五點法作圖驗證．

4．D解析：由T＝

2π

ω

＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3?2sinφ＝3，∴sinφ＝

3

2

.∵

||φ

<

π

2

，∴φ＝

π

3

.故選

D.

5．C6.f(x)＝2cosx

7．①②③解析：函數f(x)＝3sin

?

?

?

?

2x－

π

3

的圖象為C，

①圖象C關于直線2x－

π

3

＝kπ＋

π

2

對稱，當k＝1時，圖象C關于x＝

11

12

π對稱，①正確；

②圖象C關于點

?

?

?

?

kπ

2

＋

π

6

，0

對稱，當k＝1時，恰好關于點

?

?

?

?

2π

3

，0

對稱，②正確；

③x∈

?

?

?

?

－

π

12

，

5π

12

時，2x－

π

3

∈

?

?

?

?

－

π

2

，

π

2

，∴函數f(x)在區間

?

?

?

?

－

π

12

，

5π

12

內是增函數，③正確；

④由y＝3sin2x的圖象向右平移

π

3

個單位長度可以得y＝3sin

?

?

?

?

2x－

2π

3

，得不到圖象C.④不正確．

所以應填①②③.

8.

4

3

9．解析：(1)依題意有A＝1，則f(x)＝sin(x＋φ)，將點M

?

?

?

?

π

3

，

1

2

代入得sin

?

?

?

?

π

3

＋φ

＝

1

2

，而0<φ<π，

∴

π

3

＋φ＝

5

6

π，∴φ＝

π

2

，故f(x)＝sin

?

?

?

?

x＋

π

2

＝cosx；

(2)依題意有cosα＝

3

5

，cosβ＝

12

13

，而α、β∈

?

?

?

?

0，

π

2

，

∴sinα＝1－?

3

5

?2＝

4

5

，sinβ＝1－?

12

13

?2＝

5

13

，

12

f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝

3

5

×

12

13

＋

4

5

×

5

13

＝

56

65

.

10．解析：(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2

?

?

?

?3

2

sin?ωx＋φ?－

1

2

cos?ωx＋φ?

＝2sin

?

?

?

?

ωx＋φ－

π

6

.

因為f(x)為偶函數，所以對x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，

因此sin

?

?

?

?

－ωx＋φ－

π

6

＝sin

?

?

?

?

ωx＋φ－

π

6

.

即－sinωxcos

?

?

?

?

φ－

π

6

＋cosωxsin

?

?

?

?

φ－

π

6

＝sinωxcos

?

?

?

?

φ－

π

6

＋cosωxsin

?

?

?

?

φ－

π

6

，整理得sinωxcos

?

?

?

?

φ－

π

6

＝0.

因為ω>0，且x∈R，所以cos

?

?

?

?

φ－

π

6

＝0.

又因為0<φ<π，故φ－

π

6

＝

π

2

.

所以f(x)＝2sin

?

?

?

?

ωx＋

π

2

＝2cosωx.

由題意得

2π

ω

＝2·

π

2

，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此f

?

?

?

?

π

8

＝2cos

π

4

＝2.

(2)將f(x)的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到f

?

?

?

?

x－

π

6

的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，

縱坐標不變，得到

f

?

?

?

?

x

4

－

π

6

的圖象．

所以g(x)＝f

?

?

?

?

x

4

－

π

6

＝2cos

?

?

?

?

2

?

?

?

?

x

4

－

π

6

＝2cos

?

?

?

?

x

2

－

π

3

.

當2kπ≤

x

2

－

π

3

≤2kπ＋π(k∈Z)，

即4kπ＋

2π

3

≤x≤4kπ＋

8π

3

(k∈Z)時，g(x)單調遞減，

因此g(x)的單調遞減區間為

?

?

?

?

4kπ＋

2π

3

，4kπ＋

8π

3

(k∈Z)．

正、余弦定理及應用參考答案

1．B解析：△ABC中，a、b、c成等比數列，且c＝2a，則b＝2a，

cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

＝

a2＋4a2－2a2

4a2

＝

3

4

.

2．B解析：用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長為6組成三角形，

此三角形面積最大，面積為610cm2.

3．A解析：設a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，若a2＝b()b＋c

，

則sin2A＝sinB(sinB＋sinC)，

則

1－cos2A

2

＝

1－cos2B

2

＋sinBsinC，

13

∴

1

2

(cos2B－cos2A)＝sinBsinC，

sin(B＋A)sin(A－B)＝sinBsinC，

又sin(A＋B)＝sinC，∴sin(A－B)＝sinB，

∴A－B＝B，A＝2B，

若△ABC中，A＝2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2＝b()b＋c

，

所以a2＝b()b＋c

是A＝2B的充要條件．

4．B解析：由條件可得cos(π－4θ)＝

?2003?2×2－6002

2×?2003?2

＝－

1

2

，

∴sin4θ＝

3

2

，∴山峰的高度為2003×

3

2

＝300(m)．

5．A解析：t小時后，甲乙兩船的距離為

s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)cos120°＝28t2－20t＋100.

∴當t＝

20

2×28

＝

5

14

小時＝

5

14

×60分鐘＝

150

7

分鐘時，甲乙兩船的距離最近．

6．

π

6

解析：m⊥n?3cosA－sinA＝0?A＝

π

3

，由正弦定理得，sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，

sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC＝sin2C

?C＝

π

2

.∴B＝

π

6

.

7．43解析：由A、B、C成等差數列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，得B＝

π

3

，

由a、b、c成等比數列，得b2＝ac，

∴ac＝16，∴S△ABC

＝

1

2

acsinB＝43.

8．5解析：∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠CDA＝30°，

∴∠DAC＝30°?AC＝DC＝3.

在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，

∴BC＝

DC·sin75°

sin60°

＝

6＋2

2

，

在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos75°＝5

?AB＝5km.

9．解析：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC

＝4＋1－2×2×1×

3

4

＝2.

那么，AB＝2.

(2)由cosC＝

3

4

，且0

7

4

.由正弦定理，

AB

sinC

＝

BC

sinA

，

14

解得sinA＝

BCsinC

AB

＝

14

8

.所以，cosA＝

52

8

.

由倍角公式sin2A＝2sinA·cosA＝

57

16

，

且cos2A＝1－2sin2A＝

9

16

，

故sin()2A＋C

＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝

37

8

.

10．解析：(1)由cosB＝－

5

13

，得sinB＝

12

13

，

由cosC＝

4

5

，得sinC＝

3

5

.

所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝

33

65

.

(2)由S△ABC

＝

33

2

得

1

2

×AB×AC×sinA＝

33

2

，

由(1)知sinA＝

33

65

，故AB×AC＝65，

又AC＝

AB×sinB

sinC

＝

20

13

AB，故

20

13

AB2＝65，AB＝

13

2

.

所以BC＝

AB×sinA

sinC

＝

11

2

.