材料力學公式

材料?學公式?全

材料?學常?公式

1.外?偶矩計算公式（P功率，n轉速）

2.彎矩、剪?和荷載集度之間的關系式

3.軸向拉壓桿橫截?上正應?的計算公式（桿件橫截?

軸?FN，橫截??積A，拉應?為正）

4.軸向拉壓桿斜截?上的正應?與切應?計算公式（夾?a從x

軸正?向逆時針轉?外法線的?位?為正）

5.縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標距l(xiāng)，拉伸后試樣標距l(xiāng)1；

拉伸前試樣直徑d，拉伸后試樣直徑d1）

6.縱向線應變和橫向線應變

7.泊松?

8.胡克定律

9.受多個?作?的桿件縱向變形計算公式?

10.承受軸向分布?或變截?的桿件，縱向變形計算公式

11.軸向拉壓桿的強度計算公式

12.許?應?，脆性材料，塑性材料

13.延伸率

14.截?收縮率

15.剪切胡克定律（切變模量G，切應變g）

16.拉壓彈性模量E、泊松?和切變模量G之間關系式

17.圓截?對圓?的極慣性矩（a）實?圓

（b）空?圓

18.圓軸扭轉時橫截?上任?點切應?計算公式（扭矩T，所求點

到圓?距離r）

19.圓截?周邊各點處最?切應?計算公式

20.扭轉截?系數(shù)，（a）實?圓

（b）空?圓

21.薄壁圓管（壁厚δ≤R0/10，R0為圓管的平均半徑）扭轉

切應?計算公式

22.圓軸扭轉?與扭矩T、桿長l、扭轉剛度GHp的關系式

23.同?材料制成的圓軸各段內(nèi)的扭矩不同或各段的直徑不同（如

階梯軸）時或

24.等直圓軸強度條件

25.塑性材料；脆性材料

26.扭轉圓軸的剛度條件?或

27.受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截?和縱截?上的應?計算公式

,

28.平?應?狀態(tài)下斜截?應?的?般公式

,

29.平?應?狀態(tài)的三個主應?,

,

30.主平??位的計算公式

31.?內(nèi)最?切應?

32.受扭圓軸表?某點的三個主應?，，

33.三向應?狀態(tài)最?與最?正應?,

34.三向應?狀態(tài)最?切應?

35.?義胡克定律

36.四種強度理論的相當應?

37.?種常見的應?狀態(tài)的強度條件，

38.組合圖形的形?坐標計算公式，

39.任意截?圖形對?點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正

交坐標軸的慣性矩之和的關系式

40.截?圖形對軸z和軸y的慣性半徑?,

41.平?移軸公式（形?軸zc與平?軸z1的距離為a，圖形?積

為A）

42.純彎曲梁的正應?計算公式

43.橫?彎曲最?正應?計算公式

44.矩形、圓形、空?圓形的彎曲截?系數(shù)?，

，

45.?種常見截?的最?彎曲切應?計算公式（為中性軸?

側的橫截?對中性軸z的靜矩，b為橫截?在中性軸處的寬度）

46.矩形截?梁最?彎曲切應?發(fā)?在中性軸處

47.?字形截?梁腹板上的彎曲切應?近似公式

48.軋制?字鋼梁最?彎曲切應?計算公式

49.圓形截?梁最?彎曲切應?發(fā)?在中性軸處

50.圓環(huán)形薄壁截?梁最?彎曲切應?發(fā)?在中性軸處

51.彎曲正應?強度條件

52.?種常見截?梁的彎曲切應?強度條件

53.彎曲梁危險點上既有正應?σ?有切應?τ作?時的強度條

件或，

54.梁的撓曲線近似微分?程

55.梁的轉??程

56.梁的撓曲線?程?

57.軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作?時桿件截?底部邊緣和頂

部邊緣處的正應?計算公式

58.偏?拉伸（壓縮）

59.彎扭組合變形時圓截?桿按第三和第四強度理論建?的強度

條件表達式，

60.圓截?桿橫截?上有兩個彎矩和同時作?時，合成彎矩

為

61.圓截?桿橫截?上有兩個彎矩和同時作?時強度計算

公式

62.

63.彎拉扭或彎壓扭組合作?時強度計算公式

64.剪切實?計算的強度條件

65.擠壓實?計算的強度條件

66.等截?細長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界?計算公式

67.壓桿的約束條件：（a）兩端鉸?μ=l

（b）?端固定、?端?由μ=2

（c）?端固定、?端鉸?μ=

（d）兩端固定μ=

68.壓桿的長細?或柔度計算公式，

69.細長壓桿臨界應?的歐拉公式

70.歐拉公式的適?范圍

傳動軸所受的外?偶矩通常不是直接給出，?是根據(jù)軸的轉速n與傳遞的功率P來計算。

當功率P單位為千?（kW），轉速為n（r/min）時，外?偶矩為

m).(N9549en

P

M=

當功率P單位為馬?（PS），轉速為n（r/min）時，外?偶矩為

m).(N7024en

P

M=

拉（壓）桿橫截?上的正應?

拉壓桿件橫截?上只有正應?σ，且為平均分布，其計算公式為N

FA

σ=(3-1)

式中NF為該橫截?的軸?，A為橫截??積。

正負號規(guī)定拉應?為正，壓應?為負。公式（3-1）的適?條件：

（1）桿端外?的合?作?線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適?于離桿件受?區(qū)域稍遠處的橫截?；

（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)?局部應?集中現(xiàn)象，橫截?上應?分布很不均勻；

（4）截?連續(xù)變化的直桿，桿件兩側棱邊的夾?0

20α≤時拉壓桿件任意斜截?（a圖）上的應?為平均分布，其計算公式為

全應?cospασα=(3-2)

正應?2

cosασσα=（3-3）

切應?1

sin22

ατα=

（3-4）式中σ為橫截?上的應?。

正負號規(guī)定：

α由橫截?外法線轉?斜截?的外法線，逆時針轉向為正，反之為負。

ασ拉應?為正，壓應?為負。

ατ對脫離體內(nèi)?點產(chǎn)?順時針?矩的ατ為正，反之為負。

兩點結論：

（1）當0

0α=時，即橫截?上，ασ達到最?值，即()maxασσ=。當α=0

90時，即

縱截?上，ασ=0

90=0。

（2）當0

45α=時，即與桿軸成0

45的斜截?上，ατ達到最?值，即max()2αα

τ=

1．2拉（壓）桿的應變和胡克定律（1）變形及應變

桿件受到軸向拉?時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓?時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。

圖3-2

軸向變形1lll?=-軸向線應變

l

l

ε?=

橫向變形1bbb?=-

橫向線應變b

b

ε?'=

正負號規(guī)定伸長為正，縮短為負。（2）胡克定律

當應?不超過材料的?例極限時，應?與應變成正?。即Eσε=（3-5）或?軸?及桿件的變形量表?為NFl

lEA

=

(3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能?的量。

公式(3-6)的適?條件：

(a)材料在線彈性范圍內(nèi)?作，即pσσ?；

(b)在計算l?時，l長度內(nèi)其N、E、A均應為常量。如桿件上各段不同，則應分段計算，求其代數(shù)和得總變形。即

1

n

ii

iii

NllEA=?=∑

(3-7)(3)泊松?當應?不超過材料的?例極限時，橫向應變與軸向應變之?的絕對值。即

ενε

'

=

(3-8)表1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段

強度計算

許?應?材料正常?作容許采?的最?應?，由極限應?除以安全系數(shù)求得。塑性材料[σ]=

ssnσ；脆性材料[σ]=bb

nσ其中,sbnn稱為安全系數(shù)，且?于1。

強度條件：構件?作時的最??作應?不得超過材料的許?應?。

對軸向拉伸（壓縮）桿件

[]N

A

σσ=

≤（3-9）按式（1-4）可進?強度校核、截?設計、確定許克載荷等三類強度計算。切應?互等定理

受?構件內(nèi)任意?點兩個相互垂直?上，切應?總是成對產(chǎn)?，它們的??相等，?向同時垂直指向或者背離兩截?交線，且

與截?上存在正應?與否?關。

純剪切

單元體各側?上只有切應???正應?的受?狀態(tài)，稱為純剪切應?狀態(tài)。切應變

切應?作?下，單元體兩相互垂直邊的直?改變量稱為切應變或切應變，?τ表?。剪切胡克定律

在材料的?例極限范圍內(nèi)，切應?與切應變成正?，即Gτγ=(3-10)

式中G為材料的切變模量，為材料的??彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松?ν）,其數(shù)值由實驗決定。

對各向同性材料,E、ν、G有下列關系2(1)

E

Gν=+(3-11)

2.5.2切應?計算公式

橫截?上某?點切應???為pp

TIρ

τ=

(3-12)式中pI為該截?對圓?的極慣性矩，ρ為欲求的點?圓?的距離。

圓截?周邊上的切應?為maxt

T

Wτ=

(3-13)式中ptIWR

=

稱為扭轉截?系數(shù)，R為圓截?半徑。

2.5.3切應?公式討論

（1）切應?公式（3-12）和式（3-13）適?于材料在線彈性范圍內(nèi)、?變形時的等圓

截?直桿；對?錐度圓截?直桿以及階梯形圓軸亦可近似應?，其誤差在?程允許范圍內(nèi)。（2）極慣性矩pI和扭轉截?系

數(shù)tW是截??何特征量，計算公式見表3-3。在?積

不變情況下，材料離散程度?，其值愈?；反映出軸抵抗扭轉破壞和變形的能?愈強。因此，設計空?軸?實?軸更為合理。

表3-3

2.5.4強度條件

圓軸扭轉時，全軸中最?切應?不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)?破壞。因此，強度條件為[]maxmax

tTWττ??=≤

(3-14)對等圓截?直桿[]max

max

tTWττ=≤（3-15）式中[]τ為材料的許?切應?。3.1.1中性層的曲率與彎矩的關系

1

z

M

EIρ

=

(3-16)式中，ρ是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；EI是橫截?對中性軸Z軸的慣性矩。

3.1.2橫截?上各點彎曲正應?計算公式Z

M

yIσ=

(3-17)式中，M是橫截?上的彎矩；ZI的意義同上；y是欲求正應?的點到中性軸的距離

最?正應?出現(xiàn)在距中性軸最遠點處maxmaxmaxmaxzz

MM

yIWσ=?=（3-18）

式中，maxzzIWy=

稱為抗彎截?系數(shù)。對于hb?的矩形截?，2

16

zWbh=；對于直徑為D的圓形截?，332

zWDπ

=

；對于內(nèi)外徑之?為daD=

的環(huán)形截?，3

4(1)32

zWDaπ=-。若中性軸是橫截?的對稱軸，則最?拉應?與最?壓應?數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最?

拉應?與最?壓應?數(shù)值不相等。梁的正應?強度條件

梁的最??作應?不得超過材料的容許應?，其表達式為[]max

maxz

MWσσ=

≤（3-19）

對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截?梁（如T字形截?、上下不等邊的?字形截?等），其強度條件應表達為

[]max

max1ltzMyIσσ=

≤（3-20a）[]max

max2ycz

MyIσσ=

≤（3-20b）式中，[][],tcσσ分別是材料的容許拉應?和容許壓應?；12,yy分別是最?拉應?點和最?壓應?點距中性軸的

距離。

梁的切應?zzQSIb

τ*

=（3-21）

式中，Q是橫截?上的剪?；zS*

是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍?積對中性軸的靜矩；

zI是整個橫截?對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截?寬度。

3.3.1矩形截?梁

切應??向與剪?平?，??沿截?寬度不變，沿?度呈拋物線分布。

切應?計算公式2

2364Qhybhτ??=-

（3-22）

3.3.2?字形截?梁

切應?主要發(fā)?在腹板部分，其合?占總剪?的95~97%，因此截?上的剪?主要由腹板部分來承擔。

切應?沿腹板?度的分布亦為?次曲線。計算公式為

()2222824zQBbhHhyIbτ=-+-???

(3-23)

近似計算腹板上的最?切應?：

dh

F

s1

max

=τ

d為腹板寬度h1為上下兩翼緣內(nèi)側距

3.3.3圓形截?梁

橫截?上同??度各點的切應?匯交于?點，其豎直分量沿截?寬度相等，沿?度呈拋物線變化。

最?切應?發(fā)?在中性軸上，其??為

（3-25）

圓環(huán)形截?上的切應?分布與圓截?類似。切應?強度條件

梁的最??作切應?不得超過材料的許?切應?，即[]maxmaxmaxzzQSIb

ττ*=≤

(3-26)

式中，maxQ是梁上的最?切應?值；maxzS*

是中性軸?側?積對中性軸的靜矩；zI是橫截?對中性軸的慣性矩；b是maxτ處截?的寬度。對于等寬度截?，maxτ發(fā)?

在中性軸上，對于寬度變化的截?，maxτ不?定發(fā)?在中性軸上。剪切的實?計算

名義切應?：假設切應?沿剪切?是均勻分布的，則名義切應?為A

Q

=τ（3-27）

剪切強度條件：剪切?上的?作切應?不得超過材料的許?切應?[]τ,即

[]ττ≤=

A

Q

（3-28）擠壓的實?計算

名義擠壓應?假設擠壓應?在名義擠壓?上是均勻分布的，則[]bs

bsbsbs

PAσσ=≤（3-29）

式中，bsA表?有效擠壓?積，即擠壓??積在垂直于擠壓?作?線平?上的投影。當擠壓?為平?時為接觸??積，當擠壓

?為曲?時為設計承壓接觸??積在擠壓?垂直?上的投影?積。

擠壓強度條件擠壓?上的?作擠壓應?不得超過材料的許?擠壓應?

[]bsbs

bsAP

σσ≤=

（3-30）1，變形計算

圓軸扭轉時，任意兩個橫截?繞軸線相對轉動?產(chǎn)?相對扭轉?。相距為l的兩個橫截?的相對扭轉?為

dxGIT

l

P

=0?(rad)若等截?圓軸兩截?之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為

P

GITl

=

(rad)圖

式中PGI稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，?的正負號與扭矩正負號相同。

公式（）的適?條件：

（1）材料在線彈性范圍內(nèi)的等截?圓軸，即Pττ≤；

（2）在長度l內(nèi)，T、G、PI均為常量。當以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應分段計

算扭轉?，然后求代數(shù)和得總扭轉?。即∑==

n

iPii

ii

IGlT1?(rad)當T、PI沿軸線連續(xù)變化時,?式計算?。2，剛度條件

扭轉的剛度條件圓軸最?的單位長度扭轉?max'?不得超過許可的單位長度扭轉?[]'?,即

[]''max

max??≤=

P

GIT(rad/m)式[]'180'maxmax?π?≤?=?

PGIT（m/?）（）

2，撓曲線的近似微分?程及其積分

在分析純彎曲梁的正應?時，得到彎矩與曲率的關系

EI

M

=ρ

1

對于跨度遠?于截??度的梁，略去剪?對彎曲變形的影響，由上式可得

()()EI

xMx=ρ1

利?平?曲線的曲率公式，并忽略?階微量，得撓曲線的近似微分?程，即

()EI

xM=''ω（）將上式積分?次得轉??程為()CdxEI

xM+==?'ωθ（）再積分得撓曲線?程()DCxdxdxEIxM++??

=??ω（）式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當梁分為若?段積分時，

積分常數(shù)的確定除需利?邊界條件外，還需要利?連續(xù)條件。3，梁的剛度條件

限制梁的最?撓度與最?轉?不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即

[]ωω≤max，[]θθ≤max（）3，軸向拉伸或壓縮桿件的應變能

在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得lFWV?=

=2

1

ε當桿件的橫截??積A、軸?FN為常量時，由胡克定律EA

l

FlN=?，可得EAlFVN22

=ε

（）

桿單位體積內(nèi)的應變能稱為應變能密度，?εV表?。線彈性范圍內(nèi)，得

σεε2

1

=

V（）4，圓截?直桿扭轉應變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原?erMWV2

1

=

=將TMe=與PGITl=?代?上式得P

rGIl

TV22=

（）圖

根據(jù)微體內(nèi)的應變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)?功，得應變能的密度rV：

rVrτ2

1

=（）

5，梁的彎曲應變能

在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時，由功能原理得

θεeMWV2

1

==

將MMe=與EI

Ml

=θ代?上式得EIlMV22=ε（）

圖

橫?彎曲時，梁橫截?上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應?式（），

積分得全梁的彎曲應變能εV，即()?=l

EIdxxMV22ε（）

2．截??何性質(zhì)的定義式列表于下：

靜矩

慣性矩

慣性半徑

慣性積極慣性矩

=AyzdAS

=A

ydAzI2

A

Iiyy=

=AyzyzdA

I

=A

pdApI2

=AzydA

S

=A

zdAyI2

A

Iiz

z=

3．慣性矩的平?移軸公式

AaIICyy2+=AbIICzz2+=

靜矩：平?圖形?積對某坐標軸的?次矩，如圖Ⅰ-1所?。定義式：?=A

yzdAS，?

=

A

zydAS（Ⅰ-1）

量綱為長度的三次?。

由于均質(zhì)薄板的重?與平?圖形的形?有相同的坐標Cz和Cy。則

yA

CSdAzzA=?=??

由此可得薄板重?的坐標Cz為A

SAzdAzyA

C=

=?同理有AS

yzC=

所以形?坐標ASzyC=，A

S

yzC=（Ⅰ-2）

或CyzAS?=，CzyAS?=

由式（Ⅰ-2）得知，若某坐標軸通過形?軸，則圖形對該軸的靜矩等于零，即0=Cy，

0=zS；0=Cz，則0=yS；反之，若圖形對某?軸的靜矩等于零，則該軸必然

通過圖形的形?。靜矩與所選坐標軸有關，其值可能為正，負或零。

如?個平?圖形是由?個簡單平?圖形組成，稱為組合平?圖形。設第I塊分圖形的?積為iA，形?坐標為CiCizy,，則其

靜矩和形?坐標分別為Ciin

izyAS1

=∑=，

Ciin

iyzAS1

=∑=（Ⅰ-3）

∑∑===

=n

ii

n

iCi

izCA

y

AA

Sy1

1

，∑∑===

=

n

ii

n

ici

iyCA

z

AA

Sz1

1（Ⅰ-4）

§Ⅰ-2慣性矩和慣性半徑

慣性矩：平?圖形對某坐標軸的?次矩，如圖Ⅰ-4所?。

=A

ydAzI2，?=A

zdAyI2（Ⅰ-5）

量綱為長度的四次?，恒為正。相應定義

A

Iiyy=

，A

Iiz

z=

（Ⅰ-6）為圖形對y軸和對z軸的慣性半徑。

組合圖形的慣性矩。設ziyiII,為分圖形的慣性矩，則總圖形對同?軸慣性矩為

yiniyII1

=∑=，zin

izII1

=∑=（Ⅰ-7）若以ρ表?微?積dA到坐標原點O的距離,則定

義圖形對坐標原點O的極慣性矩

=A

pdAI2ρ（Ⅰ-8）因為222zy+=ρ

所以極慣性矩與（軸）慣性矩有關系()

zyA

pIIdAzy

I+=+=?22

（Ⅰ-9）

式（Ⅰ-9）表明，圖形對任意兩個互相垂直軸的（軸）慣性矩之和，等于它對該兩軸交點的極慣性矩。

下式?

=

A

yzyzdAI（Ⅰ-10）

定義為圖形對?對正交軸y、z軸的慣性積。量綱是長度的四次?。yzI可能為正，為負或為零。若y，z軸中有?根為對稱

軸則其慣性積為零。§Ⅰ-3平?移軸公式

由于同?平?圖形對于相互平?的兩對直?坐標軸的慣性矩或慣性積并不相同，如果其中?對軸是圖形的形?軸()

cc

z,y時，如圖Ⅰ-7所?，可得到如下平?移軸公式

+=+=+=abAI

IAbIIAaIICCCCzyyz

zzyy2

2（Ⅰ-13）簡單證明之：

()++=+==A

A

CA

CA

CA

ydAadAzadAzdAazdAzI22

2

22

其中

A

CdAz為圖形對形?軸Cy的靜矩，其值應等于零，則得

AaIICyy2+=

同理可證（I-13）中的其它兩式。

結論：同?平?內(nèi)對所有相互平?的坐標軸的慣性矩，對形?軸的最?。在使?慣性積移軸公式時應注意a,b的正負號。把斜

截?上的總應?p分解成與斜截?

垂直的正應?nσ和相切的切應?nτ（圖13.1c）,則其與主應?的關系為

222123nlmnσσσσ=++（）

nτ=（）

在以nσ為橫坐標、nτ

的正應?nσ和切應?nτmaxτ=