二次函數頂點坐標

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初中數學知識點——二次函數頂點坐標公式

（學習版）

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初中數學知識點——二次函數頂點坐標公式

函數在數學中占有很大的比例，但是函數的學習卻很復雜。其考

察的內容有很多方面，開口方向、對稱軸及坐標公式都是考察的重點。

下面本店鋪為大家整理了二次函數頂點坐標的相關公式，希望能幫到

大家。

一、基本簡介

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）

的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c

為常數項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數是

2。

主要特點

“變量”不同于“未知數”，不能說“二次函數是指未知數的最

高次數為二次的多項式函數”。“未知數”只是一個數（具體值未知，

但是只取一個值），“變量”可在一定范圍內任意取值。在方程中適

用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是

未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情

況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經有所不同。從函數

的定義也可看出二者的差別.如同函數不等于函數關系。

二次函數圖像與X軸交點的情況

當△=b2-4ac>0時，函數圖像與x軸有兩個交點。

當△=b2-4ac=0時，函數圖像與x軸只有一個交點。

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當△=b2-4ac二、二次函數圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=ax^2+bx+c的圖像，可以看

出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準確無

誤，那么二次函數圖像將是由一般式平移得到的。

軸對稱

二次函數圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a

對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖像的頂點P。

特別地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

a,b同號，對稱軸在y軸左側.

a,b異號，對稱軸在y軸右側.

頂點

二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)即

(-b/2a,(4ac-b2/4a).

當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂

點式y=a(x-h)2+k。

h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a。

開口方向和大小

二次項系數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口；當a|a|越大，則二次函數圖

像的開口越小。

決定對稱軸位置的因素折疊

一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

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當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸

在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a當a>0,與b異號時（即ab0,

所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab>0），對稱

軸在y軸左；當a與b異號時（即ab事實上，b有其自身的幾何

意義：二次函數圖像與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解

析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

決定與y軸交點的因素

常數項c決定二次函數圖像與y軸交點。

二次函數圖像與y軸交于（0,C）

注意：頂點坐標為（h,k)，與y軸交于（0,C)。

與x軸交點個數

a0或a>0;kk=0時，二次函數圖像與x軸只有1個交點。

a0,k>0時，二次函數圖像與X軸無交點。

當a>0時，函數在x=h處取得最小值ymin=k，在xh范圍內是增

函數（即y隨x的變大而變小），二次函數圖像的開口向上，函數的

值域是y>k

當ah范圍內是減函數（即y隨x的變大而變大），二次函數圖

像的開口向下，函數的值域是y當h=0時，拋物線的對稱軸是y

軸，這時，函數是偶函數

三、二次函數公式匯總：交點式、兩根式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

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（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），則稱y

為x的二次函數。頂點坐標（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

（2）頂點式：y=a（x-h）2+k或y=a（x+m）^2+k（a，h，k為

常數，a≠0）。

（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）

（4）兩根式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是拋物線與

x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.

說明：

（1）任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a（x-h）

2+k，拋物線的頂點坐標是（h，k），h=0時，拋物線y=ax2+k的頂

點在y軸上；當k=0時，拋物線a（x-h）2的頂點在x軸上；當h=0

且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點。

（2）當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次方程

ax2+bx+c=0有實數根x1和x2存在時，根據二次三項式的分解公式

ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函數y=ax2+bx+c可轉化為兩根

式y=a（x-x1）（x-x2）。

數學的學習并不難，重要的是找到學習的興趣，興趣是學習最好

的老師，是走向成功的階梯。