定積分性質

1/1

§4定積分的性質

1.證明:若f與g都在[ba,]上可積,則

?

???

?

?

a

b

n

i

iii

T

dxxgxfxgf)()()()(lim

1

0

??

其中

i

?、

i

?

是T所屬小區間i

?

任意兩點,

1?i，2，…，n。

證因為gf,都在],[ba上可積,由性質3推得f?g在上也可積,且f在上有界,即存在A>0,

使],[,)(baxAxf??

fg可積?對0???,使得對],[ba的任意分割T及任意選擇點集{}

i

?,只要T

2

)()()()(

1

?

??????

?

?

n

i

b

a

iii

dxxgxfxgf.

對上述

?

,由g可積?存在某個分割T

?

,有

在分割T

?

的基礎上任意添加新分割點,使新分割T

??

只要滿足??

??

T.由§3習題1知:

?

??

??

T

i

g

i

xW?

?

??

T

i

g

iA

xW

2

?

綜上述結論:)(i因為f?g可積.)(ii對給定的0??,0???,及分割T

??

(包含T

?

所有分割

點),只要??

??

T,這時對任意選擇的點集

}{

i

?和

}{

i

?,

i

?、

i

?

i

??1?i，2，…，

n

。

有

????

?

?

n

i

b

a

iii

dxxgxfxgf

1

)()()()(??

iii

n

i

i

n

i

b

a

i

n

i

iiiii

xggfdxxgxfgfxggf?????????

?

?

???

)()()()()()()()]()()[(

111

????????

+?

?

?

??

n

i

b

a

iii

dxxgxfxgf

1

)()()()(??

???

??????

?

222

1

i

n

i

g

i

xW

由

?

的任意性及

}{

i

?和

}{

i

?的任意性,得?

???

?

?

a

b

n

i

iii

T

dxxgxfxgf)()()()(lim

1

0

??.

2.不求出定積分的值,比較下列各對定積分的大小

(1)

dxx?1

0

與

dxx?1

0

2

解:因為),1,0[,0)1(2?????xxxxx而0,02???xxx及0?x及1,?

dxx?1

0

-dxx?1

0

2=

dxxx??1

0

)1(>0(見例2注)

(2)dxx?2

0

?

與dxx?2

0

sin

?

解:因為

x

—xsin>0,]

2

,0(

?

?x,而0?x時,x—xsin=0.

所以dxx?2

0

?

－dxx?2

0

sin

?

＝dxxx??2

0

)sin(

?

＞０（例２．注）

?dxx?2

0

?

＞dxx?2

0

sin

?

３．證明不等式：

（１）證明

2

?

＜?

?

2

0

2sin2

1

1

?

x

dx

＜

2

?

證記?)(xf2

1

2)sin

2

1

1(??x，]

2

,0[

?

?x．

１－

2

sin

2

1

2

?

＜１－x2sin

2

1

＜１，)

2

,0(

?

?x

?1=?)0(f?)(xf

x2sin

2

1

1

1

?

<)

2

(

?

f=2當)

2

,0(

?

?x.

當

x

=0時,?)0(f?)(xf)

2

(

?

f.當

x

=

2

?

時,?)0(f?)(xf)

2

(

?

f.

由例2.注及性質5.推得

2

?

＜?

?

2

0

2sin2

1

1

?

x

dx

＜?2

0

2

?

dx

2

?

(2)1

0

2dxex<

e

解記?)(xf2xe,則?)0(f1,?)1(f

e

.

而?

?

)(xf2

x2xe>0(

]1,0(?x

)故1<2xe<

e

,)1,0(?x.

?1=?1

0

dx

0

2dxex

0

edx=

e

(3)1

0

sin?

dx

x

x

<

2

?

記?)(xf

?

?

?

?

?

?

?

0,1

],

2

,0(,

sin

x

x

x

x?

?

?

)(xf

2

sincos

x

xxx?

=

2

cos

x

x

()tanxx?,0?)

2

,0(

?

?x

?)0(f1,)

2

(

?

f=

?

2

?

?

2

<

x

xsin

<1,)

2

,0(

?

?x

??2

02

??

dx

0

sin?

dx

x

x

?2

0

?

dx,即1<

2

sin

2

0

??

??dx

x

x

????????1

0

1

0

1

0

1)0(

sin

)(1sin與題設矛盾dxfdx

x

x

dxxf

(4)36

ln4???e

e

dx

x

x

e

證設).ln

2

1

1()(,

2

4ln1

)4(,

1

)(].4,[,ln)(2

3

2

1

xxxf

e

ef

e

efeexxxxf??

?

?

??????

得唯一穩定點：).4,(2eeex??

而??

e

ef

2

)(2f在[e,4e]上最大值:

e

ef

2

)(2?，最小值

e

xf

1

)(?且

),(2eex?,0),4,(,02?

?

??

?

feexf

].4,(),(,

2ln

)(

1

22eeeex

e

x

x

xf

e

??????

.6

2ln1

3444????????e

e

e

e

e

e

dx

e

dx

x

x

dx

e

e

4.設f在[a,b]上連續，且f(x)不恒等于零，證明：??b

a

dxxf.0))((2

證因為f在[a,b]是連續2f?在[a,b]上連續，且].,[,0))((2baxxf??

又因為)(xf不恒等于零，即

],,[

0

bax??使

.0)(0)(

0

2

0

???xfxf

由例2注可見??b

a

dxxf.0))((2

5.設f,g都在[a,b]上可積，證明：

)}.(),({min)()},(),({max)(

],[

],[

xgxfxmxgxfxM

bax

bax

?

?

??在[a,b]上也都可積。

證因為f,g在[a,b]上可積，根據性質2，gf?在[a,b]上也可積，根據性質6，

gf?在[a,b]上也可積，再由性質1，2推得

].)()()()([

2

1

)}(),({min)(

],)()()()([

2

1

)}(),({max)(

],[

],[

xgxfxgxfxgxfxm

xgxfxgxfxgxfxM

bax

bax

?????

?????

?

?

在[a,b]上也都可積。

6.試求心形線????20,)cos1(????dar上各點極徑的平均值。

解:????????

?

???

??

?

??

?

?

?

2

0

2

00

2

]cos[

2

)cos1(

2

1

2

1

a

a

dardr

7.設f在[a,b]上可積，且在[a,b]上滿足mxf?)(>0

證明：

f

1

在[a,b]上也可積

證因為f在[a,b]上可積,0????存在[a,b]的某一個分割T，使???

T

ii

mW.2?

依§3習題5，由于在每一個

i

?上有

.2,1,)()(sup)(inf)(sup

,

nixfxfxfxfW

i

i

i

xx

x

x

i

??

??

?

?

???

??

???

??

??

????????

?

??

?

?

?

??

?

?

??

??

???

??

???

??2

22

1

2

,

2

,

1

11

.

1

)()(sup

1

)(

1

)(

1

sup

m

m

xW

m

xW

W

m

xfxf

m

xfxf

W

ii

T

i

f

i

i

xx

xx

f

i

i

i

根據可積準則，

f

1

在[a,b]上也可積。

8.進一步證明積分第一中值定理（包括定理9.7和定理9.8）中的中值點).,(ba??

證（1）定理9.7：若f在[a,b]上連續，則],,[ba???使???b

a

abfdxxf).)(()(?

設f在[a,b]上的最大值是M，最小值是m.

若M=m],,[,)(baxMxf???顯然(a,b)內任意一點的可作中值.?

若M>m,不妨設

.)(,)(

10

mxfMxf??

因為???????b

a

b

a

dxxfMdxxfabM0])([)()(

???????b

a

b

a

dxmxfabmdxxf0])([)()(

所以.)(,,

10

Mfmxx????????

由連續函數介值定理，),(),(

10

baxx???或),(),(

01

baxx???所以結

論成立

(2)定理9.8：若f與g都在[a,b]上連續，且g(x)在[a,b]上不變號，則至少再一點

],,[ba??

使得???b

a

b

a

dxxgfdxxgxf)()()()(?

不失一般性，設].,[,0)(baxxg??f在[a,b]上的最大值是M，最小值是m

若M=m或].,[,0)(baxxg??顯然(a,b)內任意一點均可作中值點。

若M>m且],,[,0)(baxxg??不妨設

.0)(,)(,)(

20

???xgmxfMxf

由連續函數的性質年，這時一定存在某??),,()(

2

bax

使有g(x)>0

當???????b

a

b

a

b

a

gdxfMfgdxgdxM0)(時，因為0)(??gfM

由例2注知必須有0)(??gfM即

,)(0)(Mxfxg???Mxfxg???)(0)(

這時???b

a

b

a

dxxgMdxxgxf.)()()(顯然點集

內任何一點都可作介值點,?這時),,(ba??

同理，當???????b

a

b

a

b

a

gdxmfgdxmfgdx0][時，??),,()(

2

bax???均可作介值點。

則由定理9.8的條件推得：.)(Mfm???

那么由連續介值定理，

),,(),(

10

baxx???

所以結論成立。

9．證明：若f與g都在[a,b]上可積，且g(x)在[a,b]上不變號，

M,m分別為f(x)在[a,b]上達到上確界，下確界，則存在某實數

u

使得???b

a

b

a

dxxgudxxgxf)()()(

證不妨設].,[,0)(baxxg??這時有].,[),()()()(baxxMgxgxfxmg???

??????b

a

b

a

b

a

dxxgMdxxgxfdxxgm.)()()()(

若?????b

a

b

a

dxxgxfdxxg0)()(0)(從而取.:Mumu??公式恒成立

若?

?

?

????b

a

b

a

b

aM

dxxg

dxxgxf

mdxxg.

)(

)()(

0)(

從而取?

?

?

?

b

a

b

a

dxxg

dxxgxf

u

)(

)()(

則有Mum??及???b

a

b

a

dxxgudxxgxf)()()(

10、證明：若f在[a,b]上連續，且????b

a

b

a

dxxxfdxxf,0)()(則在內至少存在兩點,,

21

xx

使,0)()(

21

??xfxf又若,0)(2??b

a

dxxfx這時f在(a,b)內至少有3個零點？

證（1）因為f在(a,b)上連續，且????b

a

b

a

dxxxfdxxf,0)()(則由習題8推得

),,(

1

bax??使??

?

?b

a

dxxf

ab

xf0)(

1

)(

1

如果f(x)在(a,b)內再沒有其他零點，則由連續函數的性質，不妨設

),,(,0)(),,(,0)(

11

bxxxfxaxxf????

記),,(,0)()()()(

1

baxxgxfxxxg?????

且只有0)(

1

?xg而g(x)在[a,b]上連續].,[,0)(baxxg???由此得

0>??????b

a

b

a

b

a

dxxfxdxxxfdxxg.0)()()(

1

矛盾

所以f(x)在(a,b)

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