什么是公因數

《公因數和最大公因數》教學設計

教學內容：青島版教材四年級下冊數學教科書96-98頁,公因數和最大

公因數。

教學目標：

1.結合解決實際問題，讓學生在具體的操作活動中，認識公因數和最大

公因數。能在集合圖中表示兩個數的因數和它們的公因數。

2.學會找出100以內兩個數的公因數和最大公因數，并掌握方法。

3.使學生在自主探索與合作交流的過程中，積累觀察---猜測---歸納等

數學活動經驗，在解決問題過程中進行有條理的思考。

教學過程：

一、創設情境，感受新知

1.情境引入

（課件出示兩幅美麗的圖案，一幅地面裝修設計圖；另一幅是電視背景墻

的設計圖。讓學生欣賞后得到：兩個圖案都是長方形，都是由同樣的小正方形鋪

成的。）

同學們請欣賞這兩幅圖案，欣賞后發現了哪些數學信息？

對！這兩幅圖案都是由同樣大小的小正方形組成的長方形，換句話可以說：大長

方形是小正方形整好鋪滿。

2.演示鋪法，感知正好鋪滿。

課件動態演示用同樣大的小正方形一個接一個先鋪滿長方形的長，再鋪

滿長方形的寬，最后鋪滿整個長方形。

3.理解正好鋪滿，滲透找正好鋪滿的方法。

（課件演示）（1）一種長不能正好鋪滿

（2）長正好鋪滿，寬不能正好鋪滿

（3）長和寬都能正好鋪滿

【設計意圖：以學生熟悉的生活情境為切入點，學生熟悉并且喜歡，能

感受到數學在生活中的應用，以直觀的方式引導學生理解正好鋪滿，為后續操作

做好鋪墊。】

二、探究學習公因數

1.學生活動

下面讓我們來體驗一下怎樣叫正好鋪滿吧！

老師給每個小組都準備了兩張長24厘米，寬18厘米的長方形紙片，兩種大小

不同的小正方形，就用我們剛才的方法，小組進行合作，快速的找出哪種小正方

形能正好鋪滿？哪種小正方形不能正好鋪滿？看哪個小組合作的最快。（學生

操作，教師指導）

【設計意圖：體驗是學生學習概念的基礎。老師設計了拼擺正方形的活

動，在拼擺哪種正方形能正好鋪滿的問題啟動下，學生利用手中的小正方形來進

行操作活動，把抽象的數學概念蘊于具體的操作活動之中。通過拼擺正方形的活

動，學生獲得了小正方形的邊長與長方形的長和寬之間的聯系，形象感知了數之

間的相互關系，為理解和抽象公因數、最大公因數的數學概念提供堅實的基礎。】

2.交流引思

小組交流：（板書）

正好鋪滿：1厘米、2厘米、3厘米、6厘米

不正好鋪滿：4厘米、5厘米、7厘米、8厘米

小結：這是我們用鋪的方法找到了邊長是1、2、3、6厘米的正方形都

能正好鋪滿，其它的不行。

【設計意圖：通過操作體會哪些正方形能正好鋪滿，哪些正方形不能正好

鋪滿？為什么？學生真正的在情境中，經歷了公因數和最大公因數概念的形成過

程。在學生交流的過程中，教師始終關注將現實問題轉化為數學問題，從而建立

數學模型這一核心價值。】

3.探究關系

同學們，通過擺小正方形，我們找到了這些小正方形能正好鋪滿，這些小

正方形不能正好鋪滿，請思考：正好鋪面或不能正好鋪滿的原因是什么？我們能

不能不擺而用數學的方法找出這些能鋪滿的正方形的邊長和這個長方形的長和

寬有什么關系？以小組為單位探究一下。

預設：如果學生說24是2的倍數，那么教師追問，那么2是24的什么？

（2是24的因數）2也是18的因數嗎？看來2不僅是24的因數還是18的因數。

那么1,3,6與24和18也有這樣的關系嗎？

（指著4、7）這些數與24和18也有這樣的關系嗎？

預設：4是24的因數，不是18的因數。

7既不是24的因數，也不是18的因數。

小結：要想正好鋪滿，這個正方形的邊長必須既是24的因數，又是18

的因數。

【設計意圖：教師設計了較有價值的引領性問題：“這些能正好鋪滿的

正方形的邊長與長方形的長與寬是有一定的聯系的，他們之間到底有什么關系？

是這樣嗎？咱們一起來看看。1、2、3、6是24的因數嗎？”這些問題均恰到好

處的引領學生朝著今天新學習的知識“公因數”邁進，這里一層一層環環相扣，

為學生理解知識作了思維支撐。在此基礎中學生開展對數之間關系的進一步探

究，通過探究獲得了新的發現：它們之間成因數關系。基于這樣的認知基礎，公

因數和最大公因數的概念就順利呈現。】

4.揭示概念

1、2、3、6既是24的因數，又是18的因數，在數學上我們就把1、2、

3、6叫做24和18的公因數。這是我們用擺的方法找到24和18的公因數，我

們不擺，能不能用數學的方法也能找到24與18的公因數呢？下面，咱們同學自

己在本子上找一找。（學生在練習本上自主做，教師巡視，指導做法。）

（投影展示）24的因數：1、2、3、4、6、8、9、24

18的因數：1、2、3、6、9、18

24和18的公因數：1、2、3、6

剛才通過列舉的方法找到24和18的公因數是1、2、3、6。和我們前

面操作的結果一樣嗎？（一樣）

這就是我們這節課要學習的數學方法，不操作通過求公因數的方法找到這

樣（指1、2、3、6）的正方形能正好鋪滿，這樣（4、5、7、8）的正方形不能

正好鋪滿。

【設計意圖：引導學生理解公因數是兩個數公有的因數，讓學生運用對公

因數的理解，獨立探究用列舉法找公因數的方法。通過“請你和大家說說你是怎

樣找的？”這樣的提問，使得學生與學生之間的互動得到充分展開，從而進一步

理解公因數的意義。】

5.練習：找公因數

剛才我們通過分別找出它們的因數來找公因數，老師再給你兩個數，你

能找出它們的公因數嗎？把它們快速填寫在1號練習紙上。

用列舉法找12和28的公因數。

你是怎樣找的？

預設：先找12的，再找28的，然后找它們公因數。

強調：1,2,4是12和28的公因數。

通過這兩個例子你明白什么是公因數了嗎？

三、探究學習集合圖

1.認識集合圖會找兩個數的公因數了嗎？來咱們繼續找，這次我們

來做一個與學號有關的游戲，先聽游戲規則：老師給你兩個數，迅速判斷自己的

學號是不是這兩個數的因數，如果是，你就迅速走到講臺前，站到相應的圈子里，

其他同學要認真看，說不定臺上會出現問題，需要你幫他們解決呢。準備好了嗎？

10號和8號上來，拿起圓圈，站到里面去。

預設：1，2,這幾個同學不知道該站在哪個地方。1,2應該站在兩

個圈之間。個別學號的同學沒有上臺，周圍的同學會提醒。

追問：如果學生沒有想到1,2這兩個同學站在兩個圈子中間，引導：

這兩個同學既屬于這個區域的，又屬于另一個區域的，我們能不能想個辦法，讓

它們同時屬于這兩個區域？（應該用圈，把它們都套住）同學們的想法非常好，

根據同學們站的位置我把它畫下來，迅速把你的學號貼在相應的圈子里（讓學生

往黑板上貼數字）他們貼的對嗎？

【設計意圖：通過學號及套呼啦圈這與學生生活較為非常密切的事件，

讓學生直觀體驗集合圈中的因數與公因數的表示方法，有趣的游戲，預料中的爭

執，恰到好處的體現了圖的妙用，圖的填法。比一步步教學生如何填更有效，也

更不易遺忘，充分挖掘了學生的自主意識，也充分體現了教師駕馭教材，調控學

生的能力。】

小結：同學們（指黑板）這部分是10的因數，這個在數學上稱作一個

集合圖，是數學家韋恩創作的，也叫文氏圖。這樣說來是在這個集合里表示的是

10的因數，這里表示的是8的因數，（在集合圖下面進行板書）它們的交集表

示的是它們兩個數的公因數，現在明白每一個集合圖表示的是什么了吧！

2．鞏固練習好迅速把我們剛才找到12和28的因數填在2號練習紙

上。12的因數28的因數

12和28的公因數誰來展示一下你的作

業出示正確的，說出方法。再出示錯誤的，改正錯誤。

四、認識最大公因數

1．認識最大公因數

同學們學的真好，不僅會用列舉法找公因數，而且會用集合圖來表示。下面

我們再來回顧一下我們前面的探究過程，通過擺小正方形，找到了邊長是1、2、

3、6厘米的正方形都能正好鋪滿，從而求出24和18的公因數是1、2、3、6。

如果我們用數量最少的正方形來擺，邊長應該選幾？你是怎樣想的？預設：邊長

最大，用的小正方形最少或從公因數中找最大的同學們的想法太棒了，6是邊長

最大的，結果是什么？（用的正方形最少）6還是公因數中最大的數，6就是24

和18的最大公因數（板書課題）那找一下，這兩組數（指黑板12和28,10和8）

它們的最大公因數是幾？現在你會找兩個數的最大公因數嗎？有什么方法？預

設：先寫出每個數的因數，再找它們的公因數，再找最大的數。那你能找到兩個

數的最大公因數嗎？

2.短除法求最大公因數下面我們來個小比賽看誰求最大公

因數的速度最快？課件出示題目：30和45（學生用列舉法自主做，教

師用短除法做。教師做完之后告訴學生，自己完成任務，讓學生感受到教師使用

的方法很方便，以此激發學生的興趣）老師做的結果也是15，想不想知道老師

是怎么做的？老師用的方法叫做短除法，也是求最大公因數的一個方法，用短除

號把這兩個數連接在一起，用這兩個數的質因數去除，每次除完的商都對應寫在

這兩個數的下面，除到兩個數只有公因數1為止。最后我們把它們的除數寫成連

乘的形式，求出的就是它們的最大公因數。看明白了嗎？想不想試試。用短除法

求36和27的最大公因數，展示學生做的。小結：我們不僅能用列舉的方法找出

它們的公因數，也會用短除法求它們的最大公因數，非常好。

【設計意圖：在學生獨立探索的活動中，教師既尊重學生的個性化

思維方法與成果，又具體指導學生用短除法求兩個數的最大公因數的方法，這樣

使學生獲得方法的全面認識與體會。】

3.解決生活問題。同學們，公因數和最大公因數的知識在我們生活

中的應用是非常廣泛的，誰能用今天的知識幫老師解決這個問題？（課件出示買

地磚鋪地面的問題）老師有一間廚房要鋪地磚，長30分米，寬24分米，請同學

們幫老師選一選，用多大的正方形地磚才能鋪得既整齊又節約呢？（地磚的邊長

為整分米數）地磚的邊長最大多少分米？其實生活當中這樣的例子還有

很多，課后同學們多觀察，用我們學過的知識多去思考，你會有很多發現的。

【設計意圖：練習緊緊圍繞教學目標進行設計和組織。首先，讓學

生進行求兩個數的最大公因數方法的練習，使學生掌握方法，為后繼學習打下了

堅實的基礎。最后把學生的視野和思維引向了現實，把數學和生活聯系起來，利

用公因數解決生活中的實際問題，讓學生體會到數學是有用的，生活中處處有數

學。】