公因數

公倍數與公因數的應用

公倍數與公因數的應用

【教材簡析】

公因數與公倍數是在學生研究了一個數的倍數和因數的基礎上，

來進一步研究兩個（或多個）數的因數和倍數的特點。讓學生聯系生

活的實際，運用所學的知識解決簡單的實際問題，這樣可以更好的溝

通公因數與公倍數知識間的聯系，最終形成比較系統的知識網絡。

【教學目標】

1.通過動手操作、合作交流等形式來探索解決問題的方法，既能

使學生在活動中加深對公倍數和公因數的理解，又能使學生體會數學

知識的內在聯系，感受數形結合的奧妙。

2.能靈活運用公倍數與公因數的知識解決簡單的實際問題，培養

學生分析問題解決問題的能力。

3.給學生創設輕松快樂的課堂氛圍，提供開放的思維平臺和充分

的展示自我的空間，讓學生體驗數學學習的樂趣。

【教學重點、難點】運用公因數與公倍數知識解決實際問題，構

建知識體系。【教學過程】

一、創設情境，探究新知

1、導入：剪紙在中國已有1500多年的歷史，揚州是剪紙藝術流

行最早的地區之一。揚州剪紙已經入選國家非物質文化遺產。張秀芳

是揚州剪紙藝術的杰出代表性人物之一。

今天我們也來學一學剪紙！我們的第一個任務就是做正方形剪紙。

（播放課件）

2、將一個長18厘米，寬12厘米的長方形紙裁剪成邊長是整厘米

數，大小相同的正方形而且沒有剩余，正方形邊長可能是多少厘米？

先在長方形紙上畫一畫，再剪下一個。

學生動手操作，教師巡視。

指名匯報，你剪下的正方形的邊長是多少厘米?你是怎么想的？

生：我剪的正方形邊長是6厘米。6既是18的因數又是12的因

數。

生：我剪的正方形邊長是3厘米。3既是18的因數又是12的因

數。

生：我剪的正方形邊長是2厘米。2既是18的因數又是12的因

數。

生：我剪的正方形邊長是1厘米。1既是18的因數又是12的因

數。

板書：邊長6厘米

3厘米公因數

2厘米

1厘米

師：剛才這幾位同學剪下的正方形邊長和大長方形之間有什么聯

系呢？

投影出示，示意圖

生：這幾種正方形的邊長都是18和12的公因數。（板書：公因

數）

師：如果我們將最后的問題改成：正方形邊長最大是多少厘米？

應該怎么剪？為什么？

生：剪邊長是6厘米的正方形，因為6是12和18的最大公因數。

師：如果我們將最后的問題改成：最多能剪下多少個這樣的小正

方形？應該怎么剪？為什么？

生:剪邊長是1厘米的小正方形，因為1是12和18的最小公因

數，正方形的邊長越小，剪下的個數才會越多。18×12﹦216

師：從大長方形中剪小正方形，看起來是一件很簡單的事情，但

是其中包含的學問還是挺多的。

3、下面我們來看一看第二個任務：用若干張長18厘米，寬12厘

米的長方形剪紙，每人拼一個正方形展板，正方形的邊長可能是多少

厘米？

請同學們拿出準備好的長方形剪紙，在自己的桌面上拼一拼。

指名匯報，你是怎么拼的，說說你的想法？

生：我拼的正方形邊長是36厘米。

師：你是怎么拼的？

生：我用小長方形的長拼兩排，拼3行，一共用了6個小長方形。

師：拼成的正方形邊長還可以再大些嗎？

生：還可以是72、108、……

師：你是怎樣想的？

生：拼成的正方形的邊長應該是18和12的公倍數。（板書：公

倍數）

投影出示，示意圖

板書：邊長36厘米

72厘米公倍數

108厘米

……

〖設計意圖〗將公因數與公倍數的實際問題通過剪紙情境有機的

整合在一起，都是將長方形變成正方形，一剪一拼，截然不同，讓學

生在解決問題的過程中初步感知兩者的不同，同時也回顧了公因數公

倍數的知識，為后續的比較提升做好準備。

對比分析：

師：為什么同樣是將長方形變成正方形，前面一題只有4種剪法，

而后面一題卻有無數種剪法？這是怎么回事呢？

分組討論。

交流匯報：

師：你是怎么想的？

生：第一題是將長方形剪成正方形，所以正方形的邊長應該是12

和18的最大公因數，任意兩個自然數的公因數的個數總是有限的；第

二題是將長方形拼成正方形，所以正方形的邊長是12和18的公倍數，

而任意兩個自然數的公倍數的個數是無限的。

〖設計意圖〗通過互動交流、對比分析，可以更好的讓學生感受

公因數與公倍數的區別，在比較中加深學生對知識的理解。學生可能

知道求公因數或公倍數，但是為什么，學生卻并不理解。因此設計這

樣一組對比分析，通過關系式讓學生感受邊長與長和寬的關系，真正

理解什么情況下是求公因數，什么情況下是求公倍數。同時在操作交

流中學生也對公因數與公倍數的相關概念有了一個比較系統的認識。

二、深化練習，鞏固拓展

（一）基本練習

師：剪紙做好了，剩下的任務就是裝飾和搭配了。

出示題目：

1、現在我們要將同學們的作品分組展覽，平均每組6張或8張，

都正好分完。同學們最少做了多少張剪紙作品？

2、暑假期間，小明和小軍都參加了剪紙興趣練班。小明每4天去

一次，小軍每6天去一次，8月1日兩人同時參加的訓練，下一次他們

同時參加訓練是幾月幾日？

3、有兩根彩帶分別長24分米和16分米，要剪成同樣長的小段，

用于裝飾花邊，每段最長多少分米？可以剪這樣的幾段？

學生在練習本上完成。

交流匯報：

1、[6,8]=24

可不可以是48張剪紙作品呢？為什么？

生：因為題目問的是最少做了多少張？

2、(24,16)＝8

24÷8＝3（段）16÷8＝2（段）3＋2＝5（段）

3、[4,6]=1212＋1＝13（日）8月13日

師：看來學會了公倍數和公因數的知識，我們就可以比較輕松地

解決生活中類似的問題。

（二）綜合練習，對比分析

師：今天來了一些老師聽咱們的課，很多同學都想送老師一幅剪

紙作品？

投影出示：

4、同學們將37張花卉剪紙和52張人物剪紙平均分給聽課的老

師，結果發現花卉剪紙剩下1張，人物剪紙剩下4張。聽課的老師最

多有幾人呢？

讓學生寫在隨堂練習本上，完成后展示。

有部分學生沒有做出來，先問他們原因？

生：37和52只有公因數1，來聽課的老師不應該是1人！

生：52-4=48（人），37-1=36（人），(48,36)＝12，所以最多

一共有12人。

教師追問想法。

明明分的是37和52，為什么求的卻是36和48的最大公因數？

生：因為人物剪紙剩下4張，花卉剪紙剩下1張，所以正好分了

36張花卉剪紙、48張人物剪紙。

師：（37-1）÷老師人數=整數（52-4）÷老師人數=整數

過渡：我們的剪紙作品展示活動開始了！課件出示題目：

5、五（1）班組織部分同學來參觀，如果每6人一組余2人，9

人一組也余2人。你知道五（1）班來參觀的同學至少有多少人嗎？

師：快速寫在練習紙上。

學生完成后組織交流。

生：先求出6和9的最小公倍數是18，再加上2，參觀的同學至

少有20人。

師追問：為什么要加上2？

師引導學生明確：如果沒有余數，正好就是6和9的最小公倍數，

現在都余2，余數相同，所以要加2。

師：如果都少2人呢？

生：用最小公倍數減2.

師：為什么要減2？

生：因為如果不差2人，那么正好是6和8的最小公倍數，都差

2人所以要減去2.

談話總結：我們在解決這一類問題時，一定要弄懂這里的余數是

什么意思，是怎樣分的；明確要解決的問題與誰有關，它們之間有什

么樣的關系。

〖設計意圖〗：設計對比性的綜合練習，前面是正好分完，后面

分了有余數，通過對比分析可以讓學生更好的把握解題的關鍵，提煉

解題的方法。同時將知識適時拓展，給學生提供一個展示自我的平臺

可以更好的激發學生的學習熱情。由于學生有了前面練習的基礎，雖

然題目的思維含量較高，但是學生有思維的抓手，因此將問題適時拓

展可以更好的調動學生的思維，發展學生的思維能力。

（三）拓展練習：

課件出示題目：

6、五（2）班也組織了部分同學來參觀，如果每6人一組余2人，

9人一組余5人。五（2）班來參觀的同學至少有多少人？

師提出問題：現在余數不相同怎么辦？

學生嘗試解決，教師提示：每6人一組余2人，再增加幾人就可

以又組成一組了？每9人一組余5人是什么意思？

學生解決不出來可放在課后繼續思考。

〖設計意圖〗：這是將同余問題進一步拓展到同差問題，這種思

維的跨度比較大，學生理解起來比較困難。因此將此題作為一道機動

題目安排在練習課的最后。旨在引發學生思維的興趣，當然，這樣在

對比中變化出來的題目也可以有效的拓展學生的思維，讓學生在深入

理解公因數公倍數的基礎上多角度思考問題，從而在解決問題的過程

中提升學生分析問題解決問題的能力，發展學生的思維能力。

三、回歸情境，總結提升

談話：今天我們領略了剪紙中的數學問題，學會應用公因數和公

倍數的知識解決一些生活中的實際問題，只要我們用心思考，善于用

數學的眼光去觀察，分析，相信同學們還會有更多的收獲！

〖設計意圖〗：讓學生在談收獲的過程中反思自己本節課的表現，

可以更好的培養學生總結概括的能力。