公因數是什么

課題公因數和最大公因數

教學目標：

1．經歷概念形成和規律探究的過程，形成公因數、最大公因數的概念。

2.通過分類分析，形成互質數概念，并建立對特殊關系的數的敏感度。

內容分析：

“公因數和最大公因數”是“公因數和公倍數”單元的第一課時，教材編排了兩道例題。通過例1

的學習，讓學生理解公因數的含義，通過例2的探索，掌握找公因數和最大公因數的方法，最后通過不

同形式的練習，幫助學生形成技能。這樣的編排，“扶”得多，學生缺少獨立探索、發現和研究的意識。

“公因數、公倍數”單元是繼“倍數和因數、能被2、3、5整除的數的特征、素數和合數”后進一

步學習的內容，是進一步學習約分和通分以及分數四則計算的重要基礎。“能被2、3、5整除的數的特征、

素數和合數”是對“一個數內部特征的研究”，“公因數”和“公倍數”是對“兩個數內部關系的研究”，

是規律探究課型與概念形成課型的有機融合。“公因數”與“公倍數”有著類同的知識結構基于以上認識，

為了讓學生進一步掌握學習的主動權，“公因數和最大公因數”“教結構”，讓學生經歷規律探究和概念的

形成過程，聚類分析后得出“公因數和最大公因數”的概念；然后通過分類分析，發現求兩個數的“最

大公因數”的特殊情況，讓學生逐步對數與數之間的關系產生一定的敏感，為“公倍數和最小公倍數”

提供結構支撐。

學情分析：

在前期的學習中，學生掌握了求一個數因數和一個數的倍數的方法，在學習能被2、3和5整除的數

的特征以及素數、合數的特征過程中，經歷了規律探索學習的基本教學結構，有了一定的學習方法的積

累。因此，這部分知識的學習，可以引導學生運用結構進行研究，形成概念。

教學過程

教學

環節

教師活動學生活動設計意圖

常規

積累

1.寫出1－12各數的因數。

2.說說一個數的因數有什么特點？

完成后同桌互相核對。

同桌互說。

回顧舊知，為新

知的學習作好

準備。

第一層次：觀察發現。

1.談話：四年級時，我們研究了一個數的因數、一

個數的倍數的特點，今天起我們要來研究兩個數

或幾個數之間的因數的特點。

為了方便我們研究，請同學們看到1-12的因數，仔

細觀察它們的因數，你發現了什么？

過程中打開：老師聽到有些同學講的還是一個數因

數的特點，那兩個數之間、幾個因數之間又會有什

么新的發現呢？

交流：觀察到每個數的因數都有1。

介紹：看來1是這12個數公有的因數。

追問：那2是哪些數公有的因數呢？你能像這樣再

來找找嗎？

（交流1-2個學生的發現即可。）

獨立觀察后與同桌交流。

學生獨立尋找后與同桌

交流。

同桌簡單交流

學生獨立做。

根據學生已有

的知識經驗，直

接提出問題，順

著學生的思維

方向，把學生的

思維引向兩個

數的因數的研

究上。

理解

公因

數和

最大

公因

數的

意義

2.過渡：通過觀察，我們發現有些數是兩個數公有

的因數，有些數是三個數公有的因數，有些數是四

個數公有的因數，等等，其中最簡單的就是兩個數

公有的因數，那我們就從最簡單的入手。要研究兩

個數因數之間的關系，首先要有兩個數，不妨先隨

便找兩個數：4和18。

第二層次：指導方法（7分鐘）

1．出示4和18，你能想辦法找到它們所有的公有因

數嗎？

呈現資源：（大黑板）

（1）4的因數：1，2，4.

18的因數：1，2，3，6，9，18。

（2）4的因數：①，②，4

打開：有同學想到了一種方法，那你還有沒有第二

種方法呢？（老師發現很多同學都分別列出4和18

的因數，那有沒有更簡便的方法，只列出一個數的

因數，可以嗎？）

2．交流：

（1）這兩種方法都是怎么想的呢？

學生解讀,（第一種方法大部分同學都會，就一帶

而過，重點放在第二種方法上）第二種方法為什么

只有4的因數，18的因數哪去了？（放在腦子中，

哦，1,2是18的因數，4不是18的因數。）

追問：為什么不先寫18的因數呢？

你更喜歡那種方法？為什么？仔細觀察你覺得這

兩種方法寫完整了嗎？

補充：公因數找到了還要記得寫下結論。（補充進去）

（2）方法一：像這樣，先列出4的因數，再列出18

的因數，最后在兩個數的因數中都找到了公有的因

數1和2，這樣的方法我們可以叫做什么？

（3）方法二：

有時候我們可以先寫出小數所有的因數，然后再對

照大數的因數，找出公有的因數，這樣的方法我們

也起個形象點的名字叫“寫小找大”。

3.小結：剛才我們找到了4和18公有的因數，都

想到了哪些辦法？

第三層次：舉例驗證（5分鐘）

1．設疑：那是不是任意兩個數都能找到公有的因數，

也都能找到最大的一個呢？（板書“猜想”？）需

要怎樣？（舉例驗證）由于課上時間有限，我們就

寫30以內的數，30以外的數請同學們課后再來找

可能：

（1）一一列舉

（2）寫小找大

同桌交流后請生介紹。

同桌討論。

預設：18的因數比較多。

學生明確活動要求，并進

行舉例驗證。

明確：0不做考慮。

學生舉了一些例子后，同

經歷4和18的

公有的因數的

尋找，指導具體

的做法，為后面

的獨立尋找作

好方法鋪墊。

從有限的例子

中提出猜想，再

通過大量的舉

例來驗證猜想，

并有意識注意

數的范圍，最后

歸納出結論，這

一環節旨在讓

學生經歷完整

的不完全歸納

過程，認識概

找？老師給大家提供了一張2號練習紙：（出示），

如果你需要一些“列舉”或“寫小找大”的過程，

可以寫在上面空白的地方。

過程中打開：

（1）之前，我們舉例要有代表性，需要思考一般情

況和特殊情況，這里有沒有特殊情況呢？

（2）有的同學沒有用列舉的方法也能找到兩個數最

大的因數，這是不是特殊情況呢？想一想除

了現在的情況還有其他情況存在嗎？

（3）有的同學想到的都是特殊情況的例子，那有沒

有一般的情況呢？

第四層次：歸納結論

同學們舉了很多的例子，有沒有發現兩個數沒有公

有的因數，那能不能找到最大的一個呢？

舉不出反例了，說明這個猜想怎樣？（成立，將？

改。移動）

第五層次：揭示概念

我們發現任意兩個數都有公有的因數，我們可以把

公有的因數叫做什么？（公因數）。其中最小的都是

1，最大的各不相同，最大的公因數我們就叫做最大

公因數。可以用一種簡潔的方式來表示兩個數的最

大公因數（4，18）=2.

落實：（你也從你的例子中挑幾個來學學這種表示方

法。）

桌互相檢查批改。

找3-4個學生作業簡單

交流。

發現沒有。

念，掌握解決問

題的一般方法

結構。

研究

兩個

數的

最大

公因

數

1.分類：在研究一個數因數特點的時候我們能最大

因數和最小因數進行了研究，通過剛才的舉例驗證，

我們發現兩個數最大公因數各不相同，這里是沒有

什么規律呢？老師從同學們的例子中選出一些，讓

我們來仔細觀察一下，能不能根據最大公因數，把

它們來分分類呢？（貼）

2.呈現資源，交流：

（1）看到同學們基本上都是這樣分的，說說是怎么

分的？

（2）先來看最大公因數不是1的，再來看看原來的

兩個數，能不能再根據這兩個數的關系分分類？

（板書結論：兩數成倍數關系，最大公因數是較小

數。）

3.再分類：剩下的最大公因數都是1，看樣子情況比

較復雜，我們能不能再來把它們分分類呢？或許可

以幫助我們對這些情況有更清晰的了解。

4.交流：

（1）加工中清晰分類。

學生進行一級分類，寫序

號。可能:

是1和不是1

同桌討論。

倍數關系、非倍數關系

學生進行二級分類。可能

全或不全：（加工）

1．1和任何自然數；

2．兩個連續的自然數；

3．1個素數。（3,4也可

通過分類分析

找到兩個數之

間的特殊關系

（倍數關系、互

質關系），幫助

學生逐漸形成

對數的敏感。

（2）追問：為什么這三種情況它們的最大公因數就

一定是1呢？

（3）介紹：如果兩個數的最大公因數是1，這兩個

數就叫互素數，那么這兩個數的關系就叫互素

關系。

（板書結論：兩數成互素關系，最大公因數是1。）

（4）快速反應：分析關系，求最大公因數。（同桌

合作）

整合成一素，兩數無倍

數）

前兩個集體交流，后面的

同桌說說。

總結

拓展

1．總結：今天我們通過對兩個數公有的因數的研究，

發現兩個數都有公因數，而且能找到最大的公因數。

在研究最大公因數的時候發現兩個數之間存在特殊

情況。如果兩數成倍數關系，最大公因數是較小數，

兩數成互質關系，最大公因數是1。是不是只有兩個

數能找到公因數呢？三個數是不是也有公因數和最

大公因數呢？三個數之間是不是也存在著特殊情況

呢？兩個數公有的因數的情況進行了研究，那還可

以對兩個數公有的倍數進行研究。

同桌討論。橫向與縱向的

拓展，為學生的

后續學習提供

結構支撐。