重影點(diǎn)

第一章投影基本知識(shí)

§1-11-2投影概念及正投影特性

一.教學(xué)目的

掌握點(diǎn)在兩投影面體系和三投影面體系中的投影及點(diǎn)的投影特性。理解重影點(diǎn)的概念、判斷

重影點(diǎn)的可見(jiàn)性。了解兩投影面體系中的分角和各分角中點(diǎn)的投影。掌握空間兩點(diǎn)的相對(duì)位

置。

二.教學(xué)重點(diǎn)

講課重點(diǎn)：兩投影面體系、三投影面體系的建立及點(diǎn)的投影特性，空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)

系。

三.教學(xué)難點(diǎn)

如何清楚地講述的點(diǎn)的投影特性，在學(xué)習(xí)初期，有效地幫助學(xué)生建立良好的空間思維。

四.布置作業(yè)

習(xí)題集

一.投影法的形成

影子與投影概念的區(qū)別：

1.物體在光源的照射下會(huì)出現(xiàn)影子

2.光源發(fā)出的光線(xiàn)，假設(shè)能透過(guò)形體而將各個(gè)頂點(diǎn)和各條側(cè)棱都在平

面P上投落它們的影，這些點(diǎn)和線(xiàn)的影將組成一個(gè)能夠反映出形體各部

分形狀的圖形，這個(gè)圖形稱(chēng)為形體的投影

（簡(jiǎn)單的說(shuō)：形體通過(guò)投影線(xiàn)在投影面上產(chǎn)生的投影）。

2投影形成的三要素：形體、投射線(xiàn)和投影面。

2投影法中的空間形體，只研究它們的空間形狀，而不涉及它們的制

造材料、重量、質(zhì)量分布是否均勻等物理性質(zhì)。

二.投影的分類(lèi)

1.中心投影——光源s通常稱(chēng)為投影中心，當(dāng)投影中心在有限的距離內(nèi)，

發(fā)出放射狀的投影線(xiàn)，這些投影線(xiàn)形成的投影稱(chēng)為中心投影（或投射線(xiàn)

集中一點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的投影）。

2.平行投影——投影中心在無(wú)限遠(yuǎn)處，發(fā)出平行的投影線(xiàn)，這些平行投

影線(xiàn)形成的投影稱(chēng)為平行投影（或平行投射線(xiàn)產(chǎn)生的投影）。

在平行投影中，根據(jù)投影線(xiàn)與投影面的傾角不同，又分為正投影和

斜投影兩種。

1)正投影——平行投射線(xiàn)垂直投影面

2)斜投影——平行投射線(xiàn)傾斜投影面

中心投影與平行投影的投影特性：

?中心投影：如果改變形體與投射中心或投影面的距離，其投影的大

小隨之變化，度量性較差。

?平行投影：投影不隨形體與投射中心或投影面的距離的改變而改

變，度量性好；且當(dāng)空間形體的某一平面與投影面平行時(shí)，起頭亞

反映該平面的真實(shí)形狀和大小。（后一特性是平行投影的一個(gè)非常

重要的特性）

三.投影法的應(yīng)用

1.利用中心投影法畫(huà)透視圖

特點(diǎn)：逼真、形象、直觀(guān)。

2.利用斜投影法畫(huà)軸測(cè)圖

在與空間形體一個(gè)表面平行的投影面上作出的投影圖。

3.利用正投影法畫(huà)正軸測(cè)圖

在一個(gè)不平行于空間形體的任一向度（可理解為確定空間形體兩兩

相互垂直的三個(gè)坐標(biāo)軸的方向）的投影面上作出的投影圖。

4.利用正投影法畫(huà)正投影圖

在兩個(gè)或兩個(gè)以上相互垂直，并分別平行與空間形體的主要側(cè)面的投

影面上作出的投影

圖。這種由兩個(gè)或連歌以上正投影組合而成，用以確定空間唯一的形體

的一組投影，稱(chēng)為多面正投影圖，簡(jiǎn)稱(chēng)正投影圖。

5.利用正投影法畫(huà)標(biāo)高投影圖

將一段地面的等高線(xiàn)投射在水平的投影面上，并標(biāo)注出各等高線(xiàn)的標(biāo)

高來(lái)表達(dá)該地段的

地形。

四.平行投影的特性（平行投影中的正投影同樣遵循這樣的投影特性）

1.顯實(shí)性

2.相似性

3.積聚性

4.平行性

5.從屬性

6.定比性

五.投影圖的形成

（一）一個(gè)投影的投影圖（不能唯一確定空間形體）

在形體的正下方放一投影面，使其處于水平，這個(gè)投影面稱(chēng)為水平投

影面H，簡(jiǎn)稱(chēng)H面，在H面上的投影稱(chēng)為水平投影或H投影。

（二）兩個(gè)投影的投影圖（有時(shí)也不能唯一確定空間形體）

垂直H面增加一正立投影面V，簡(jiǎn)稱(chēng)V面，在V面上的投影稱(chēng)為正面投

影或V投影。H面和V面組成一個(gè)兩投影面體系。

兩投影面的交線(xiàn)稱(chēng)為投影軸，V∩H=OX軸。

V投影面反映形體的長(zhǎng)度和高度，兩投影面展開(kāi)后，V投影與H投影左

右對(duì)齊，這種投影關(guān)系稱(chēng)為“長(zhǎng)對(duì)正”。

（三）三個(gè)投影的投影圖（一般情況可以唯一確定空間形體）

同時(shí)垂直H面和V面增加一側(cè)立投影面W，簡(jiǎn)稱(chēng)W面，在W面上的投影稱(chēng)

為側(cè)面投影或W投影。H面、V面和W面組成一個(gè)三投影面體系。

投影面兩兩相交，其交線(xiàn)稱(chēng)為投影軸：

V∩H=OX軸

H∩W=OY軸

V∩W=OZ軸

V投影面反映形體的長(zhǎng)度和高度，W投影面反映形體的寬度和高度。

兩投影面展開(kāi)后，V投影與W投影上下平齊，這種投影關(guān)系稱(chēng)為“高平

齊”。

H投影面反映形體的長(zhǎng)度和寬度，W投影面反映形體的高度和寬度。

兩投影面展開(kāi)后，H投影與W投影的寬度相等，這種投影關(guān)系稱(chēng)為“寬相

等”。

六.投影圖的特性

1.正投影的投影關(guān)系：“長(zhǎng)對(duì)正”、“高平齊”、“寬相等”。

2.每個(gè)投影面均反映兩個(gè)坐標(biāo)，同時(shí)反映上下、左右、前后方位關(guān)系。

沿x軸——反映左右

沿y軸——反映前后

沿z軸——反映上下

H投影面反映形體的長(zhǎng)度和寬度，反映前后、左右方位關(guān)系。

V投影面反映形體的長(zhǎng)度和高度，反映上下、左右方位關(guān)系。

W投影面反映形體的寬度和高度，反映前后、上下方位關(guān)系。

§1-3點(diǎn)的投影

一.點(diǎn)的三面投影的展開(kāi)

規(guī)定：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的三個(gè)投影都用同一個(gè)小寫(xiě)字母表

示。其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加兩撇。

1.V投影面保持不動(dòng)，H投影面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90度。

2.V、H投影面保持不動(dòng)，W投影面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90度。

點(diǎn)的投影特性：

點(diǎn)在兩個(gè)投影面上的投影連線(xiàn)，垂直與兩投影面的交線(xiàn)，即垂直于投

影軸。

b)空間一點(diǎn)到投影面的距離等于另外一個(gè)投影到投影軸的距離。

3.最后三個(gè)投影面位于同一平面上，通常投影面的邊框不必畫(huà)出。

ˉ強(qiáng)調(diào)點(diǎn)的投影特性，講完后再重新總結(jié)一次。

二.點(diǎn)在其它分角中的投影

由于書(shū)中沒(méi)有這方面的介紹，結(jié)合Powerpiont給出的立體圖，簡(jiǎn)單

介紹。學(xué)生較容易理解。

三.點(diǎn)在三個(gè)投影面中的位置

1.x,y,z≠0，點(diǎn)在空間

2.x＝0y,z≠0時(shí)，點(diǎn)在W面上

y＝0x,z≠0時(shí)，點(diǎn)在V面上點(diǎn)在投影面上

z＝0y,x≠0時(shí)，點(diǎn)在H面上

3.x,y＝0z≠0，點(diǎn)在z軸上

y,z＝0x≠0，點(diǎn)在x軸上

z,x＝0y≠0，點(diǎn)在y軸上

4.x,y,z＝0，點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

例1已知點(diǎn)A的正面投影a′和側(cè)面投影a″（a），求作該點(diǎn)的水平

投影。

分析:在圖b中，自a′向下作OX軸的垂線(xiàn)，自a″向下作OYw軸的

垂線(xiàn)與45°輔助直線(xiàn)交于一點(diǎn)，過(guò)該交點(diǎn)作OY

H

軸的垂線(xiàn)，與過(guò)a′豎

直線(xiàn)交于a，a即為A點(diǎn)的水平投影。

例2 已知空間點(diǎn)A的坐標(biāo)（18,12,15），求作其面三面投影。

分析：由點(diǎn)A的坐標(biāo)可知，A到W面的距離x=18,到V面距離y=12,到H

面距離z=15。根據(jù)點(diǎn)的每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)確定一個(gè)投影的關(guān)系，便可進(jìn)行作

圖。

四.兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。

判別方法：

X坐標(biāo)大的在左，Y坐標(biāo)大的在前，Z坐標(biāo)大的在上。

例3．A、B兩點(diǎn)的投影如下圖，試判別A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置。

分析：如圖

A在左,B在右；

A在后,B在前；

A在上，B在下。∴ 點(diǎn)A在B的左、后、上方。

五.重影點(diǎn)

當(dāng)空間兩點(diǎn)位于對(duì)投影面的同一條投影線(xiàn)上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投

影面上的投影重合，稱(chēng)這兩點(diǎn)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。

§1-4直線(xiàn)的投影

一.教學(xué)目的

掌握空間各直線(xiàn)的投影特性及判別方法，了解直線(xiàn)與投影面傾角的概念。掌握直線(xiàn)上點(diǎn)的投

影。掌握兩直線(xiàn)的空間相對(duì)位置，并會(huì)利用兩直線(xiàn)的空間相對(duì)位置求解直線(xiàn)上的特殊點(diǎn)的投

影。

二.教學(xué)重點(diǎn)

講課重點(diǎn)：三種位置直線(xiàn)的投影特性、判別方法，直線(xiàn)上點(diǎn)的從屬性。依據(jù)直線(xiàn)的兩面投

影判斷直線(xiàn)的相對(duì)位置。

三.教學(xué)難點(diǎn)

如何清楚地講述的點(diǎn)的投影特性，在學(xué)習(xí)初期，有效地幫助學(xué)生建立良好的空間思維。

四.布置作業(yè)

習(xí)題集

兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，將直線(xiàn)上兩點(diǎn)的同面投影用直線(xiàn)連接起來(lái)，就

得到直線(xiàn)的三個(gè)投影。

一般情況下，直線(xiàn)的投影仍為直線(xiàn)。

直線(xiàn)的長(zhǎng)度是無(wú)限長(zhǎng)的，可以用直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)的字母來(lái)標(biāo)記，

如直線(xiàn)AB、直線(xiàn)CD，或用一個(gè)字母表示，如直線(xiàn)L。線(xiàn)段是直線(xiàn)上兩點(diǎn)

間的一段，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是有限的，用兩端的端點(diǎn)來(lái)標(biāo)記。

直線(xiàn)在三投影面中的位置關(guān)系有三種：平行、垂直、傾斜。

其中平行、垂直稱(chēng)為投影面的特殊直線(xiàn)，傾斜稱(chēng)為投影面的一般直

線(xiàn)。

一.投影面的垂直線(xiàn)——垂直于其中一個(gè)投影面，而同時(shí)平行另外兩個(gè)

投影面的直線(xiàn)。

這樣的直線(xiàn)有三種：

垂直H面，平行V面、W面——鉛垂線(xiàn)

垂直V面，平行H面、W面——正垂線(xiàn)投影面的垂直線(xiàn)

垂直W面，平行H面、V面——側(cè)垂線(xiàn)

ˉ結(jié)合立體圖和展開(kāi)后的平面圖，以鉛垂線(xiàn)為例闡述投影面垂直線(xiàn)的

概念和投影特性，再來(lái)演示另外兩種垂直線(xiàn)及其投影特性。最后總

結(jié)性提出投影面的垂直線(xiàn)的投影規(guī)律和判別方法。

投影面的垂直線(xiàn)的投影規(guī)律

1.在所垂直的投影面上積聚為一點(diǎn)。

2.另外兩投影同時(shí)平行與兩投影面的相交軸線(xiàn)，分別垂直積聚投影

面的相應(yīng)投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。

判別方法

只要有一投影積聚為一點(diǎn)，一定是投影面的垂直線(xiàn)，且垂直于積聚

投影所在的投影面。

二.投影面的平行線(xiàn)——平行于一個(gè)投影面，傾斜于其它兩個(gè)投影面的

直線(xiàn)

這樣的直線(xiàn)也有三種：

平行于H投影面，傾斜于V、W投影面的直線(xiàn)—稱(chēng)為水平線(xiàn)

平行于V投影面，傾斜于H、W投影面的直線(xiàn)—稱(chēng)為正平線(xiàn)投影面的

平行線(xiàn)

平行于W投影面，傾斜于H、V投影面的直線(xiàn)—稱(chēng)為側(cè)平線(xiàn)

闡述傾角的概念：空間直線(xiàn)與投影面的傾角就是該直線(xiàn)和它在該投影面

的投影所夾的角。

投影面的平行線(xiàn)的投影規(guī)律

1.在所平行的投影面上的投影反映平行線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)，且與投影軸的夾

角反映平行線(xiàn)于相應(yīng)投影面夾角的實(shí)形。

2.另外兩投影都小于實(shí)長(zhǎng)，分別平行于平行投影面的相應(yīng)軸線(xiàn)，同時(shí)

垂直于兩投影面的交線(xiàn)。

判別方法

只要有一個(gè)投影是傾斜的，另外兩個(gè)投影是平行的，一定是投影面

的平行線(xiàn)，且平行傾斜投影所在的平面。

三.一般位置直線(xiàn)——與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)

直線(xiàn)與H、V和W三投影面的夾角分別用α、β、γ表示。

一般位置直線(xiàn)的投影規(guī)律：

1.三面投影都是傾斜的，且長(zhǎng)度都小于線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)，即不反映實(shí)長(zhǎng)。

2.三面投影都不反映直線(xiàn)對(duì)于H、V、W面的傾角α、β、γ實(shí)形。

判別方法：

只要有兩個(gè)投影是傾斜的，一定為一般位置直線(xiàn)。

ˉ三部分講完后，利用黑板舉例提問(wèn)加深印象。

四、直線(xiàn)上的點(diǎn)

主要講兩點(diǎn)：

1.從屬性：

若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線(xiàn)的同面投影上。

反之，如果點(diǎn)的各個(gè)投影均在直線(xiàn)的同面投影上，則點(diǎn)在直線(xiàn)上。

（開(kāi)始部分學(xué)生不好理解這條，舉例題幫助理解）

2.定比性：

一直線(xiàn)上兩線(xiàn)段長(zhǎng)度之比，等于它們的投影長(zhǎng)度之比。

五、兩直線(xiàn)的相對(duì)位置

空間兩直線(xiàn)共有三種相對(duì)位置關(guān)系：平行、相交、交叉

1.平行兩直線(xiàn)

平行兩直線(xiàn)的投影特性：

空間兩直線(xiàn)平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然（即如果

空間兩直線(xiàn)各同面投影相互平行，則兩直線(xiàn)必平行）。

判別方法：

對(duì)于兩條一般位置直線(xiàn)，如果有兩面投影相互平行，那么這兩條直線(xiàn)

必平行。

（特殊情況是針對(duì)兩條側(cè)平線(xiàn)而言）

2.相交兩直線(xiàn)

相交兩直線(xiàn)的投影特性：

空間兩相交平行的同面投影必相交，且交點(diǎn)滿(mǎn)足投影規(guī)律，即“長(zhǎng)

對(duì)正、高平齊、寬相等”。

判別方法：

同面投影必相交且交點(diǎn)符合投影規(guī)律兩直線(xiàn)必相交。

3.交叉兩直線(xiàn)

交叉兩直線(xiàn)的投影特性：

三面投影不可能同時(shí)保持平行；如果同面投影有交點(diǎn)，交點(diǎn)不符合

投影規(guī)律。

判別方法：

既不平行又不相交的兩直線(xiàn)必為交叉直線(xiàn)。

§1-5平面的投影

一.教學(xué)目的

掌握各種位置平面的投影特性及其判別方法，掌握平面上的兩條特殊直線(xiàn)（水平線(xiàn)和正平

線(xiàn)），會(huì)通過(guò)投影作圖求平面上的點(diǎn)和直線(xiàn)。

掌握直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的投影特性。掌握直線(xiàn)與平面、平面與平面相交的投影特

性，會(huì)正確求解交點(diǎn)或交線(xiàn)且正確判斷可見(jiàn)性。

二.教學(xué)重點(diǎn)

投影面的平行線(xiàn)和垂直線(xiàn)的投影特性和判別方法。

確定平面上的點(diǎn)和直線(xiàn)。

直線(xiàn)與平面、平面與平面平行關(guān)系的判斷，直線(xiàn)與平面、平面與平面相交關(guān)系的求解及可

見(jiàn)性判斷。

三.教學(xué)難點(diǎn)

如何判斷兩一般面相互平行，學(xué)生不易理解。

注意要將可見(jiàn)性判斷的方法講清楚，以往這部分作業(yè)做的不好。

結(jié)合例題，清楚明白地講解解體思路，引導(dǎo)學(xué)生如何正確的思考問(wèn)題。

四.布置作業(yè)

習(xí)題集

一.平面的表示方法

1.不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，確定一平面

2.一直線(xiàn)和線(xiàn)外一點(diǎn)

3.相交兩直線(xiàn)

4.平行兩直線(xiàn)

5.平面圖形（任意平面多邊形）

二.平面的位置及其投影特性

空間一平面相對(duì)投影面共有三種相對(duì)位置：平行、垂直、一般位

置。

平行面和垂直面稱(chēng)為投影面的特殊位置平面。

（一）平行面——平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面的平面

這樣的平面有三種：

平行于H投影面，垂直于V、W投影面的平面—稱(chēng)為水平面

平行于V投影面，垂直于H、W投影面的平面—稱(chēng)為正平面投影面的平

行面

平行于W投影面，垂直于H、V投影面的平面—稱(chēng)為側(cè)平面

ˉ以水平面為例闡述投影面平行面的概念和投影特性，再來(lái)演示另外

兩種平行面及其投影特性。最后總結(jié)性提出投影面的平行面的投影

特性和判別方法。

投影面平行面的投影特性：

1)如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上的投影，反映平

面形的實(shí)形；

2)在另外兩個(gè)投影面上的投影均為直線(xiàn)段，有積聚性，且平行于相

應(yīng)的投影軸。

判別方法：

只要有一個(gè)投影積聚為一條平行于投影軸的直線(xiàn)，一定為投影面的

平行面，且平行于非積聚投影所在的投影面。

（二）垂直面——垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面

這樣的直線(xiàn)有三種：

垂直H面，傾斜V面、W面——鉛垂面

垂直V面，傾斜H面、W面——正垂面投影面的垂直面

垂直W面，傾斜H面、V面——側(cè)垂面

ˉ以鉛垂面為例闡述投影面垂直面的概念和投影特性，再來(lái)演示另外

兩種垂直面及其投影特性。最后總結(jié)性提出投影面的垂直面的投影

特性和判別方法。

投影面垂直面的投影特性：

1)在其所垂直的投影面上，投影為斜直線(xiàn)，有積聚性；該斜直線(xiàn)與

投影軸的夾角反映該平面對(duì)相應(yīng)投影面的傾角；

2)如用平面圖形表示平面，則在另外兩個(gè)投影面上的投影不是實(shí)

形，但有相仿性。

判別方法：

只要平面的一個(gè)投影積聚為一傾斜直線(xiàn)，一定為投影面的垂直面，

且垂直于積聚投影所在的投影面。

ˉ特別注意側(cè)垂面的判斷，只給出H、V投影不能簡(jiǎn)單判斷為一般位置

平面，通過(guò)補(bǔ)繪第三面投影來(lái)判斷。

（三）一般位置平面——和三個(gè)投影面既不垂直也不平行的平面

如用平面圖形(例如三角形)表示一般位置平面，其投影特性：

1)三面投影均無(wú)積聚性

2)三面投影反映原平面的類(lèi)似形狀，但都小于實(shí)形。

判別方法：

三投影都為平面圖形，必為一般位置平面。

三、平面上的直線(xiàn)和點(diǎn)

1.平面上的直線(xiàn)和點(diǎn)

判別直線(xiàn)或點(diǎn)是否在平面上，給出幾條判定方法

1.過(guò)平面上兩點(diǎn)連一直線(xiàn)，則線(xiàn)在面上。

2.過(guò)平面上一點(diǎn)作面上另一直線(xiàn)的平行線(xiàn)，則所作直線(xiàn)在面上。

3.點(diǎn)在平面的一條直線(xiàn)上，則點(diǎn)必在平面上。

2.平面上的特殊直線(xiàn)

有兩種：投影面的平行線(xiàn)和最大斜度線(xiàn)。這里只介紹投影面的平行

線(xiàn)。

最常用的兩條平面上的投影面平行線(xiàn)——平面上的水平線(xiàn)、平面上

的正平線(xiàn)