最小公倍數的定義

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怎樣求分數的最大公約數與最小公倍數

題1、求1

11

24

、1

2

3

、

5

6

、2

1

7

這四個分數的最大公約數。

解：自然數的最大公約數的定義可以擴展到分數。一組分數的最大公約數一定是分數，而這組分數分

別除以它們的最大公約數應得整數。求一組分數的最大公約數的方法是：

①.先將各個分數化為假分數；

②.求出各個分數的分母的最小公倍數a；

③.求出各個分數的分子的最大公約數b；

④.

a

b

即為所求。

這四個分數化成假分數后是：（

35

24

，

5

3

，

5

6

，

15

7

）

分母的最小公倍數是：[24，3，6，7]＝168；分子的最大公約數是：（35，5，5，15）＝5

所以，這四個分數的最大公約數是：

5

168

題2、有甲、乙、丙三種溶液，分別重4

1

6

千克、3

3

4

千克和2

2

9

千克。現要分別裝入小瓶中，每個小

瓶裝入液體的重量相同，并且無剩余。間：最少要裝多少瓶？每瓶裝多少千克？

解：每瓶裝的重量應為三種溶液重量的最大公約數。

（

25

6

，

15

4

，

20

9

）＝

5

36

（千克），即每瓶應裝

5

36

千克。

最少應裝的瓶數：

25

6

÷

5

36

＋

15

4

÷

5

36

＋

20

9

÷

5

36

＝30＋27＋16＝73（瓶）

題3、求

65

168

，

55

189

，

286

525

這三個分數的最小公倍數。

解：自然數的最小公倍數的定義可以擴展到分數。一組分數的最小公倍數可能是分數也可能是整數，

但它一定是這組分數中各分數的整數倍。求一組分數的最小公倍數的方法是：

①.先將各個分數化為假分數；

②.求出各個分數分子的最小公倍數a，

⑧.求出各個分數分母的最大公約數b;

④.￥即為所求。

這三個分數的分子的最小公倍數為：[65,55,286]＝1430，

分母的最大公約數為：（168,189,525）＝21

這三個分數的最小公倍數為：

1430

21

.

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題4、甲、乙、丙三個滑冰運動員在一起練習滑冰。己知甲滑一圈時，乙、丙分別可以滑1

1

4

圈和1

1

6

圈。若甲、乙、丙三人同時從一點出發，甲滑多少圈后三人相遇？那時，乙、丙各滑了幾圈？

解：題意要求甲滑多少圈后三人相遇，即要求時間的最小公倍數。

假設甲滑一圈花了1小時，則乙滑1圈要：1÷1

1

4

＝

4

5

（小時）；丙滑1圈要1÷1

1

6

＝

6

7

（小時）.

[1，

4

5

，

6

7

]＝12（圈），即甲滑12圈后三人相遇。

那時，丙滑的圈數：12×1

1

4

＝15（圈）；丙滑的圈數：12×1

1

6

＝14（圈）.

題5、蘋果每個重

3

28

千克，梨每個重

5

24

千克。如果蘋果和梨的重量相等，最少有多少個蘋果，多少

個梨？

解：即要求

3

28

和

5

24

的最小公倍數。[

3

28

，

5

24

]＝

15

4

.

最少有蘋果：

15

4

÷

3

28

＝35（個）；最少有蘋果：

15

4

÷

5

24

＝18（個）

題6、在一個圓形花壇周圍間種花卉。每隔24米栽米蘭一株，每隔14.4米栽牡丹一株，每隔13

1

3

米

栽茶花一株，每隔2

2

3

米栽菊花一株。恰好在花壇的周圍，四種花栽在一處的只有一次。花壇的周長多少

米？

解：求中四個數據的最小公倍數：[

24

1

，

72

5

，

40

3

，

8

3

]＝

360

1

所以，花壇的周長是360米。

題7、自行車賽場是一個圓環形的，一圈的長度為500米。甲、乙、丙三人同時從起點出發，速度分

別為9米／秒、15米／秒和12米／秒。問：他們至少各繞了多少圈后才能再次在起點相遇。

解：甲繞一圈需500÷9＝

500

9

（秒）；乙繞一圈需500÷15＝

100

3

（秒）；

丙繞一圈需500÷12＝

125

3

（秒）

[

500

9

，

100

3

，

125

3

]＝

500

3

（秒）

再次在起點相遇，甲至少要繞：9×

500

3

÷500＝3（圈）；乙至少要繞：15×

500

3

÷500＝5（圈）；

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丙至少要繞：12×

500

3

÷500＝4（圈）.

題8、三條圓形跑道，圓心都在操場中心的旗桿處，甲、乙、丙三人分別在里圈、中圈和外圈沿相同

方向跑步。已知里圈、中圈和外圈的跑道分別長200米、240米和400米，甲、乙、丙每分鐘分別跑160

米、200米和300米。開始時，三個人與旗桿位于同一直線上。問；經過多長時間他們三人才能同時回到

出發點？

解：甲跑一圈需要的時間是：200÷160＝

5

4

（分）；乙跑一圈需要的時間是：240÷200＝

6

5

（分）；

丙跑一圈需要的時間是：400÷300＝

4

3

（分）

三人各跑一圈的時間的最小公倍數是：[

5

4

，

6

5

，

4

3

]＝

60

1

（分）

所以，經過60分鐘他們三人才同時回到出發點。

題9、用

5

28

，

15

56

和1

1

20

分別去除某個分數所得的商均是整數，這個分數最小是多少？

解：題意是用這三個分數分別去除某個分數所得的商均是整數，即求一個最小分數被這三個分數分別

除，均得整數，可知，即求這三個分數的最小公倍數。

[

5

28

，

15

56

，

21

20

]＝

105

4

＝26

1

4

所以，這個分數最小是26

1

4

.

題10、金星繞太陽一周所需的時間是地球繞太陽一周所需時間的

45

73

。問：地球、金星、太陽兩次位

于同一直線上間隔多少年？

解：金星繞太陽一周所需的時間是地球繞太陽一周所需時間的

45

73

，是以地球繞太陽一周所需時間為

單位“1”，所以，地球、金星、太陽兩次位于同一直線上間隔的年數為

[

45

73

，1]＝

45

1

，即45年。

題11、如右圖所示的四條圓形跑道，每條跑道的長都是

1

3

千米。A、B、C、D四人

同時從交點0出發，分別沿四個跑道跑步，他們的速度分別為每小時6千米、9千米、

12千米和15千米。問；從出發到四人再次相遇需要多長時間？

解：A跑一圈所需的時間是：

1

3

÷6＝

1

18

（小時）

B跑一圈所需的時間是：

1

3

÷9＝

1

27

（小時）

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C跑一圈所需的時間是：

1

3

÷12＝

1

36

（小時）

D跑一圈所需的時間是：

1

3

÷15＝

1

45

（小時）

四人跑一圈時間的最小公倍數是：[

1

18

，

1

27

，

1

36

，

1

45

]＝

1

9

（小時）

所以，從出發到四人再次相遇需要

1

9

小時。

題12、有一根長木棍上有三種刻度，第一種刻度線將本棍分成十等份，第二種刻度線將木棍分成十二

等份，第三種刻度線將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么，木棍總共被鋸成多少段？

解：第一種刻度線將本棍分成十等份，每份長

1

10

，第二種刻度線將木棍分成十二等份，每份長

1

12

，

第三種刻度線將木棍分成十五等份，每份長

1

15

。

[

1

10

，

1

12

]＝

1

2

，即在木棍的每隔

1

2

的地方重疊一次；1÷

1

2

－1＝1（次）；

[

1

10

，

1

15

]＝

1

5

，即在木棍的每隔

1

5

的地方重疊一次，1÷

1

5

－1＝4（次）；

[

1

12

，

1

15

]＝

1

5

，即在木棍的每隔

1

3

的地方重疊一次，1÷

1

3

－1＝2（次）；

這跟木棍共有刻痕10－1＋12－1＋15－1＝34（道）

減去重疊的后，根據植樹問題的電魚段數的關系，因此共被鋸成：34―1―4－2＋1＝28（段）

20、

1

50

、

15

56

、

11

20

、1分別去除某分數，所得的商都是整數，這個分數最小是。

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