直角三角形計算器

三?函數的有關計算

Ⅰ．前景材料

雷達如何測定?標的?度（?）

雷達（radar）是利?極短的?線電波進?探測的裝置，?線電波傳播時遇到障礙物就會反射回來，雷達就是根據這個原理把

?線電波發射出去，再?接受裝置接受反射回來的?線電波，這樣就可以測定?標的?向、距離、??等，雷達在使?上不受

?候條件的影響，?泛應?于軍事、天?、航海、航空等領域。

你知道雷達是如何測定?標的?度嗎？

假設?地是?個平?，?標的?低?θ可以測出，根據?線電波的傳播速度及其來回所?的時間，可以計算出雷達與?標之間

的傾斜距離d（如圖1-3-1）．這時，?標的?度為h=dsinθ．

當然，?地并不是平?，?是曲?，因此計算?標?度h的近似公式是h=dsinθ+Rd22

．其中，R表?地球的半徑（約等于6370千?）．

Ⅱ．課前準備

?、課標要求

經歷?計算器由已知銳?求它的三?函數值及由三?函數值求相應的銳?的過程，進?步體會三?函數的意義，能夠運?計算

器進?三?函數值的運算，能夠運?計算器輔助解決含三?函數值計算的實際問題。

?、預習提?

對于?般?的三?函數值可以通過計算器來求；反過來已知銳?的三?函數值，我們也可以通過計算器求出?的??．

三、預習效果反饋

1．?計算器計算cos48°，cos50°，并?較??．

2．將sin69°，sin53°，sin41°，sin44°的值按由?到?的順序排列是．

3．已知下列各值，求銳?A．

（1）tanA=1.4036；（2）tanA=0.8637．

Ⅲ．課堂跟講

?、背記知識隨堂筆記

1．通過本節學習，我們要善于歸納學習中的規律和結論：

銳?A的正弦值在0～1之間，即＜sinA＜．

銳?A的余弦值在0～1之間，即＜cosA＜．

銳?A的正切值取值范圍是tanA．

2．規律的探索

當?度在0°～90°之間變化時，正弦值隨?度的增??，余弦值隨?度的增??，正切值隨?度的增??．

3．常?名詞

當從低處觀測?處?標時，視線與?平線所成的銳?稱為．

當從?處觀測低處?標時，視線與?平線所成的銳?稱為．

?、教材中“？”解答

1．問題（P14）解答：計算纜車垂直上升的?度BC，要在Rt△ABC中利?sinα計算．∵sinα=AB

BC，∴BC=ABsin16°=55.12（?）．要?科學計算器求出三?函數值，不同的計算器的按鍵?式可能不同，同學們可利?

??的計算器探索計算三?函數的具體步驟．

2．想?想（P15）解答：還能計算上升的?度和?平移動的距離等．

上升的?度為BD·sinβ=200×sin42°≈133.8261（?）．

?平移動的距離為BD·cosβ=200錯誤！鏈接?效。≈148.6290（?）．

3．問題（P19）解答：利?計算器算得，若sinA=4

1，則∠A=14°28′39″．三、重點難點易錯點講解

本節重點是?計算器進?三?函數值的計算．

本節難點是解決簡單的直?三?形問題．?般分為兩種類型：?是已知直?三?形的?銳?和?條邊，求另?直?邊或第三

邊；?是已知直?三?形的兩邊，求某?銳?的度數．它們都是利?三?形中的邊?關系，求三?函數問題．

四、經典例題精講

（?）應?舉例

【例1】若∠A是銳?，cosA=0.618，則sin（90°－∠A）的值為．

思維?門指導：由余弦值求得正弦值?法較多，但要求90°－∠A的正弦，因此應利?互余?正、余弦間的關系．

解：∵sin（90°－∠A）=cosA，且cosA=0.618，∴sin（90°－∠A）=0.618．

點撥：掌握好互余?的正、余弦間的關系．

【例2】如圖1-3-2，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，sinB=

13

5，求四邊形各內?的度數．

思維?門指導：由sinB=

135≈0.3846，?計算器求得∠B=22°37′8″，再利?菱形的性質求其他?的度數．

解：∵sinB=13

5，?計算器解得∠B=22°37′8″．

?∵菱形對?相等，鄰?互補，

∴∠D=∠B=22°37′8″，∠A=∠C=180°－22°37′8″=157°22′52″．

點撥：由sinB=13

5，?計算器求得∠B度數是解決本題的關鍵．（?）中考題

【例3】（2003，?東）如圖1-3-3，燈塔A周圍1000??域內有礁?，?艦艇由西向東航?，在O處測得燈塔A在北偏東

74°?向上，這時O、A相距4200?．如果不改變航向，此艦艇是否有觸礁的危險？

解：設該航艇航?路線為OP，過A作AD⊥OP，垂?為D．

則AD=OA·sin∠AOD

=4200×sin（90°－74°）

=4200×cos74°

≈1158（?）＞1000?．

故此航艇沒有觸礁的危險．

點撥：燈塔到航線的距離?于礁?區域半徑，就不會有危險．

（三）學科內綜合題

【例4】已知2＋3是?程x2－5sinθ·x＋1=0的?個根,θ為銳?，求θ的度數．解：設?程的另?根為x1，由根與系數的關

系，得（2＋3）x1=1，∴x1=2－3．∴（2＋3）＋（2－3）=5sinθ．∴sinθ=5

4=0.8，利?計算器求得θ≈53°8′.點撥：本題sinθ也可以根據?程的定義來解，這是?程與三?函數的綜合題，把（2＋3）

代??程，解關于sinθ的?程即可．

【例5】已知等腰三?形的底邊為20，?積為3

100，求各?的??．

解：如圖1-3-4，作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∴BD=DC．

?∵BD=DC，BC=20，∴BD=10．

∴∠BAC=180°－2×18°26′=143°8′．

點撥：三?函數是在直?三?形中定義的，故只有在直?三?形中才能應?，所以在解直?三?形或在不含直?三?形的其他

圖形中（如斜三?形、梯形等），必須通過作?線構造出直?三?形，這是解決三?形問題的常?辦法．

（四）學科間綜合題

【例6】質量為20千克的物體M在如圖1-3-5所?的斜?上下滑，已知AB=10?，∠A=47°，求物體M由B滑向A時重?所做

的功．

思維?門指導：這是?道物理知識與數學知識的綜合題，應正確理解物理學上功的概念及公式．本題考查斜?做功和正弦．

解：物體下滑的垂直?度為：

BC=AB·sin47°=10×0.7314≈7．314（?）．

∴重?所做的功為W=F·s=20×9.8×7.314≈1433.54（焦）．

點撥：重?所做的功為重?與物體在重??向上移動的距離的乘積，重?在重??向上移動的距離是BC?不是AB．

（五）創新題

【例7】??相同的甲、?、丙三位同學星期天到野外去?賽放風箏，看誰放得?（第?名得100分，第?名得80分，第三名

得60分）．甲、?、丙放出的線長分別為300m、250m、200m，線與地平?的夾?分別為30°、45°、60°（假設風箏線是

拉直的，?的?度不計在內），請你給三位同學打?下分數．

思維?門指導：本題應利?三?函數求出每?放的風箏?度即可．

解：根據題意畫出?意圖1-3-6．設甲、?、丙所放的風箏的?度為xm、ym、zm．由正弦定義，得sin30°=300x

，sin45°=250y，sin60°=200

z．∴x=300sin30°=300×21=150（m），y=250×sin45°=1252≈176.8（m），z=200×sin60°=200×2

3=1003≈173.2（m），∴甲同學得60分，?同學得100分，丙同學得80分．

點撥：本題關鍵是畫出?意圖幫助解題，本題命題形式和背景較新穎，形式活潑，與中學?假期娛樂?活緊密相連．

（六）應?題

【例8】如圖1-3-7，沿AC?向開?修渠，為了加快施?速度，要在??的另?邊同時施?，從AC上的點B取

∠ABD=135°，BD=1200?，∠BDE=45°，那么開挖點E離D多遠（精確到0．1?）正好能使A、C、E成?條直線？

思維?門指導：這是?道測量?平距離的應?題，根據已知可知∠DBE=∠BDE=45°，顯然只要∠DEB=90°，A、C、E就成

?條直線．

解：連接DB．∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°．

∵∠BDE=45°，且要A、C、E成?條直線，∴∠DEB=90°．在Rt△DEB中，

答：開挖點E離D應為848.4?．

點撥：本題體現了數學知識在現實?產中的應?，這是近?年各地市中考命題的熱點內容之?．

【例9】如圖1-3-8所?，在?2?，坡?為32°的樓梯表?鋪地毯，地毯的長度?少需要多少?？（精確到0.1?）

思維?門指導：本題考查正、余弦的概念，既要鋪?平??要鋪豎直?，因此地毯的總長度為（AC+BC）的長．

解：由題意，得地毯的長度為（AC+BC）的長．

在Rt△ABC中，∠A=32°，BC=2?．

∴AC+BC=3.20+2≈5.2（?）．

答：地毯的長度?少需要5.2?．

點撥：本題與實際?活聯系密切，解題時應認真分析題?內容，準確理解題意，從整體上提煉出需要的地毯長為AC與BC的長

度和．

Ⅳ．當堂練習（5分鐘）

1．?計算器求下列各式的值：

（1）sin44′56″+cos5′36″；

（2）cos78°33′52″+tan50′36″；

（3）sin48°30′28″+cos53°26′34″+tan32″．

2．根據條件求?：

（1）sinα=0.964；（2）cosα=0.291；（3）tanα=8.665．

3．某段公路每前進100?，路?就升?4?，求這段公路的坡?．

【同步達綱練習】

Ⅴ．課后鞏固練習

（90分90分鐘）

?、基礎題（每題3分，共24分）

1．天河賓館在重新裝修后，準備在?廳的主樓梯上鋪設某種紅?地毯．已知這種地毯每平??售價30元，主樓梯道寬2m，

其側?如圖1-3-9所?，則購買地毯?少需要（）

A．405元

B．504元

C．84元

D．168元

2．如圖1-3-10，在?為h的?頂上，測得?建筑物頂端與底部的俯?分別為30°和60°，?h表?這個建筑物的?為（）

A．32h

B．23h

C．33h

D．3h

3．sin70°，cos70°，tan70°的??關系是（）

A．tan70°＜cos70°＜sin70°

B．cos70°＜tan70°＜sin70°

C．sin70°＜cos70°＜tan70°

D．cos70°＜sin70°＜tan70°

4．如圖1-3-11，某建筑物BC直?于?平?，AC=9m，要建造階梯AB，使每階?不超過20cm，則此階梯最少要建階．

（最后?階不?20cm時，按?階計算）

5．已知△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，且c=3b，則∠A=．

6．α為銳?，sin248°+sin2α=1，則α=．

7．已知sin42°54′=0.6807，若cosα=0.6807，則α=．

8．“曙光中學”有?塊三?形形狀的花圃ABC，現可直接測量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，請你求出這塊花圃的?積．

?、學科內綜合題（7分）

9．已知?元?次?程3x2－4xsinα＋2（1－cosα）=0有兩個不相等的實數根，α為銳?，求α的范圍．

三、學科間綜合題（每題10分，共20分）

10．如圖1-3-12，某輪船沿正北?向航?，在A點處測得燈塔B在北偏西30°，船以每?時25海?的速度航?2?時后到達C

點，測得燈塔B在北偏西75°，問當時船到達燈塔B的正東?向時，船距燈塔有多遠？（結果保留兩個有效數字）

11．如圖1-3-13，某?在A處利?杠桿抬起位于B點處的重物M．已知M=10千克，杠桿與地?的夾?為10°，在A處的?和B點

處的重點與?點的距離都為3?，求這?將重物M抬??平位置時所做的功．

四、應?題（每題5分，共15分）

12．我?民解放軍在東海海域進?“保衛祖國”軍事演習，當我機與我艦保持垂直的10km?度時，發現“敵艦”C在我機俯?15°

的海?上浮出（如圖1-3-14所?），請計算“敵艦”與我機的距離．（精確到1km）

13．劉巖同學到烈?陵園去測英雄紀念碑的?度，他在距碑42m的地?，?測?儀測得碑頂的仰?為30°．已知測?儀的?度

是1.5m，求紀念碑的?度．

14．某校的教室A位于?地O的正西?向，且OA=200m，?部拖拉機從O點出發，以每秒5m的速度沿北偏西53°?向?駛．設

拖拉機的噪聲污染半徑為130m，試問教室A是否在拖拉機噪聲污染范圍內？若不在，請說明理由；若在，求出教室A受污染

的時間有?秒？

五、創新題（8分）

?題多解

15．如圖1-3-15，□ABCD的對?線AC的垂直平分線與AD、BC交于E、F兩點．求證：四邊形AFCE為菱形．

六、中考題（16分）

16．（2003，?肅，8分）如圖1-3-16所?，住宅區內的兩幢樓，它們的?AB=CD=30m，兩樓間的距離AC=24m，現需了解

甲樓對?樓的采光的影響情況．當太陽光與?平線的夾?

為30°時，求甲樓的影?在?樓上有多?？（精確到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）

17．（2004，天津，8分）在建筑樓梯時，設計者要考慮樓梯的安全程度．如圖1-3-17，虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板

的夾?為傾?θ，?般情況下，傾?θ愈?，樓梯的安全程度愈?．

如圖1-3-18，設計者為提?樓梯的安全程度，要把樓梯的傾?由θ1減?θ2，這樣樓梯占?地板的長度由d1增加到d2．已知

d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求樓梯占?地板的長度增加了多少？（精確到0．01m）

參考數據：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265，sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391．

加試題：競賽趣味題（6分）

求證：在銳?三?形ABC中，b2=a2＋c2－2ac·cosB．

Ⅵ．探究題

為申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況，在?直街拓寬?程中，要伐掉?棵樹AB，在地?上事先劃定以B為圓

?、半徑與AB等長的圓形危險區．現在某??站在離B點3m遠的D處測得樹的頂端A點的仰?為60°，樹的底部B的俯?為

30°（如圖1-3-19），

問距離B點8m的保護物是否在危險區內？（3的近似值取1．73）

參考答案

三?函數的有關計算

Ⅱ．三、1．cos48°=0.6691，cos50°=0.6428，cos48°＞cos50°．

2．∵sin69°=0.9336，sin53°=0.7986，sin41°=0.6561，sin44°=0.6947，

∴sin41°＜sin44°＜sin53°＜sin69°．

點撥：?計算器計算時，?定注意先進?“?度”狀態．

3．（1）tanA=1.4036，∠A=54.53°≈54°31′55″；

（2）tanA=0.8607，∠A=40.82°≈40°43′2″．

Ⅲ．1．0＜sinA＜1；0＜cosA＜1；tanA＞02．增?；減?；增?3．仰?；俯?Ⅳ．1．解：（1）sin44°56″＋

cos5′36″≈1．0131；

（2）cos78°33′52″＋tan50′36″≈0.2130；

（3）sin48°30′28″＋cos53°26′34″＋tan32″≈1．3448．

2．解：（1）α=74°34′46″；（2）α=73°4′56″；（3）α=83°25′1″．

點撥：?計算器計算三?函數注意：①?先進?“?度”狀態；②已知三?函數值，求

?度時先啟?第?功能鍵；③不?1°的?輸?時，先輸然后輸?分、秒等．

3．解：設坡?為α．根據題意，得sinα=100

4=0.04，解得α=2°17′33″．Ⅴ．?、1．B點撥：地毯總長為2．6＋5.8=8.4（m），總?積為8.4×2=16.8（m2），所以?少

需要16.8×30=504（元）．

2．A點撥：先算得?與建筑物的距離h·cot60°，再解得??建筑物?h·cot60°·tan30°=31h，故這個建筑物的?為3

2h．3．D解：∵cos70°=sin20°，∴sin70°＞sin20°．∵tan70°＞sin70°，∴tan70°＞sin70°＞cos70°．

點撥：①同?的正切值必?于正弦值；②利?正弦增減性．本題也可以?計算器驗證．

4．36解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，AC=9m．

∵tanA=AC

BC，∴BC=AC·tanA=9×0.7812≈7.032（m）．∵每?階?不超過20cm=0.2m，∴此階梯最少要建的階數為2

.0032.7=35.16≈36．點撥：所建階梯的總?度不變（即為BC長）．5．70°31′51″點撥：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對

邊為a，b，c，∴cosA=

cb．∵c=3b，∴cosA=3

1，?計算器解得∠A=70°31′51″．6．42°點撥：sin2α＋sin248=1，cos2（90°－α）＋sin248°=1，∴90°－

α=48°．∴α=42°．

7．47°6′點撥：sin42°54′=cosα，∴α＋42°54′=90°．∴α=47°6′．

8．解：分兩種情況：（1）如答圖1-3-1，過點C作CD⊥AB于D．在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=40，∴CD=20，AD=AC

·cos30°=203．

在Rt△CDB中，CD=20，CB=25，∴DB=22CDCB=15．

∴S△ABC=21AB·CD=2

1（AD＋DB）·CD=（2003＋150）（m2）．

（2）如答圖1-3-2，過點C作CD⊥AB交AB的延長線于D．

由（1）可得CD=20，AD=203，DB=15，

∴S△ABC=21AB·CD=2

1（AD＋DB）·CD=（2003＋150）（m2）．點撥：要全?分析考慮，按兩種情況討論．

?、9．解：∵?次?程有兩個不相等的實數根，∴△＞0，即16sin2α－24（1－cosα）＞0．

化簡，得2（1－cos2α）－3（1－cosα）＞0，分解為（1－cosα）（2cosα－1）＞0．?∵0＜cosα＜1，∴1－cosα＞

0．∴2cosα－1＞0．∴cosα＞2

1．∵余弦函數值隨?度的增??減少，∴α＜60°，即0°＜α＜60°．

點撥：不要搞錯余弦函數的增減性，把α的范圍求為60°＜α＜90°．

三、10．解：如答圖1-3-3，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．由題意得∠BCD=75°，∠A=30°，AC=25×2=50．在Rt

△ACE中，∠A=30°，∠CEA=90°，

∴CE=21AC=21×50=25，AE=AC·cosα=50×2

3=253．∵∠BCD=75°，∠A=30°，∴∠EBC=75°－30°=45°．

∴△BEC為等腰直?三?形．∴BE=CE=25．

∴AB=AE＋BE=25＋253．

在Rt△ABD中，∵∠A=30°，∴BD=21AB=2

1×25（3＋1）≈34（海?）．答：略．點撥：（1）理解題意，找準?向?及所求的距離；（2）構造直?三?形求BD．

11．解：過點A作地?作垂線AC，過O作OD⊥AC于D，則∠AOD=10°，OD=3m．在Rt△ADO中，AD=OD

·tan10°≈3×0.18=0.54（m）．

∴?做功為W=Mg·AD=10×9.8×0．54=52.92（焦?）．

答：這?將重物M抬??平位置做功為52.92焦?．

點撥：本題關鍵是求出AD長；在?的?向上移動的距離可看作線段AD．

四、12．解：約38km．點撥：

15sin10≈38（km）．13．解：畫出?意答圖1-3-4．由題意，得BC=DE=42m，CD=BE=1.5m，∠ADE=30°．在Rt

△ADE中，∵cos30°=

ADDE，

∴AB=AE＋BE=（143＋1．5）≈25．75（m）．

答：紀念碑的?度為25.75m．

點撥：也可以?正切AE=tan30°·DE求．

14．解：畫出?意圖1-3-5．由題意，得∠α=53°，OA=200m，作AB⊥OM于B．∵∠α=53°，∴∠BOA=37°，∴AB=OA

·sin37°≈200×0．60=120．∵120＜130，∴A在噪聲污染范圍內．據題意在OM上取兩點C和D，使AC=AD=130m．

答：教室A在拖拉機噪聲污染范圍內，受污染的時間為20秒．

點撥：畫出?意圖，將實際問題轉化為數學問題是解決本題的關鍵．

五、15．證法?：∵AD∥BC，∴∠α=∠β．∴tanα=tanβ．

∵EF垂直平分AC，∴∠AOE=∠FOC=90°，且OA=OC．

證法?：∵AD∥BC，∴∠α=∠β．

∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠FOC=90°．∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．?∵OA=OC，∴四邊形AFCE是平?

四邊形．∵EF⊥AC，∴□AFCE為菱形．

點撥：本題可以?三?形全等來證，也可以?三?函數來證．?三?函數證線段相等是本題的創新之處．

六、16．解：設甲樓的影?在?樓上的最?點為E，作EF⊥AB，垂?為F，如答圖1-3-6．

∵∠BEF=30°，∴在Rt△BFE中，BF=EF·tan30°=AC·tan30°=83≈13.8（m）．∴

CE=AF=AB－BF≈16.2（m）．

答：甲樓的影?在?樓上的?度約為16．2m．

點撥：關鍵是根據實際意義畫出?何圖形．

17．解：在Rt△ABC中，BC=d1，∠ACB=∠θ1，AB=BC·tan∠ACB，∴AB=d1·tanθ1=4tan40°．在Rt△ABD中，BD=

d2，∠ADB=∠θ2，∴AB=d2·tanθ2=d2tan36°．

∴d2－d1≈4．620－4≈0．620≈0.62（m）．

答：樓梯占?地板的長度增加了0.62m．

加試題：證明：如答圖1-3-7，作CD⊥BC于D，設DB=x，則AD=c－x．

在Rt△BCD中，x=a·cosB，CD2=a2－x2．

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=CD2＋AD2，

即b2=a2－x2＋（c－x）2=a2－2cx＋c2．

∵x=acosB，∴b2=a2＋c2－2ac·cosB．

Ⅵ．解：作CE⊥AB，垂?為E，根據題意，得CE=3m，∠BCE=30°，∠ACE=60°．

∴AB=AE＋BE=43≈4×1.73=6．92（m）＜8m．

因此可判斷該保護物不在危險之內．

點撥：（1）構造直?三?形是?直?三?形中最常?、最基本的?法；（2）要參考距B點8m遠的保護物是否在危險區內，

關鍵的?點是要測算出樹AB的?度；（3）解應?題應學會建?數學模型．