三階幻方

三階幻方中的一個規律及其證明

三階幻方就是在一個3行3列的九宮格中，橫行、豎列及對角線的3個數之和都相

等，如圖：

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三階幻方中有一個規律：任何一個角上的數都等于與這個數不在同一橫行、豎列及對角

線上的兩個數之和的一半。例如，上圖中，右上角的“6”等于第2行第1列的“3”與第3行第

2列的“9”的和的一半。

證明過程如下：

假設三階幻方里所有數之和為M，右上角的數為m，與右上角的數不在同一橫行、豎

列及對角線上的兩個數分別為a、b，其余6個數之和為N，于是，

M=N+m+a+b……①

因為三階幻方里每個橫行、豎列及對角線的3個數之和都相等，所以，

M=第1行的三個數之和+第3列的三個數之和+左下到右上的對角線上三個數之和

這樣的話，右上角的數m在算式中出現了三次，而與右上角的數m不在同一橫行、豎

列及對角線上的兩個數a、b一次也沒有出現，其余各數都出現了一次，即

M=N+3×m……②

由①和②可得：N+m+a+b=N+3×m

化簡后，m=（a+b）÷2，結論得證。