如何求極限

極限的常用求法及技巧

引言

極限是描述數列和函數在無限過程中的變化趨勢的重要概念。極限的方法是微積分中的

基本方法，它是人們從有限認識無限，從近似認識精確，從量變認識質變的一種數學方

法，極限理論的出現是微積分史上的里程碑，它使微積分理論更加蓬勃地發展起來。

極限如此重要，但是運算題目多，而且技巧性強，靈活多變。極限被稱為微積分學習的

第一個難關，為此，本文對極限的求法做了一些歸納總結，

我們學過的極限有許多種類型：數列極限、函數極限、積分和的極限（定積分），其中

函數極限又分為自變量趨近于有限值的和自變量趨近于無窮五花肉燉豆腐 的兩大類，如果再詳細分下

去，還有自變量從定點的某一側趨于這一點的所謂單邊極限和雙邊極限，x趨于正無窮，

x趨于負無窮。函數的極限等等。本文只對有關數列的極限以及函數的極限進行了比較

全面和深入的介紹.我們在解決極限及相關問題時，可以根據題目的不同選擇一種或多種

方法綜合求解，尤其是要發現數列極限與函數極限在求解方法上的區別與聯系，以做到

能夠舉一反三，觸類旁通

。

1數列極限的常用求法及技巧

數列極限理論是微積分的基礎,它貫穿于微積分學的始終,是微積分學的重要研究方

法。數列極限是極限理論的重要組成部分,而數列極限的求法可以通過定義法,兩邊夾方

法,單調有界法,施篤茲公式法,等方法進行求解.本章節就著重介紹數列極限的一些求

法。

1.1利用定義求數列極限

利用定義法即利用數列極限的定義設??

n

a為數列。若對任給的正數N，使得n大于

N時有

???aa

n

則稱數列??

n

a收斂于a,定數a稱為數列??

n

a的極限，并記作

,lim

n

a

n

a?

??

或

)(,????na

n

讀作當n趨于無窮大時，??

n

a的極限等于a或

n

a趨于a

例證明

2

3

2

2

n

lim

?

??

n

n

解由于

)3n

9

3n

9

3

2

3

22

2

??

?

??

?

（

n

n

n

因此，對于任給的

?

>0,只要??

n

9

，便有

???

?

3

3

3

2

2

n

n

即當n

?

9

?

時，（2）試成立。又因為（1）式是在

3?n

的條件下也成立，故應取

.

9

,3max

?

?

?

?

?

?

?

?

N

在利用數列的N??定義時，應意識到下幾點

1.

?

的任意性定義中的正數

?

的作用在于衡量數列通項??

n

a與定數a的接近程度，

?

越小，表示接近的愈好；而正數

?

可以任意的小，說明??

n

a與a可以接近到任何程度。

然而，盡管

?

有其任意性，但已經給出，就暫時的被確定下來了，以便依靠它來求出

N.又

1.2利用極限的四則運算

極限的四則運算法則

若{

n

a}與{

n

b}為收斂數列，則{

nn

ab?}，{

nn

ab?}，{

nn

ab?}也都是收斂數列，其有

lim()lim

lim()limlim

nnnn

nn

nnnn

nnn

abab

abab

????

??????

???

??

例求

lim(1)

n

nnn

?died ?

??

解

1

(1)

11

11

n

nnn

nn

n

????

??

??

由

1

11()n

n

????

得

11

lim(1)lim

2

1

11

nn

nnn

n

????

????

??

1.3利用單調有界定理

單調有界定理即在實數系中，有界的單調數列必有極限，單調數列即若數列??

n

a的各

項關系式，

)(

11??

??

nnnn

aaaa

則稱??

n

a為遞增（遞減）數列。

遞增數列和遞減數列統稱為單調數列。有界性即?存在使得對于一切正整數n,有

Ma

n

?這一方法是利用極限理論基本定理：單調有界數列必有極限，其方法為:(1)判定

數列是單調有界的，從而可設其極限為A。（2）建立數列相鄰兩項之間的關系式。（3）

在關系式兩端取極限，得以關于A的方程，若能解出A，問題就可以解決了。

一般利用單調有界原理求極限的題目都給出了第n項和第n+1項的關系式。首先應

用歸納法或“差法”，“比法”等方法證明其單調性，再證明其單調性，有界性（或先證

有界，再證單調）。由單調有界定理得出極限的存在性，然后對關系式兩端求極限，

例求數列,,aaaaaaaaa?????LLL其中（a>0）極限

解:設

0

x穿越之農婦的春天 a?，

10

xaaax????

…

1

(1,)

nn

xaxn

?

???

則{

n

x}是單調有界數列，它必有極限，設其極限為十二星座順序 A在

1nn

xax

?

??兩邊取極限得AaA??即20AAa???

所以

114

2

a

A

??

?，因為A>0所以

114

2

a

A

??

?

即

114

lim

2n

n

a

x

??

??

?

例設x0

>0,a>0,x1n?

=

2

1

(xn

+

xn

a

),n=0,1,2….z證明數列??

xn

的極限存在，并求

之。

證明：

易見xn

>0,n=0,1,2….所以有

x1n?

=

2

1

(xn

+

xn

a

)≥xn

.

xn

a

=a

x1n?

=

2

1

(xn

+

xn

a

)≥

2

1

(xn

+

x

x

n

n

2

)=xn

=)(

1

)(1

121aaa

l

ln

?

?

??

?

由0

n??

0)(-?nl，從而

lim

n??

?anlim

n??

an1?

=

l

l

l

aaaa

a

?

?

?

?

?

?

11

2112

1

a

a

n

n

n

1lim?

??

=

1

1

lim

lim

lim

n

?

?

??

??

??a

a

n

n

n

n

1.4利用迫斂法則

利用迫斂法則求極限主要利用放縮法將其同時放大或縮小成倆個已知數列。（已知數列

的極限相同）即設數列??

n

a,??

n

b都以a為極限，且存在

0

N,使得當n>

0

N時

bcannn

??

則數列??

n

c收斂，且ac

n

n

?

??

lim。

由迫斂法則可得所求極限與已知數列極限相等

例求lim

n??

)n26.4.2

1-n25.3.1

（

）（

?

?

解：記xn

=

)n26.4.2

1-n25.3.1

（

）（

?

?

，y

n

=

)1n27.5.3

2(6.4.2

?（

）

?

?n

顯然xn

n

,n=1.2…,所以即數列

??

xn

單調遞減有下界，極限存在。記lim

n??

xn

=?,對關系式x1n?

=

2

1

(xn

+

xn

a

)

令n→∞取得極限得到A=a.(其中A=-a<0，因不合舍去)例設ai

﹥0（i=1，2，

3…m）,記M=max(a1

,a2

,…am

)。證明

lim

n??

an

1

+an

2

+…a

m

n

=Mn

證明：因Mn

1

+an

2

+…a

m

n

即lim

n??

an

1

+an

2

+…a

m

n

=Mn

1.5利用遞推關系

有些題目中數列的單調性不易證得時就不能應用單調有界定理，此時可嘗試采用遞推關

系應用壓縮原理去解決.這些題目一般都給我們一個遞推式)(

1

n

n

afa?

?

，但單調性不易

或根本無單調性，

例設a1

，a2

為任意取定的實數，且a

1

2+a

2

2≠0，定義aaannn

lk

11??

??①

其中，k,l為正數，且,1??lkn=1,2….試求

a

a

n

n

n

1lim?

??

證明由

,1??lk

即0

l

<1.由①式得

laaaannn

l2

1n1

)(-????

??

（)()

12

1

21aalaan

nn

????

??

?

aaaaaaaannnnn112111

)()()(???????

???

?

=aaalllnn

112

21))](1)()[(????????????所以有

0

n

2

n

=

1n2

1

?

即0

<

1n2

1

?

→0，(n→∞)故lim

n??

xn

=0

1.6利用上下極限

一個有界數列未必存在極限，但它一定有上下極限，且有界數列極限存在的充要條件是

其上下極限相等。對于一個有界數列??

n

a取掉它的最初K項以后，剩下來的仍舊是一

個數列，記這個數列的上確界為

k

?，下確界為

k

?亦即

k

?=?????

32,1

kn

,supsup

???

?

?

kkkn

aaaa

k

?=?????

32,1

,infinf

???

?

?

kkkn

kn

aaaa

可見

k

?<

k

?,?3,2,1?k令于是可以得到一列??

k

?和一列??

k

?,顯然??

k

?是單調遞減

的，??

k

?是單調遞增的，所以這兩個數列的極限都存在，我們稱??

k

?的極限為數列??

n

a

的上極限，??

k

?為數列??

n

a的下極限。我們可根據上下極限處理一些極限問題

例設lim

n??

xn

=A.求證

lim

n??

?

?

??

n

n

nxxxn13

2

2

1

21

?

A

證明由lim

n??

xn

=A,知對任給0??，存在N,使得當n>N時，有

A-

?

?

于是y

n

=

n

n

nxxxn13

2

2

1

21?

???

=

)

12

1

(

1

)

1N

N

3

2

2

1

(

1

121xxxxxnNNn

n

N

N

nn?

?

?

?

?

?

???

?

??

?))(n(

1

)

1N

N

3

2

2

1

(

1

21

????

?

???AN

nn

xxxN

?

兩邊取上極限得

???

??

A

n

y

n

lim

同理可證???

??

Ay

n

n

lim

_____

于是???

??

Ay

n

n

lim

_____

于是

???Ay

n

n

lim

_____

??

?lim

n??

y

n

?

???

??

A

n

y

n

lim

由

?

的任意性得lim

n??

Ay?

n

亦即lim

n??

?

?

??

n

n

nxxxn13

2

2

1

21

?

A

1.7利用笑死人的高考零分作文 stolz定理

Stolz定理

若所求極限為

x

y

n

n型，且??

y

n

是單調增加的無窮大量.。且

lim

n??yy

xx

nn

nn

1

1

?

?

?

?

=a則lim

n??x

y

n

n=a

或{}

n

x，{}

n

y都是無窮小量，且{}

n

y是嚴格單調減少數列，且

1

n

1

limnn

nn

xx

a

yy

?

??

?

?

?

?

(

a

為有限量，

??

與??)，則

n

limn

n

x

a

y??

?

證明{}

n

y是嚴格單調增加的正無窮大量，且1

n

1

limnn

nn

xx

a

yy

?

??

?

?

?

?

(

a

為有限量，

??

與??)

則

n

limn

n

x

a

y??

?

證：

(1)考慮

a

=0的情況

由1

n

1

lim0nn

nn

xx

yy

?

??

?

?

?

?

，有1

1

,,(),nn

nn

xx

NnnN

yy

???

?

?

?????

?

即

11nnnn

xxyy?

??

???

則

1121nnnnnNNN

xxxxxxxx

????

????????L

1121nnnnNNN

xxxxxxx

????

????????L

1121nnnnNNN

yyyyyyx?

????

??????????

??

L

n

y是嚴格單調增加的，因此

1121

N

nnnnnNN

nnn

x

xyyyyyy

yyy

?????

??????

??

L

N

nnN

nnn

x

xyy

yyy

?

?

??

N

n

nn

x

x

yy

???

n

y是正無窮大量

22

,(),N

n

x

NnnN

y

?????

取'

2

Nmax(,)1NN??，'()nnN??有

2n

n

x

y

??

所以

n

lim0n

n

x

y??

?

(2)當a是非零有限數時，令'

nnn

xxay??，于是由

''

11

nn

11

limlim0nnnn

nnnn

xxxx

a

yyyy

??

????

??

??

???

??

得到

'

n

lim0n

n

x

y??

?

，從而

'

nn

limlimnn

nn

xx

aa

yy????

???

(3)a???的情況

首先'

11

,(),

nnnn

NnnNxxyy

??

??????

說明{

n

x}也嚴格單調增加，且從

nNnN

xxyy???可知{

n

x}是正無窮大量

將前面的結論應用到n

n

y

x

??

??

??

，得到

1

1

limlim0nnn

nn

nnn

yyy

xxx

?

????

?

?

??

?

因而

n

limn

n

x

y??

???

(4)對于

a???

的情況，證明方法類同

2．{}

n

x，{}

n

y都是無窮小量，且{}

n

y是嚴格單調減少數列，且1

n

1

limnn

nn

xx

a

yy

?

??

?

?

?

?

(

a

為有

限量，

??

與??)，則

n

limn

n

x

a

y??

?

證：

a

為有限量

因11

nn

11

limlimnnnn

nnnn

xxxx

a

yyyy

??

????

??

??

??

??

，所以

1

1

,,(),

22

nn

nn

xx

NnnNaa

yy

??

??

?

?

????????

?

，其中

1

0

nn

yy

?

??

111

()()()()

22nnnnnn

ayyxxayy

??

???

???????

采用類似定理1的證明，可以得到

()()()()

22nnpnnpnnp

ayyxxayy

??

???

???????

令p???，且0

np

x

?

?，0

np

y

?

?

利用Stolz定理時，應注意驗證題目所給數列是否滿足定理的內容

例求極限lim

n??n

n

k

k

k

1

k21

?

???

解經檢驗分母1n?k??，時，??n且單調遞增，所以滿足條件。令

xn

=1k+2k+…nk，y

n

=nk1?

lim

n??

?

?

?

?

?yy

xx

nn

nn

1

1lim

n??）1(k?n

nk

=

????nCn

n

n

n

k

k

2)1k（

=

1

1

?k

可得原極限=

1

1

?k

例已知數列??

n

x滿足條件0)(

2lim??

?

??

nn

n

xx

證明01袁隆平爺爺的故事 lim?

?

?

??

n

xx

nn

n

顯然由Stolz定理可得

lim

n??

n

xxn

2

12n2?

?

=lim

n??

(

)12(2

123-22-22

??

???

?

nn

xxxxnnnn)

=

2

1lim

n??

(xn2

—xn12?

+x3-n2

—x2-n2

)

=0

又∵lim

n??）12(12

21n2

???

?

?

nn

xxn=lim

n??)12(12

221221n2

???

???

???

nn

xxxxnnn

=

2

1lim

n??

(x1n2?

—x2-n2

+xn12?

—xn2

)

=0

∴lim

n??

n

xxnn

)(

1?

?

=0

1.8利用特殊極限

利用特殊極限法即將題目變成一些特殊的極限形如lim

n??

)

n

1

1?（

n

=e。

現證明：

1

lim(1)n

nn??

?存在。

證明：先建立一個不等式，設b>a>0，于是對任一自然數n有

11

(1)

nn

n

ba

nb

ba

???

??

?

或11(1)()nnnbanbba??????，整理后得不等式1[(1)]nnabnanb????。

（1）

令a=1+

1

1n?

，b=1+

1

n

，將它們代入（1）。由于

11

(1)(1)(1)(1)1

1

nanbnn

nn

????????

?

，

故有1

11

(1)(1)

1

nn

nn

????

?

，這就是說

1

{(1)}n

n

?

為遞增數列。

再令a=1，b=1+

1

2n

代入（1）。由于

11

(1)(1)(1)

22

nanbnn

n

???????

，故有

11

1(1)

22

n

n

??

，

1

2(1)

2

n

n

??

。不等式兩端平方后有2

1

4(1)

2

n

n

??

，它對一切自然數n成立。聯系數列的單

調性，由此又推得數列

1

{(1)}n

n

?

是有界的。于是由單調有界定理知道極限

1

lim(1)n

nn??

?

是存

在的。

我們通常用拉丁字母代該數列的極限即

1

lim(1)n

nn??

?=e

利用該種方法應該記憶一些常用數列的極限。

例求

n

2

lim(1)n

n??

?

解

2

2

2

n

22

lim(1)lim1

n

n

n

e

nn????

??

??

??

????

??

??

??

??

例求極限lim

n??

n)

3n2

1-n2

(

?

解lim

n??

n)

3n2

1-n2

(

?

=lim

n??

32

4

*

4

32

)

32

4

1(?

??

?

?n

nn

n

=e2-

1.9利用定積分

利用定積分求極限的方法即利用定積分的定義計算項數無限增多的無窮小量之和，有時

可設法把問題化為某一函數在某一區間上的積分和的極限問題，從而利用定積分求解。

有時問題呈現乘積的形式，也可試用本方法，只式要先取對數將問題轉化為和的形式。

定積分的定義設函數f(x)在[a?b]上有界?在[a?b]中任意插入若干個分點

a?x

0

?x

1

?x

2

?????x

n

?

1

?x

n

?b?

把區間[a?b]分成n個小區間

[x

0

?x

1

]?[x

1

?x

2

]?????[x

n

?

1

?x

n

]?

各小段區間的長依次為

x

1

?x

1

?x

0

?x

2

?x

2

?x

1

?????x

n

?x

n

?x

n

?

1

?

在每個小區間[x

i

?

1

?x

i

]上任取一個點

i

(x

i

?

1

?

i

x

?xi

)?作函數值f(

i

x)與小區

間長度x

i

的乘積

f(

i

x)x

i

(i?1?2?????n)?并作出和

?

?

??

n

i

ii

xfS

1

)(??

記??max{x

1

?x

2

?????x

n

}?如果不論對[a?b]怎樣分法?也不論在小區間[x

i

?

1

?x

i

]

上點

i

怎樣取法?只要當??0時?和S總趨于確定的極限I?這時我們稱這個極限I

為函數f(x)在區間[a?b]上的定積分?記作?b

a

dxxf)(?

即?

?

?

?

??

n

i

ii

b

a

xfdxxf

1

0

)(lim)(?

?

?

其中f(x)叫做被積函數?f(x)dx叫做被積表達式?x叫做積分變量?a叫做積分下限?b

叫做積分上限?[a?b]叫做積分區間?

定義設函數f(x)在[a?b]上有界?用分點a?x

0

?x

1

?x

2

?????x

n

?

1

?x

n

?b把[a?b]分成n

個小區間?[x

0

?x

1

]?[x

1

?x

2

]?????[x

n

?

1

?x

n

]?記x

i

?x

i

?x

i

?

1

(i?1?2?????n)?

任

i

?[x

i

?

1

?x

i

](i?1?2?????n)?作和

?

?

??

n

i

ii

xfS

1

)(?

?

記??max{x

1

?x

2

?????x

n

}?如果當??0時?上述和式的極限存在?且極限值與

區間[a?b]的分法和

i

的取法無關?則稱這個極限為函數f(x)在區間[a?b]上的定積分?

記作?b

a

dxxf)(?

即?

?

?

?

??

n

i

ii

b

a

xfdxxf

1

0

)(lim)(?

?

?

根據定積分的定義?曲邊梯形的面積為??

b

a

dxxfA)(?

而我們經常利用積分定義中的下面的式子

lim

n??

?

?

n

1i

f（（b-a）i

n

1

）（b-a）

n

1

=?b

a

f(x)dx

利用這種方法時應注意區間的對應性

例求極限lim

n??

n

1

(

)

)1(

sin

2

sinsin

n

n

nn

????

???

=

n

1?

?

n

1i

sin(i-1/n)

?

=?1

0

sin

?

x=

?

2

例求極限lim

n??

n

1

nnn

1

)12(*)2(*)1(n*n????

解設xn

==lim

n??

n

1

nnn

1

)12(*)2(*)1(n*n????=lim

n??

n

n

n

n

1

)

1

1(*)

2

1(*)

n

1

(1

?

????

則

分析直接不能使用積分法，可先取對數，再去求解

lim

n??

lnxn

=

n

1?孕婦喝牛奶 ?

?

1

0n

ln

n

（1+

n

k

）=?1

0

ln(1+x)=2ln2-1

例計算

1

lim

!

n

nnn??

（2n）!

解

1(2(2)!12

(1)(1)...

!!

nnn

n

n

nnn

a

nnnnnnn

?????

）！

（1+）

、

先考慮

11

11

lnln(1)ln(1)

nn

n

ii

ii

a

nnnn

??

??????，從而有

??1

1

0

0

limlnln(1)(1)ln(1)12ln21

n

n

axdxxx

??

?????????

因此2ln21

4

lim

n

n

ae

e

?

??

??

1.10利用級數

利用級數方法即根據數列構造相應的級數，當級數收斂時，所求數列極限為0，判別級

數收斂的方法常用的如下

（一）比較原則：設?n

u與?n

v是兩個正項級數，若

（1）當????10時，兩級數同時收斂或同時發散；

（2）當0?l且級數?n

v收斂時，級數?n

u也收斂；

（3）當???l且級數?n

v發散時，級數?n

u也發散；

（二）比式判別法（極限形式）若?n

u為正項級數，且limq

u

u

n

n??1則

(1)當1?q時，級數?n

u也收斂；

(2)當1?q時，或???q時，級數?n

u發散；

注：當1?q時，）比式判別法不能對級數的斂散性作出判斷，因為它可能是收斂

的，也可能是發散的.例如，級數?2

1

n

與?

n

1

，它們的比式極限都是1lim1??

??

n

n

nu

u

但

?2

1

n

是收斂的，而?

n

1

是發散的.

（三）根式判別法（極限形式）若?n

u為正項級數，且

1lim?

??

n

n

n

u

則

(1)當

1?l

時，級數收斂

(2)當

1?l

時，級數發散

注：當

1?l

時，根式不能對級數的斂散性作出判斷例如，級數?2

1

n

與?

n

1

，二者都有

1lim?

?

n

n

n

u

，但?2

1

n

是收斂的，而?

n

1

是發散的.但?2

1

n

是收斂的

而?

n

1

是發散的.

（四）積分判別法：設

f

是????,1上非負遞減函數那么正項級數?)(nf與非正常積分

???

1

)(dxxf同時收斂或同時發散；

（五）拉貝判別法（極限形式）若?n

u為正項級數，且

r

u

u

n

n

n

n

???

??

)1(lim1

存在，則

(1)當1?r時，級數?n

u收斂；

(2)當1?r時，級數?n

u發散；

(3)當1?r時拉貝判別法無法判斷.

構造一般項級數或構造相應的冪級數，求得其數項級數的和。利用這種方法時應注意所

代入的數是否在收斂域內，否則不能用該種方法

例求極限lim

n??nn

n!2n

解構造級數∑

nn

n!2n

用達朗貝爾判別法有lim

n??!

)!1(

2)1(

2

1n

1

n

n

n

n

nn

n??

??

=

lim

n??

nn

n

)

1

1(

1

)1(

n2

?

?

=

e

2

<1

從而級數∑

nn

n!2n

收斂。由收斂的必要條件得lim

n??nn

n!2n

=0

例求級數lim

n??

a1+2a2+…nan

解構造冪級數f(x)=??

?1n

nxn,顯然該冪級數的收斂域為（-1,1）。下面求和函數。

因為

f(x)=??

?1n

n

xn

=x??

?1n

n

xn1?

=xg(x),其中g(x)=??

?1n

n

xn1?

，所以

?x

0

g(t)dt=??

?1n

n?x

0tn1?dt=??

?1n

xn=

x?1

x

故lim

n??

a1+2a2+…nan=f(a)=

2

)1(a

a

?

(0

1.11各種方法的綜合使用

有時除了以上幾種方法外，還必須多種方法綜合使用。

例求極限lim

n??

1n

(sin

?

）

n

?

+

2

1

)

2

sin(

?n

n

?

+…

n

n

1

sin

?

?

分析直接利用積分法無法求解，但通過放縮后可以利用積分法求解，然后再利用迫斂

法求解

解記xn

=

1n

(sin

?

）

n

?

+

2

1

)

2

sin(

?n

n

?

+…

n

n

1

sin

?

?

則

?

?

n

k1

1

)sin(

?n

n

k

?

＜xn

＜?

??

n

k

n

n

n

k

1

1

)sin(?

且lim

n??

?

?

n

k1

1

)sin(

?n

n

k

?

＝lim

n??

［

1

n

?n

?

?

n

k1

n

n

k

)sin(?

］＝?1

0

xsin）（?ｄｘ=

?

2

lim

n??

?

??

n

k

n

n

n

k

1

1

)sin(?

=lim

n??

n

n

n

1

?

?

??

n

k

n

n

n

k

1

1

)sin(?

=?1

0

xsin）（?ｄｘ=

?

2

故lim

n??

xn

=

?

2

對于

何實數a，設數列xn

＝asinsinsin?，其中ｓｉｎ符號為ｎ重，ｎ＝１,2,3….證明數

列??

xn

是收斂的，并求出lim

n??

xn

．

解顯然對?a?R,-1≤asin≤1

①妨設0≤

asin

≤1,即0≤x1

≤1,xn1?

=sinxn

，0≤xn

≤1，n=1,2….即

數列??

xn

是有界的。又xn1?

=sinxn

≤xn

，n=1,2….即數列??

xn

是遞減的。

故數列??

xn

的極限存在。記xn1?

=A,對xn1?

=sinxn

。倆邊求極限

即lim

n??

xn

=0，

若-電腦錄音怎么錄 1≤

asin

≤0，則xn

=-

asinsinsin??

,可轉化為①，同樣有lim

n??

xn

=0