導數的計算
教學目的：熟練掌握初等函數導數的計算方法
重點：導數的計算公式和運算法則
難點：復合函數和隱函數的導數
②冪指函數要用對數求導法求導．在一般情況下，直接利用定義求導數是極
為復雜的．為能方便地求得一般函數的導數，需要建立求導的基本法則和公式，
借助它們能較容易地解決初等函數的導數計算問題．
1．導數的四則運算
定理1若函數
)(xuu?
，
)(xvv?
都在點x處可導，則有
(ⅰ)
)()())()((xvxuxvxu
?
?
?
?
?
?
；
(ⅱ)
)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu
?
?
?
?
?
；
(ⅲ)
)(
)()()()(
)(
)(
2xv
xvxuxvxu
xv
xu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
0)(?xv
．
特別，當
()uxc?
(c為常數)時，有
(ⅳ)
[()]()cvxcvx
??
?
；
(合同范文 ⅴ)
)(
)(
)(2xv
xvc
xv
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
．
證明(ⅰ)設
)()()(xvxuxf??
，則由導數定義可得
x
xfxxf
xf
x?
???
?
?
??
)()(
lim)(
0x
xvxuxxvxxu
x?
???????
?
??
)()()()(
lim
0
)
)()()()(
(lim
0x
xvxxv
x
xuxxu
x?
???
?
?
???
?
??
x
xvxxv
x
xuxxu
xx?
???
?
?
???
?
????
)()(
lim
)()(
lim
00
)()(xvxu
?
?
?
?．
即)()())()((xvxuxvxu
?
?
?
?
?
?．同理可推得
)()())()((xvxuxvxu
?
?
?
?
?
?
．
也就是說，兩個可導函數之和(差)的導數等于這兩個函數的導數之和(差)．
(ⅱ)設
)()()(xvxuxf?
，因為
)(xv
?
存在，從而
)(xv
在點x處連續，有
)()(lim
0
xvxxv
x
???
??
．
則由導數定義可得
0
()()
()lim
x
fxxfx
fx
x??
???
?
?
?
x
xvxuxxvxxu
x?
?????
?
??
)()()()(
lim
0
x
xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu
x?
???????????
?
??
)()()()()()()()(
lim
0
]
)()(
)([lim)](
)()(
[lim
00x
xvxxv
xuxxv
x
xuxxu
xx?
???
???
?
???
?
????
x
v
xuxxv
x
u
xxx?
?
????
?
?
?
??????000
lim)()(limlim
)()()()(xvxuxvxu
?
?
?
?
．
也就是說，兩個可導函數乘積的導數等于一個因子的導數乘以另一個因子，
再加上這個因子乘以另一個因子的導數．
注意兩個可導函數乘積的導數不等于這兩個函數導數的乘積，即
vuuv
??
?
?
)(
．
(ⅲ)設?)(xf
)(
)(
xv
xu
，與(ⅱ)類似利用)(xv的連續性，由導數定義得
x
xv
xu
xxv
xxu
xf
x?
?
??
??
?
?
??
)(
)(
)(
)(
lim)(
0xxvxxv
xxvxuxvxxu
x???
?????
?
??)()(
)()()()(
lim
0
)()(
)()()()()()()()(
lim
0xvxxv
x
xvxuxxvxu
x
xvxuxvxxu
x??
?
???
?
?
???
?
??
)(lim)(
)()(
lim)(
)()(
lim)(
0
00
xxvxv
x
xvxxv
xu
x
xuxxu
xv
x
xx
??
?
???
?
?
???
?
??
????
)(
)()()()(
2xv
xvxuxvxu
?
?
?
?．
也就是說，兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母的乘積減去分子
乘以分母的導數，再除以分母的平方．
推論利用數學歸納法可將以上法則推廣到有限個可導函數的和(差、積)
的情形：
(ⅵ)
nn
uuuuuu
?
??
?
?
?
?
?
?????
2121
)(．
(ⅶ)
nnnn
uuuuuuuuuuuu
?
??
?
?
?
?
?
?????
21212121
)(．
例1設
42
2
34sin2
,.
xxx
yy
x
??
?
?求
解????
223()4(sin)2()yxxx?????
???
????
例2求函數)23)(21(23xxxy???的導數．
解)23)(21()23()21(2323?
????
?
??
?
xxxxxxy
])2()3)[(21()23]()2()1[(2323?
?
?
???
?
?
?
?xxxxxx
)2233)(21()23(2223xxxxx???????
xxx432423???．
例3求函數
xxxylnsin?
的導數．
解
)lnsin(
?
?
?
xxxy
)(lnsinln)(sinlnsin
?
?
?
?
?
?xxxxxxxxx
x
xxxxxxx
1
sinlncoslnsin????
xxxxxsinln)cos(sin???
．
例4求函數xytan?的導數．
解
2)(cos
)(cossincos)(sin
cos
sin
)(tan
x
xxxx
x
x
xy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xx
xx
2
22
22
c
cos
1
cos
sincos
??
?
?
．
同理可得
xx2csc)(cot??
?
．
例5求函數xyc?的導數．
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xy
cos
1
)(c
xx
x
x
x
x
tanc
cos
sin
cos
)(cos
22
??
?
?
?
．
同理可得
xxxcotcsc)(csc??
?
．
例6求函數
xxx
xxx
y
sincos
cossin
?
?
?
的導數．
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xxx
xxx
y
sincos
cossin
2)sin(cos
)sin)(coscos(sin)sin(cos)cos(sin
xxx
xxxxxxxxxxxx
?
?
????
?
?
?
2)sin(cos
cos)cos(sin)sin(cossin
xxx
xxxxxxxxxx
?
???
?
2
2
)sin(cosxxx
x
?
?．
2．復合函數的導數
現在我們來討論復合函數的求導問題．
定理2設函數
)(ufy?
及
)(xu??
可以復合成函數
))((xfy??
，若
)(xu??
在點x可導，且
)(ufy?
在相應的點
)(xu??
可導，則復合函數
))((xfy??
在點x處可導，且
)()(xuf
dx
dy
???
?
，(1)
或
dx
du
du
dy
dx
dy
??
，
(2)
或
xux
uyy
?
?
?
?
?
．(3)
證設自變量x有改變量
x?
時，u取得改變量
u?
，進而y取得相應的改變
量
y?
．由于
)(ufy?
在點u處可導，則
u
y
du
dy
u?
?
?
??0
l浮雕作品 im
，根據極限與無窮小的關
系，有???
?
?
du
dy
u
y
，其中
?
為無窮小(當0??u時)．又
)(xu??
在點x處可導，
從而
)(xu??
在所有英語單詞 點x處必連續，所以當
0??x
時
0??u
，故
00
limlim0
xu
??
????
??
．從而
uu
du
dy
y????????，
于是
x
u
x
u
du
dy
x
y
?
?
??
?
?
??
?
?
?，
則
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
????x
u
x
u
du
dy
x
y
dx
dy
xx
?
00
limlim
?
0
lim
??
????
udx
du
dx
du
du
dy
)()(xuf
dx
du
du
dy
??
?
?
???
．
也就是說，復合函數的求導法則為：兩個可導函數復合而成的復合函數的導
數等于函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數．
此法則可推廣到有限次復合的情形．例如，若有可導函數
)(),(vuufy???
,
)(xv??
，則復合函數??????xfy???對x的導數是
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
???
．(4)
公式(2)、(4)稱為復合函數求導的鏈式法則．
在利用復合函數的求導法則解決求導問題時，應該注意以下幾點：
(1)準確地把一個函數分解成幾個比較簡單的函數；
(2)復合函數求導后，必須把引進的中間變量換成原來的自變量．
利用復合函數的求導法則求導的步驟如下：
(1)從外到里分層次，即把復合函數分成幾個簡單的函數；
(2)從左到右求導數，即把每一個簡單函數對自身的自變量的導數求出來；
(3)利用鏈式求導法則，從左到右作連乘．
例7??tan12,.yxy
?
??求
解函數??tan12yx??可分解為tan,???則
??'
2'tanc,(12)2.
x
u
dydu
uux
dudx
??????
由復合函數求導法則有
22c(2)2c(著裝禮儀 12).
dy宏碁顯示器 dydu
ux
dxdudx
????????
以上求解過程可以簡記為：
).21(c2)21()21(c22xxxy???
?
????
?
例8求函數
10003
2yx
x
??
??
??
??
的導數．
解將函數分解為1000
3
,
x
???
則
999
2
3
1000,2.
dydu
u
dudxx
???
由復合函數求導法則有
999999
22
333
1000(2)1000(2)(2).
dydydu
ux
dxdudxxxx
????????
以上求解過程可以簡記為：
999999
2
3333
1000(2)(2)1000(2)(2).yxxx
xxxx
??
???????
例9求函數
2
21
ln
1
x
y
x
?
?
?
的導數．
解這是一個復合函數，若直接用公式(2)或(4)求導，運算較繁瑣．將函
數變形為
2
1
[ln(21)ln(1),
2
yxx????
則由復合函數求導法則有
2
11
[ln(21)][ln(1)]
22
yxx
???
????
=
)1(
1
1
2
1
)12(
12
1
2
1
2
2
?
??
?
??
?
??
?
?x
x
x
x
2
1
.
211
x
xx
??
??
對復合函數的求導法則，運用熟練以后，計算時就不必將中間變量寫出來．
例10已知
2
tanln
x
y?
，求
dx
dy
．
解
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2
tan
2
tan
1
2
tanln
x
x
x
dx
dy
2
1
2
c
2
cot
22
c
2
cot22???
?
?
?
?
?
?
?
???
xxxxx
x
x
csc
sin
1
??
．
有時往往需要同時運用函數的和差積商的求導法則以及復合函數的求導法
則．
例11求函數xxy3sin12??的導數．
解?
????
??
?
??
?
xxxxy3sin13sin122
???????
????
?
?????xxxxxx33cos13sin11
2
1
222
2
1
???33cos13sin21
2
1
22
2
1???????xxxxx
xx
x
xx
3cos13
1
3sin
2
2
??
?
?
．
例12求函數?
?21lnxxy???的導數．
解快遞放假時間 ?
????
??
??
??
?
?
???
?2
2
21
1
1
1lnxx
xx
xxy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?2
2
11
1
1
x
xx
????
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
22
2
11
2
1
1
1
1
2
1xx
xx
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??xx
xx
21
2
1
1
1
1
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
221
1
1
1
x
x
xx
21
1
x?
?
．
例13證明：1)(??
????xx(?為任意常數)．北村韓屋村
證由對數性質有xexln?，故
)ln()(])[()(lnlnln?
?
?
?
?
?
?
xeeexxxx?????
1
1
?????????x
x
x
．
3．隱函數和反函數求導
函數的表示方式有多種，其中主要是用解析式子)(xfy?來表示，但也有一
些函數無法用以上形式表示，例如：
0lnarctan22???yx
x
y
；
yxysin
2
1
??
等，
這樣的函數稱為隱函數，
)(xfy?
相應地稱為顯函數．
一般地，如果在方程
0),(?yxF
中，當x取某區間內的任一值時，相應地總
有滿足這方程的唯一的y值存在，那末就說方程
0),(?yxF
在該區間內確定了一
個隱函數．
有的隱函數能較容易地化成顯函數，而有的隱函數化成顯函數時比較困難，
甚至是不可能的．但在實際問題中，有時需要計算隱函數的導數，因此我們希望
有一種方法，不管隱函數能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數的導
數來．下面通過具體例子來說明這種方法．
例14求由方程yexy?所確定的隱函數y的導數
dx
dy
．
解設此方程確定的函數為
()yfx?
，即
)()(xxfexf?．
兩端對x求導，由于函數恒相等，則導數也相等，故有
).()()()(xfxxfxfexf?
??
?
所以
()
()
().
fx
fx
fx
ex
?
?
?
即
.
y
y
y
ex
?
?
?
為書寫方便，上述求導過程只要記住y為x的函數，直接求導，而不需反復
代換．
例15設ln1xyey??，求
dx
dy
．
解顯然y是x的函數，則
lny
為x的復合函數．方程兩端同時對x求導，
得
,0)(ln)('??
?
?
?
x
xxyeyey
1
0xxyeyey
y
??
???，
故
2
.
1
x
x
ye
y
ye
?
??
?
可見隱函數的求導法則如下：
(1)等式(或方程)兩端同時對x求導數，遇到函數y的時候，把它看作x的函
數，遇到y的函數時，把它看作x的復合函數，其中y為中間變量．
(2)所得關于
dx
dy
的方程中，解出
dx
dy
，即為所求．
例16求橢圓1
916
22
??
yx
在點
)3
2
3
,2(
處的切線方程．
解由導數的幾何意義知，所求切線的斜率為：
2?
?
?
x
yk．
下面求
y
?
．在橢圓方程的兩邊分別對x求導，有
0
9
2
8
?
?
???yy
x
，
解之得
y
x
y
16
9
??
?
．
當
3
2
3
,2??yx
時，代入上式得：
4
3
2
??
?
?x
y．于是所求的切線方程為
)2(
4
3
3
2
3
????xy，
即03843???yx．
例17設tan,.xyy
?
?求
解兩邊對x求導，得
.c12yy
?
??
故
22
11
.
c1
y
yx
?
??
?
由例17的結果顯然有
2
1
(arctan).
1
x
x
?
?
?
(5)
類似可得：
21
1
)(arccot
x
x
?
??
?
.(6)
2
1
(arcsin).
1
x
x
?
?
?
(7)
2
1
(arccos).
1
x
x
?
??
?
(8)
例18設
()xy??
是直接函數，
()yfx?
是它的反函數，如果
()y??
存在且
不等于零，證明:反函數
()yfx?
可導，且有
1
.
()
y
y?
?
?
?
(9)
公式(9)稱為反函數求導公式．
證在方程
()xy??
兩邊對x求導，得
.)(1yy
?
?
?
??
由于
0)(?
?
y?,故公式(9)成立．習慣上將(9)式記為：
1
.
dy
dx
dx
dy
?
)9(
?
4．對數求導法
對某些函數，利用先取對數再求導數的方法(稱為對數求導法)求導比較簡
單．
例19求函數xxy?的導數．
解這函數既不是冪函數也不是指數函數，稱為冪指函數．不能直接利用冪
函數或指數函數的求導公式．為求其導數，需先改變函數的結構．將xxy?兩邊
取自然對數，得
xxxyxlnlnln??，
兩邊對x求導，得
1ln
1
ln
1
?????
?
?x
x
xxy
yx
，
于是有
)1(ln)1(ln????
?
xxxyyx
x
．
例20求函數
)4(
)4)(3(
)2)(1(
?
??
??
?x
xx
xx
y
的導數．
解直接利用復合函數求導法則求這個函數的導數很麻煩，我們用對數求導
法來求．
等式兩端同時取自然對數，得
)]4ln()3ln()2ln()1[ln(
2
1
ln????????xxxxy
，
上式兩邊對x求導得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
1
3
1
2
1
1
1
2
11
xxxx
y
yx
，
于是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
1
3
1
2
1
1
1
2xxxx
y
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
4
1
3
1
2
1
1
1
)4)(3(
)2)(1(
2
1
xxxxxx
xx
．
注冪指函數)()(xvxuy?和經過多次乘(除)的函數，一般用對數求導法比較
簡便．
5．由參數方程所確定的函數的求導
一般地，若參數方程
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
(t為參數)，(10)
確定y與x間的函數關系，則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程所確定的
函數．
在實際問題中，需要計算由參數方程(10)所確定的函數的導數，但從(10)
中消去t有時會有困難．因此我們希望有一種方法能直接由參數方程算出它所確
定的函數的導數．下面就來討論由參數方程(10)所確定的函數的求導方法．
若
)(),(tytx????
都可導，且
0)(?
?
t?，
)(tx??
具有單調連續的反函數
)(1xt???
，則由參數方程所確定的函數可看作是由函數)(ty??與)(1xt???
復合
而成的函數，根據復合函數及反函數的求導法則，得
??
??
??
??t
t
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
11
，
即
??
??t
t
dx
dy
?
?
?
?
?，(11)
這就是由參數方程(10)所確定的函數的求導公式．
例21求由參數方程
(sin)
(1cos)
xatt
yat
??
?
?
??
?
所確定的函數的導數
dx
dy
．
解
??
??
1cos
sin
cot.
1cos2
sin
t
t
at
y
dytt
dxxt
att
?
?
?
????
?
?
?
?
例22求曲線
2
2
21
3
,
1
3
t
at
y
t
at
x
?
?
?
?在
2?t
處的切線方程和法線方程．
解因為
??
??22
2
2
2
22
2)1(
)1(3
1
613
1
3
t
ta
t
atta
t
at
x
t?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
而由已知可知
txt
t
at
y???
?
?
21
3
，
則
22222
2
)1(
6
1
3
)1(
)1(3
)(
t
at
t
at
t
t
ta
xtxtxy
ttt?
?
?
??
?
?
???
?
?
?
??
?
．
所以
221
2
)1(3
6
t
t
ta
at
x
y
dx
dy
t
t
?
?
?
?
?
?
?．
再由導數的幾何意義得
3
4
1
2
2
2
2
??
?
??
??tt
t
t
dx
dy
k
切
，
13
4
k
k
???
法
切
．
又因為當2?t時，
ayax
5
12
,
5
6
??
；所以在2?t處的切線方程為
)
5
6
(
3
4
5
12
axay????
即01234???ayx；
在2?t處的法線方程為
)
5
6
(
4
3
5
12
axay???
即0643???ayx．
6．基本公式
為了便于記憶和使用，我們將基本求導公式列于下面．
1、
0?
?
c
(c為常數)．2、1)(??
????xx(
?
為任意實數)．
3、aaaxxln)(?
?
．4、xxee?
?
)(．
5、
ax
e
x
x
aaln
1
log
1
)(log??
?
．6、
x
x
1
)(ln?
?
．
7、
xxcos)(sin?
?
．8、
xxsin)(cos??
?
．
9、
x
xx
2
2
cos
1
c)(tan??
?
．10、
x
xx
2
2
sin
1
csc)(cot????
?
．
11、
2
1
(arcsin)(11)
1
xx
x
?
????
?
．
12、
2
1
(arccos)(11)
1
xx
x
?
?????
?
．
13、
2
1
(arctan)()
1
xx
x
?
????最新勵志歌曲 ???
?
．
14、
2
1
(cot)()
1
arcxx
x
?
????????
?
．
15、
xxxtanc)(c?
?
．16、
xxxcotcsc)(csc??
?
．
為了使讀者進一步掌握本節內容，下面再舉兩個例子．
例23求函數xxyxsin)1(???的導數．
解將原函數寫成以下形式：xxxy)1(sin???，此等式兩端取自然對數，
得
)1ln()1ln()sinln(xxxxyx?????，
上式兩端同時對x求導得
x
x
xxy
xyx?
????
?
?
?1
)1ln()cos(
sin
1
，
解之得
]
1
)1[ln()1(cos
x
x
xxxyx
x?
?????
?
．
例24求函數xexy)(ln?的導數．
解等式兩端取自然對數得
)ln(lnlnxeyx?，
上式兩端同時對x取導得
xx
exey
y
xx
x
1
ln
1
)ln(ln
1
????
?
?，
解之得
)
ln
1
ln(ln)(ln
xx
xxeyx
ex
x
??
?
．
小結：
本節主要介紹初等函數的求導方法，讀者主要要掌握導數計算公式和運算法
則，其次注意：
①一般在求導運算開始前應檢查是否可以先化簡或變形，許多函數在變形后
容易求導；
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