指數函數單調性

指數函數

1．指數函數的定義：

函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數定義域是R

2.指數函數的圖象和性質：

在同一坐標系中分別作出函數y=，y=，y=，y=的圖象.

我們觀察y=，y=，y=，y=圖象特征，就可以得到的圖象和性質。

a>10

圖

象

性

質

(1)定義域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）過點（0，1），即x=0時，y=1

（4）在R上是增函

數

（4）在R上是減函

數

指數函數是高中數學中的一個基本初等函數，有關指數函數的圖象

與性質的題目類型較多，同時也是學習后續數學內容的基礎和高考考查

的重點，本文對此部分題目類型作了初步總結，與大家共同探討．

1．比較大小

例1 已知函數滿足，且，則與的大小關系是_____．

分析：先求的值再比較大小，要注意的取值是否在同一單調區間

內．

解：∵，

∴函數的對稱軸是．

故，又，∴．

∴函數在上遞減，在上遞增．

若，則，∴；

若，則，∴．沖吧宅男

綜上可得，即．

評注：①比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數的單

調性或中間量等．②對于含有參數的大小比較問題，有時需要對參數進

行討論．

2．求解有關指數不等式

例2 已知，則x的取值范圍是___________．

分析：利用指數函數的單調性求解，注意底數的取值范圍．

解：∵，

∴函數在上是增函數，

∴，解得．∴x的取值范圍是．

評注：利用指數函數的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底

數相同的指數式，并判斷底數與1的大小，對于含有參數的要注意對參

數進行討論．

3．求定義域及值域問題

例3 求函數的定義域和值域．

解：由題意可得，即，

∴，故．∴函數的定義域是．

令，則，

又∵，∴．∴，即．

∴，即．

∴函數的值域是．

評注：利用指數函數的單調性求值域時，要注意定義域對它的影

響．

4．最值問題

例4 函數在區間上有最大值14，則a的值是_______．

分析：令可將問題轉化成二次函數的最值問題，需注意換元后的取

值范圍．

解：令，則，函數可化為，其對稱軸為．

∴當時，∵，

∴，即．

∴當時，．

解得或（舍去）；

當時，∵，

∴，即，

∴時，，

解得或（舍去），∴a的值是3或．

評注：利用指數函數的單調性求最值時注意一些方法的運用，比

如：換元法，整體代入等．

5．解指數方程

例5 解方程．

解：原方程可化為，令，上述方程可化為，解得或（舍去），∴，

∴，經檢驗原方程的解是．

評注：解指數方程通常是通過換元轉化成二次方程求解，要注意驗

根．

6．圖象變換及應用問題

例6 為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象（ ）．

A．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度

B．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度

C．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度

D．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度

分析：注意先將函數轉化為，再利用圖象的平移規律進行判斷．

解：∵，∴把函數的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單

位長度，可得到函汽車商業險 數的圖象，故足球品牌 選（C）．

評注：用函數圖象解決問題是中學數學的重要方法，利用其直觀性

實現數形結合解題，所以要熟悉基本函數的圖象，并掌握圖象的變化規

律，比如：平移、伸縮、對稱等．

習題

1、比較下列各組數的大小：

（1）若

，比較

與

；

（2）若

，比較

與

；

（3）若

，比較

與

；

（4）若

，且

，比較a與b；

（5）若

，且

，比較a與b．

解：（1）由

，故

，此時函數

為減函數．由

，故

．

（2）由

，故

．又

，故

．從而

．

（3）由

，因

，故

．又

，故

．從而

．

（4）應有

．因若

，則

．又

，故

，這樣

．又因

，故

．從而

，這與已知

矛盾．

（5）應有

．因若

，則

．又

，故

，這樣有

．又因

，且

，故

．從而

，這與已知

矛盾．

小結：比較通常借助相應函數的單調性、奇偶性、圖象來求解．

2，曲線

分別是指數函數

,

和

的圖象,則

與1的大小關系是().

(

分析:首先可以根據指數函數單調性,確定

,在

軸右側令

,對應的函數值由小到大依次為

,故應選

.

小結:這種類型題目是比較典型的數形結合的題目,第(1)題是由數

到練口才的方法 形的轉化,第(2)題則是由圖到數的翻譯,它的主要目的是提高學生識

圖,用圖的意識.

求最值

3，求下列函數的定義域與值域.

(1)y＝2;(2)y＝4x+2x+1+1.

解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定義域為｛x｜x∈R且x≠3｝.又

∵≠0，∴2≠1，

∴y＝2的值域為｛y｜y>0且y≠1｝.

(2)y＝4x+2x+1+1的定義域為R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝

(2x)2+22x+1＝(2x+1)2>1.

∴y＝4x+2x+1+1的值域為｛y｜y>1｝.

4，已知-1≤x≤2,求函數f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值

解：設t=3x,因為-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當t=3

即x=1時，f(x)取最大值12，當t=9即x=2時f(x)取最小值-24。

5、設

，求函數

的最大值和最小值．

分析：注意到

，設

，則原來的函數成為

，利用閉區間上二次函數的值域的求法，可求得函數的最值．

解：設

，由

知，

，函數成為

，

，對稱軸

，故函數最小值為

，因端點

較

距培養孩子專注力 對稱軸

遠，故函數的最大值為

．

6．（9分）已知函數在區間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.

．解：，換元為，對稱軸為.

當，，即x=1時取最大值，略

解得a=3(a=－5舍去)

7．已知函數

（

且

）

（1）求

的最小值；（2）若

，求

的取值范圍．

．解：（1）

，

當

即

時，

有最小值為

（2）

，解得

當

時，

；

當

時，

．

8（10分）（1）已知是奇函數，求常數m的值；

（2）畫出函數的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3

Ｘ

－１

｜＝k無

解？有一解？有兩解？

解：（1）常數m=1

（2）當k<0時，直線y=k與函數的圖象無交點,即方程無解;

當k=0或k1時,直線y=k與函數的圖象有唯一的交點，所以方程有一

解;

當0

解。

9．若函數

是奇函數，求

的值．

．解：

為奇函數，

，

即

，

則

，

10.已知9x-10.3x+9≤0，求函數y=（）x-1-4（）x+2的最大值和最小值

解：由已知得（3x財富的近義詞 ）2-103x+9≤0得（3x-9）（3x-1）≤0

∴1≤3x≤9故0≤x≤2

而y=()x-1-4()x+2=4（）2x-4（）x+2

令t=（）x（）

則y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1

當t=即x=1時，y

min

=1

當t=1即x=0時，y

max

=2

11．已知

，求函數

的值域．

解：由

得

，即

，解之得

，于是

，即

，故所求函數的值域為

12.(9分)求函數的定義域，值域和單調區間

定義域為R值域（0，8〕。（3）在（-∞，1〕上是增函數

在〔1，+∞）上是減函數。

13求函數y＝的單調區間.

分析這是復合函數求單調區間的問題

可設y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝為減函數

∴u＝x2-3x+2的減區間就是原函數的增區間(即減減→增)

u＝x2-3x+2的增區間就是原函數的減區間(即減、增→減)

解：設y＝,u＝x2-3x+2,y關于u遞減，

當x∈(-∞，)時，u為減函數，

∴y關于x為增函數；當x∈［，+∞)時，u為增函數，y關于x為減函

數.

14，已知函數f(x)＝(a>0且a≠1).

(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)

的單調性.

解：(1)易得f(x)的定義域為｛x｜x∈R｝.

設y＝,解得ax＝-①∵ax>0當且僅當->0時，方程①有解.解->0

得-1

∴f(x)的值域為｛y｜-1＜y＜1.

(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定義域為R，∴f(x)是奇函數.

(3)f(x)＝＝1-.

1當a>1時，∵ax+1為增函數，且ax+1>0.

∴為減函數，從而f(x)＝1-＝為增函數.2當0

f(x)＝為減函數.

15、已知函數f（x）=a－（a∈R），

（1）求證：對任何a∈R，f（x）為增函數．

（2）若f（x）為奇函數時，求a的值。

（1）證明：設x

1

＜x

2

f（x

2

）－f（x

1

）=＞0

故對任何a∈R，f（x）為增函數．

（2），又f（x）為奇函數

得到。即

16、定義在R上的奇函數有最小正周期為2，且時，

（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調性；

（3）當為何值時，方程=在上有實數解.

解（1）∵cpu包括 x∈R上的奇函數∴

又∵2為最小正周期∴

設x∈（－1，0），則－x∈（0，1），

∴

（2）設0

1

2

<1=

∴在（0，1）上為減函數。

（3）∵在（0，1）上為減函數。

∴即

同理在（－1，0）時，

又

∴當或時

在[－1，1]內有實數解。

函數y＝a｜x｜(a>1)的圖像是()

分析本題主要考查指數函數的圖像和性質、函數奇偶性的函數圖

像，以及數形結合思想和分類討論思想.

解法1：(分類討論)：

去絕對值，可得y＝

又a>1，由指數函數圖像易知，應選B.

解法2：因為y＝a｜x｜是偶函數，又a>1，所以當x≥0時，y＝ax是

增函數；x＜0時，y＝a-x是減函數.

∴應選B.