一元四次方程求根公式

塔塔利亞工資支付規定 發現的一元三次方程的解法

一元三次方程的一般形式是x

3

+sx

2

+tx+u=0，如果作一個橫坐標平移y=x+s/3，那么

我們就可以把方程的二次圖文混排 項消去。所以我們只要考慮形如x

3

=px+q的三次方程。

假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數。代入方程，我

們就有

a

3

-3a

2

b+3ab

2

-b

3

=p(a-b)+q整理得a

3

-b

3=(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時3ab+p=0。

這樣上hush鬼怪 式就成為a

3

-b

3

=q，兩邊各乘以27a

3

，就得到27a

6

-27a

3

b

3

=27qa

3

，由p=-3ab可知

27a

6

+p=27qa

3

。這是一個關于a

3

的二次方程，所以可以解得a。進而可解出b和根x。

費拉里與一元四次方程的解法

卡當在《重要的藝術》一書中公布了塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亞譴

責卡當背信棄義，提出要與卡當進行辯論調職申請書 與比賽。這場辯論與比賽在米蘭市的教堂進行，代表卡當出

場的是卡當的學生費拉里。

費拉里(FerrariL.,1522~1565)出身貧苦，少年時代曾作為卡當的仆人。卡當的數學研究引起

了他對數學的熱愛，當其數學才能被卡當發現后，卡當就收他作了學生。

費拉里代替卡當與塔塔利亞辯論并比賽時，風華正茂，他不僅掌握了一元三次方程的解法，而

且掌握了一元四次方程的解法，因而在辯論與比賽中取得了勝利，并由此當上了波倫亞大學的數學教

授。

一元四次方程的求解方法，是受一元三次方眼壓高的原因 程求解方法的啟發而得到的。一元三次方程是在進

行了巧妙的換元之后，把問題歸結成了一元二次方程從而得解的。于是，如果能夠巧妙地把一元四次

方程轉化為一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

費拉里的方法是這樣的：

方程兩邊同時除以最高次項的系數可得

移項可得

(1)

(2)

兩邊同時加上，可將（2）式左邊配成完全平方，方程成為

(3)

在（3）式兩邊同時加上可得

(4)

（4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什么值，（4）式都應

成立。特別，如果所取的y值使（4）式右邊關于x的二次三項式鏗鏘的近義詞 也能變成一個完全平方式，則對（4）

對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。

為了使（4）式右邊關于x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，

即

(5)

這是關于y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到

兩個關于x的一元二次方程。解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。

費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在于：第一次配方得到（3）式后引進參數y，并再

次配方把（3）式的左邊配成含有參數y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊

也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程

的求解問題。

不幸的是，就象塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當公式一樣，費拉里發現的

一元四次方程求解方法也曾被誤認為是波培拉發現的。