冪函數(shù)1

《冪函數(shù)》教學設計

【學習目標】

知識與技能

理解并掌握冪函數(shù)的圖象與性質，能初步運用所學知識解決有關問題，培養(yǎng)靈活思維

能力.

過程與方法

通過具體函數(shù)歸納與概括冪函數(shù)定義、圖象和性質，體驗數(shù)學概念的形成過程，培養(yǎng)

學生的抽象概括能力.

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生數(shù)形結合、分類討論的思想，以及分析歸納的能力，培養(yǎng)學生合作交流的意識.

【學習重點】

學習重點

從具體函數(shù)歸納認識冪函數(shù)的一些性質并簡單應用.

學習難點

概括冪函數(shù)的性質.

【問題導學】我們先來研究五個具體問題：

(1)如果張紅買了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付P=W元，P是W的函數(shù)

(2)如果正方形的邊長為 a,那么正方形的面積S=，

a

2

a是S的函數(shù)

(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積V=，

a

3

V是a的函數(shù)

(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長a=,

S

S是a的函數(shù)

(5)如果某人 t s內(nèi)騎車行進1 km,那么他騎車的平均速度v=,

t

?1

v是t的函數(shù)

通常我們用x表示自變量，用y表示函數(shù)值.若將它們的自變量全部用x表示，函數(shù)

值用y表示.請寫出它們的函數(shù)關系式

1. 2. 3. 4. 5.

y?x

y?xy?x

y?x

y?x

?123

【探究】以上問題中的函數(shù)都具有什么共同特征？

① 函數(shù)值都是以自變量為底的冪;

x

② 指數(shù)是常數(shù);

③ 冪的系數(shù)是.1

【歸納總結】

冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量是常數(shù).

y?x

?

x

?

1、對于冪函數(shù)，我們只討論 =1,2,3, ,-1時的情形.

1

2

1

2

?

1

2

2、冪函數(shù)的定義方式是一種形式定義，解析式是冪的形式,

底數(shù)是自變量x,指數(shù)是常數(shù),冪的系數(shù)為1.

【】

練一練

1.下列函數(shù)中哪幾個是冪函數(shù)？

y?2

（1） （3） (4) （2）

x

?2

y?x

y?x?1

y?3x

1

2

1

2

m

若函數(shù)y?(m?1)x是冪函數(shù)，求m的值？

2.

【探究】冪函數(shù)形式相似，那么，它們間的

y?x與指數(shù)函數(shù)y=a(a?0且a?1)

ax

聯(lián)系與區(qū)別是怎樣的？完成下表：

元素名稱

函數(shù)種類 解析式

a

??

?

底數(shù) 指數(shù) 指數(shù)函數(shù) 冪

指數(shù) 底數(shù) 冪函數(shù) 冪

x

y

y?a

x

y?x

a

【探究展示】學習了冪函數(shù)的定義之后，接下來我們研究冪函數(shù)的性質，課標只要求掌握指

1

數(shù)分別為1、2、3、、五種冪函數(shù)的圖象和性質.下面請拿出坐標紙，在同一平面直角坐

?1

2

標系中，作出冪函數(shù)，，，，的圖象，并將你發(fā)現(xiàn)的結論填

y?x

y?xy?x

23?1

y?x

y?x

在表格中．

冪函

y?x

數(shù)

性質

定義域 R R R

23?1

1

2

y?xy?x

y?x

y?x

1

2

[0,??)(??,0)?(0,??)

值域 R R

[0,??)[0,??)(??,0)?(0,??)

奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 既不是奇奇函數(shù)

函數(shù)，也不

?

??,0

?

單調性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù)

減函

是偶函數(shù)

(??,0)

減函數(shù)

(0,??)

減函數(shù)

數(shù)

[0,??)

增函

數(shù)

公共點

（1，1）

【歸納總結】結合上表和圖象，你能得出這五種冪函數(shù)有那些共同特性？

1.所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,且函數(shù)圖象都通過點(1,1);

2.冪函數(shù)，當時，是奇函數(shù)；當時，是偶函數(shù),

y?x

?

?

?1,3,?1

?

1

3.當時，在 (0,+∞) 上，是增函數(shù).

?

?1,2,3,

2

?2

4.冪函數(shù)在(0,+∞) 上是減函數(shù)，圖象向上與軸無限地接近,向右與軸無限

y?x

?1

y

x

地接近.

從圖象上我們可以觀察冪函數(shù)的性質，從理論上我們也可以解決冪函數(shù)的性質，接下來

請同學們看下面的問題.

【典例賞析】

1.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點 ，求這個函數(shù)的解析式

??

2,2

．

2． 證明：函數(shù)上是增函數(shù)．

fx?x

??

在0,+?

?

?

【達標測試】

1

,y?2x,y?x?x,y?x?1,y?xy?

320

中，冪函數(shù)有（ ） 1．在函數(shù)

2

x

A．1個 B．2個C．3個 D．4個

1

2．設，則使函數(shù)的定義域為R，且為奇函數(shù)所有的

?

?{?1,1,,3}

y?x

?

?

2

值為（）． A．1，3 B．-1，1 C．-1，3 D．-1，1，3

1

3．已知冪函數(shù)的圖象過點=

y?f(x)

(9,)，則f(25)

3

4．已知，比較的大小．

0?x?1

x，x，x，x，x

?123

1

2?1，，

四個值，相應于曲5．如圖，曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象．已知分別取

y?x

n

n

2

1

2

線依次為（）

C,C,C,C的n

1234

11

22,1,,?1?1,,1，

(B) (A)

22

11

(C) (D)

2,1,?1,2,1,?1,

22

6．證明：冪函數(shù)上是減函數(shù)．

f(x)?x在(0,+?)

?1

【反思小結】

1.冪函數(shù)的定義;

2.五種典型冪函數(shù)的圖象及性質;

3. 在應用冪函數(shù)時，不僅要考慮它的性質，還要注意結合它的圖象.

【課后鞏固】1.課本 2．學案