高考物理混合氣體的狀態(tài)方程和典型題型

混合氣體的狀態(tài)方程和典型題型

高中物理中常常涉及到氣體混合、打氣、抽氣、漏氣、氣體分裝等問題，對這類問題，大多數(shù)老師和 資

料采用的是等效法——先將分離的不同部分氣體看作是同一溫度和壓強的氣體，用一定質(zhì)量的理想氣體 狀態(tài)方

程處理后，再一部分一部分的當(dāng)做質(zhì)量不變的理想氣體分別處理。這種思路一方面是比較繞，另一 方面是實際

并不存在這樣的中間過程，對于大部分同學(xué)而言，這種方法不大容易掌握。

其實，上述困境是老師教學(xué)過程中刻意回避或不熟悉混合氣體的狀態(tài)方程的結(jié)果，如果直接把混合氣體

的狀態(tài)方程告知學(xué)生，不僅沒有增加教學(xué)的難度，反而使得這一類混合氣體的題目的處理變得簡潔明了， 一個方程，

一步，就可以搞定，何樂而不為？

一、混合氣體的狀態(tài)方程

1、克拉珀龍方程

將物質(zhì)的量包含進(jìn)理想氣體狀態(tài)方程，就是克拉珀龍方程：

pV nRT nR

或

pV

T

表達(dá)式中，為理想氣體的物質(zhì)的量，為普適氣體常量。

n R

所謂一定質(zhì)量的理想氣體，即物質(zhì)的量 保持不變，所以有

n

pV

11

T

1

pV

22

nR

，這就是高中物理教

材

T

2

呈現(xiàn)的一定質(zhì)量的理想氣體狀態(tài)方程。

對 中的四個參量兩兩控制，則可得到理想氣體的五個實驗定律：

pV nRT

①玻意耳定律：一定質(zhì)量，一定溫度，=；

pVC

②查理定律：一定質(zhì)量，一定體積，/=；

pTC

③蓋-呂薩克定律：一定質(zhì)量，一定壓強，/=；

VTC

④阿伏伽德羅定律：等溫等壓氣體混合，∝；

Vn

⑤道爾頓分壓定律：等溫等容氣體混合，∝。

pn

ii

（混合氣體的壓強，等于各種氣體單獨產(chǎn)生壓強的代數(shù)和，且各種氣體單獨產(chǎn)生的壓強與該氣體的物 質(zhì)

的量成正比。 ， ， ，

pV nRT pV nRT pV pV nRT nRT ppV

1122 1212 1 2

( )

( )

nnRT

1 2

）

2、混合氣體狀態(tài)方程

將兩種不同狀態(tài)的氣體混合在一起，對每一種氣體，有

pVpV

11 22

n R n R

， ，

1 2

T

2 1

兩式左右相加，得

T

n R n R

pVpV

11 22

1 2

T T

1 2

其中，等式的左邊可以改寫為

nR nR nnR nR

12 1 2

( )

，

即混合后的氣體的物質(zhì)的量乘以普適氣體常量。對混合后的理想氣體，有

聯(lián)立可得：

pV

nR T

pVpVpV

11 22

TTT

1 2

此即混合氣體的狀態(tài)方程。上述推導(dǎo)可以自然推廣到三種、四種甚至更多種混合氣體的情況；反過來， 若將

混合氣體分散成不同的部分，方程就變成

pV pVpV

pVpVpVpV

11 22 33 44

TTTT

1 2 3 4

11 22

...

T TT

1 2

... ...

如果混合前是幾部分，混合后又分為另外的幾部分，很容易證明

如果混合前后溫度不變，還可以將上式簡化為

pVpVpVpV

11 22 33 44

... ...

二、高中物理中常見混合氣體題型

1、氣體混合或打氣

【例 1】如圖所示，噴灑農(nóng)藥用的某種噴霧器，其藥液桶的總?cè)莘e為 14 L，裝入藥液后，封閉在藥液

上方的空氣體積為 2 L，氣壓為 1 atm打氣筒活塞每次可以打進(jìn)氣壓為 1 atm、體積為 02 L 的空氣(不

...

考慮環(huán)境溫度的變化)

(1)

要使藥液上方的氣體壓強增大到 5 atm，應(yīng)打氣多少次?

(2)

如果藥液上方的氣體壓強達(dá)到 5 atm 時停止打氣，并開始向外噴藥，那么

當(dāng)噴霧器不能再向外噴藥時，筒內(nèi)剩下的藥液還有多少升?

[解析] (1)這個過程實際上是外部打進(jìn)氣體與噴霧器原有氣體的混合，且混合后氣體的總體積仍然是 2L，

設(shè)應(yīng)打氣 次，則有

n

npV pVpV

000 0

其中 1 atm，02 L，2 L，5 atm，解得 40(次)

p=V=.V=p=n=.

00

(2)不能向外噴藥時，是噴霧器內(nèi)的氣壓降低到等于外界大氣壓時，這個過程中，沒有漏氣，因此有

pVpV

0 0

解得 ′10 L，剩下的藥液 ′′14 L-10 L=4 L

V=V=.

【例 2】如圖，一底面積為 、內(nèi)壁光滑的圓柱形容器豎直放置在水平地面上，開

S

口向上，內(nèi)有兩個質(zhì)量均為 的相同活塞 和 ；在 與 之間、與容器底面之間

m A BA B B

分別封有一定量的同樣的理想氣體，平衡時體積均為 。已知容器內(nèi)氣體溫度始終不變，

V

重力加速度大小為 ，外界大氣壓強為 。現(xiàn)假設(shè)活塞 發(fā)生緩慢漏氣，致使 最終

gpB B

0

與

容器底面接觸。求活塞 移動的距離。

A

[解析]設(shè) 與 之間、與容器底面之間的氣體壓強分別為 、，在漏氣前，

A B B pp

12

mg

對 ，有 ＝＋，

App

10

對 ，有 ＝＋，

Bpp

21

S

mg

S

mg

B AB pVpp

最終與容器底面接觸后，設(shè) 間的壓強為 ，氣體體積為 ′，則有 ＝＋，

0

S

因為溫度始終不變，對于混合氣體，有

pVpVpV

12

＋＝′，

2′

VV

漏氣前 距離底面的高度為 ＝，漏氣后 距離底面的高度為 ′＝，

A hA h

S S

Δ＝′－

hhh

聯(lián)立可得

mgV

。

pSmg S

0

＋

【例 3】如圖所示蹦蹦球是一種兒童健身玩具，小明同學(xué)在 17 ℃的室內(nèi)對蹦蹦球充氣，已知兩球的體

積約為 2 L，充氣前的氣壓為 1 atm，充氣筒每次充入 0.2 L 的氣體，忽略蹦蹦球體

積變化及充氣過程中氣體溫度的變化，求：

(1)

充氣多少次可以讓氣體壓強增大至 3 atm；

(2)

室外溫度達(dá)到了－13 ℃，蹦蹦球拿到室外后，壓強將變?yōu)槎嗌佟?/span>

解析：(1)設(shè)充氣 次可以讓氣體壓強增大至 3 atm，據(jù)題知充氣過程中氣體

n

發(fā)生等溫變化，以蹦蹦球內(nèi)原來的氣體和所充的氣體整體為研究對象，有

pVnpVpV

002

＋Δ＝，

解得 ＝20(次)。

n

(2)當(dāng)溫度變化，氣體發(fā)生等容變化，有

－13＋273

T

3

可得 ＝＝×3 atm≈2.7 atm。

p p

3 2

pp

23

＝，

TT

2 3

17＋273

2、抽氣漏氣或分裝

【例 4】(2016·全國卷Ⅱ)一氧氣瓶的容積為 0.08 m，開始時瓶中氧氣的壓強為 20 個大氣壓。某實

3

驗

室每天消耗 1 個大氣壓的氧氣 0.36 m。當(dāng)氧氣瓶中的壓強降低到 2 個大氣壓時，需重新充氣。若氧氣的溫

3

度保持不變，求這瓶氧氣重新充氣前可供該實驗室使用多少天。

解析：設(shè)氧氣開始時的壓強為 ，體積為 ，后來氧氣變成了兩個部分，一部分剩在氧氣瓶中，壓強

pV

11

變?yōu)?/span> (2 個大氣壓)時，體積為 ，還有一部分就是 天消耗的氧氣，其中每天消耗的氧氣壓強為 、

pVn p

210

體

積為Δ，則有

V

T

2

pVpVnpV

11 21 0

，

代入數(shù)據(jù)得 ＝4(天)。

n

【例 5】用容積為Δ的活塞式抽氣機(jī)對容積為 的容器中的氣體抽氣，如圖

V V

0

所示。設(shè)容器中原來的氣體壓強為 ，抽氣過程中氣體溫度不變。求抽氣機(jī)的活塞抽

p

0

氣次后，容器中剩余氣體的壓強 為多少？

n p

n

解析：當(dāng)活塞下壓時，閥門 關(guān)閉，打開，右側(cè)抽氣機(jī)氣缸中Δ體積的氣

a b V

體排出。

對于第一次抽氣，活塞上提，左邊容器中氣體均勻分散到左右兩邊容器中，氣體

壓

強降為 ，有

p

1

pVpVpV

00101

＝＋Δ，

V

0

解得 ＝

pp

10

VV

0

＋Δ

對于第二次抽氣，活塞上提，左邊容器中氣體均勻分散到左右兩邊容器中，氣體壓強降為 ，有

p

2

pVpVpV

10202

＝＋Δ，

V

0

解得 ＝ ＋Δ。

pVV p

200

2

V

0

以此類推，第 次抽氣后容器中氣體壓強降為 ＝ ＋Δ。

n pVV p

n

0

n

0

【例 6】某容積為 20 L 的氧氣瓶裝有 30 atm 的氧氣，現(xiàn)把氧氣分裝到容積為 5 L 的小鋼瓶中，使每

個小鋼瓶中氧氣的壓強為 5 atm，若每個小鋼瓶中原有氧氣壓強為 1 atm，問能分裝多少瓶？(設(shè)分裝過程

中無漏氣，且溫度不變)

解析：設(shè)最多能分裝 個小鋼瓶，并選取氧氣瓶中的氧氣和 個小鋼瓶中的氧氣整體為研究對象分

n n

裝過程中溫度不變，且有

分裝前，氧氣瓶中 ＝30 atm、＝20 L，每個小鋼瓶中 ＝1 atm，＝5 L；分裝到最后一瓶時，

pVpV

1122

氧氣瓶中 ′＝5 atm、＝20 L，而每個小鋼瓶中 ′＝5 atm，＝5 L，則有

pVpV

1122

pVnpVpVnpV

11221122

＋＝′＋′，

代入數(shù)據(jù)解得 ＝25(瓶)。

n

針對訓(xùn)練：

h

1、圓柱形噴霧器高為 ，內(nèi)有高度為的水，上部封閉有壓強為 、溫度為 的空氣將噴霧器移到室

hpT.

00

2

內(nèi)，一段時間后打開噴霧閥門 K，恰好有水流出已知水的密度為，大氣壓強恒為 ，噴霧口與噴霧器

.ρp

0

等

高忽略噴霧管的體積，將空氣看作理想氣體

..

(1)

求室內(nèi)溫度;

(2)

在室內(nèi)用打氣筒緩慢向噴霧器內(nèi)充入空氣，直到水完全流出，求充入的

空氣與原有空氣的質(zhì)量比

.

[解析] (1)設(shè)噴霧器的橫截面積為 ，室內(nèi)溫度為 ，氣體體積為 ，壓強

STV

10

，

V =S

為 ，由噴霧口與內(nèi)部液面高度差為，有

pp=p+ρ

110

2

，

氣體做等容變化，有

1

2

2

g

h

h

h

解得

T= T

10

1 +

qgh

2p

0

p + qg

p

0

h

=

0

T

0

2

T

1

(2)以充氣結(jié)束后噴霧器內(nèi)空氣為研究對象，排完水后，壓強為 ，體積為 =，有 。

pVShp=p+ρgh

2220

則

打氣前后，有

其中 ， ，則充入的空氣與原有空氣的質(zhì)量比為

pVnRT pV nRT

11 10

解得

gh

m p

pVpV pV

11 022

，

m

n mn

1 1

2 3

0

mpgh

1 0

2

2、一太陽能空氣集熱器，底面及側(cè)面為隔熱材料，頂面為透明玻璃板，集熱器容積為 ，開始時內(nèi)

V

0

部封閉氣體的壓強為 。經(jīng)過太陽曝曬，氣體溫度由 ＝300 K 升至 ＝350 K。

pTT

001

(ⅰ)求此時氣體的壓強；

(ⅱ)保持 ＝350 K 不變，緩慢抽出部分氣體使氣體

T

1

壓強再變?yōu)?/span> ，求集熱器內(nèi)剩余氣體的質(zhì)量與原來總質(zhì)量的

p

0

比

值，判斷在抽氣過程中剩余氣體是吸熱還是放熱，并簡述

原因。

[解析](ⅰ)設(shè)升溫后氣體的壓強為 ，

p

1

pp

01

有

＝

7

代入數(shù)據(jù)得 ＝。

pp

10

6

(ⅱ)抽氣過程溫度不變，

有

其中 ， ，則集熱器內(nèi)剩余氣體的質(zhì)量與原來總質(zhì)量的比值為

pVnRTpVnRT

10 0 1 00 1

TT

0 1

pVpVpV

10 00 22

解得

m

m

0

6

7

m n

mn

0 0

因為抽氣過程中剩余氣體溫度不變，故內(nèi)能不變，而剩余氣體膨脹對外做功，所以根據(jù)熱力學(xué)第一定 律

可知，剩余氣體要吸熱。

3、如圖 K347 所示，光滑導(dǎo)熱活塞 將體積為 的導(dǎo)熱容器分成 、

-C VA

0

B AB A

兩室，、中各封有一定質(zhì)量的同種氣體，室左側(cè)連接有一 U 形氣壓

計(U 形管內(nèi)氣體的體積忽略不計)，室右側(cè)有一閥門 K，可與外界大氣相

B

通，外界大氣壓強等于 76 cmHg，氣溫恒定當(dāng)光滑導(dǎo)熱活塞 靜止時，、

.C A

B .

兩室容積相等，氣壓計水銀柱高度差為 38 cm現(xiàn)將閥門 K 打開，當(dāng)活塞 C

不再移動時，求:

(1)

A

室的體積;

(2)

B .

室中從閥門 K 逸出的氣體質(zhì)量與原有質(zhì)量的比值

[解析] (1)閥門 K 閉合，室的體積為 ，壓強為 (7638) cmHg114 cmHg，閥門 K 打開，

A V=Vp=+=A

AA

0

2

1

室的體積為 ，壓強為 76 cmHg，有

V'p'=

AA

pV=p'V'

AAAA

，

解得 075

V'=.V.

A

0

(2)閥門 K 打開后，有

pVpVpV

BB B

00

其中05，

VV

B B

.V

0

025，而

.V

0

pVnRT pV

BB

0 0

，

nRT

，

B

室中從閥門 K 逸出的氣體質(zhì)量與原有質(zhì)量之比為

解得 。

m

m

0

m n

mn

0 0

2

3