高一上冊數學函數應用知識點

高一上冊數學函數應用知識點

高一上冊數學函數應用知識點

在年少學習的日子里，大家對知識點應該都不陌生吧？知識點是

知識中的最小單位，最具體的內容，有時候也叫“考點”。那么，都

有哪些知識點呢？以下是店鋪整理的高一上冊數學函數應用知識點，

歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

一次函數

一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx（k為常數，k≠0）

二、一次函數的性質：

1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k為任意不為零的實數b取任何實數）

2、當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

1、作法與圖形：通過如下3個步驟

（1）列表；

（2）描點；

（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一

次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x

軸和y軸的交點）

2、性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等

式：y=kx+b。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x

軸總是交于（—b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。

3、k，b與函數圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時，直線必通過一、二象限；

當b=0時，直線通過原點

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函

數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限；當k<0時，直線只通

過二、四象限。

四、確定一次函數的表達式：

已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函

數的表達式。

（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式

y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和

y2=kx2+b……②

（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用：

1、當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2、當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函

數。設水池中原有水量S。g=S—ft。

六、常用公式：

1、求函數圖像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

2、求與x軸平行線段的中點：|x1—x2|/2

3、求與y軸平行線段的中點：|y1—y2|/2

4、求任意線段的長：√（x1—x2）^2+（y1—y2）^2（注：根

號下（x1—x2）與（y1—y2）的平方和）

二次函數

一、定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開

口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越

大開口就越小，IaI越小開口就越大。）

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

二、二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a（x—h）^2+k[拋物線的頂點P（h，k）]

交點式：y=a（x—x？）（x—x？）[僅限于與x軸有交點A（x？，

0）和B（x？，0）的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax？，x？=（—b±√b^2—4ac）

/2a

三、二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

四、拋物線的性質

1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=—b/2a。

對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2、拋物線有一個頂點P，坐標為P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）

當—b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2—4ac=0時，P在x軸

上。

3、二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

5、常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6、拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2—4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2—4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2—4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數

（x=—b±√b^2—4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

五、二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2+bx+c=0

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1、二次函數y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，

y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它

們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式頂點坐標對稱軸

y=ax^2（0，0）x=0

y=a（x—h）^2（h，0）x=h

y=a（x—h）^2+k（h，k）x=h

y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）x=—b/2a

當h>0時，y=a（x—h）^2的.圖象可由拋物線y=ax^2向右平

行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。

當h>0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再

向上移動k個單位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

當h>0，k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再

向下移動|k|個單位可得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

當h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動

k個單位可得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

當h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動

|k|個單位可得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象，通過配方，

將一般式化為y=a（x—h）^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱

軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。

2、拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象：當a>0時，開口向上，

當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=—b/2a，頂點坐標是（—b/2a，

[4ac—b^2]/4a）。

3、拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，當x≤—b/2a時，

y隨x的增大而減小；當x≥—b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，

當x≤—b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥—b/2a時，y隨x的增

大而減小。

4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

（1）圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0，c）；

（2）當△=b^2—4ac>0，圖象與x軸交于兩點A（x？，0）和B

（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

（a≠0）的兩根。這兩點間的距離AB=|x？—x？|

當△=0。圖象與x軸只有一個交點；

當△<0。圖象與x軸沒有交點。當a>0時，圖象落在x軸的上方，

x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任

何實數時，都有y<0。

5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），則當

x=—b/2a時，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a。

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最

值的取值。

6、用待定系數法求二次函數的解析式

（1）當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對

對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax^2+bx+c（a≠0）。

（2）當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式

為頂點式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。

（3）當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析

式為兩根式：y=a（x—x？）（x—x？）（a≠0）。

7、二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的

綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考

題，往往以大題形式出現。

反比例函數

形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

反比例函數圖像性質：

反比例函數的圖像為雙曲線。

由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關于原

點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上

任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩

形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數圖像。

當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

知識點：

1、過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂

線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2、對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數（即y=k/

（x±m）m為常數），就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。

（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

【高一上冊數學函數應用知識點】