初中數學數據分析知識點詳細全面)

第五講、數據分析

一、數據的代表

（一）、（1）平均數：一般地，如果有個數

n

xx?x

12n

,,,,

那么，

x=(x+x+?+x)

作“拔”。

x

1

12n

叫做這個數的平均數，讀

n

x

n

注：如果有個數

n

x,x,,x

12n

?

的平均數為的平均數為

xx

，則①； ②的平均數為

ax,ax,,ax

12

?

n

a

x+b,x+b,,x+b

12n

?

x

+

b

； ③。

ax+b,ax+b,,ax+b

12n

?

的平均數為

a

x

+b

（2）加權平均數：如果個數中，出現次，出現次，…，出現次（這里

n

xfxf

1122

xf

kk

f+f+?f=n

12k

），

那么，根據平均數的定義，這個數的平均數可以表示為，這樣求得的平均數叫做加權平均

n

x=

數，其中

f,f,,f

12k

?

叫做權。

（3）平均數的計算方法

xfxfxf

1122kk

++?

x

n

1

(x+x+?+x)x=

12n

①定義法:當所給數據比較分散時，一般選用定義公式：

n

xfxfxf

++?

22kk11

②加權平均數法：當所給數據重復出現時，一般選用加權平均數公式：

x=

，其中

n

f+f+?f=n

12k

。

x,x,?,x,

12n

③新數據法：當所給數據都在某一常數的上下波動時，一般選用簡化公式：。其中，常數通常

aa

x=x'+a

1

取接近這組數據平均數的較“整”的數，是新數

x'xa

1122

=x'=xa

，，…，。

x'=xa

nn

x'=(x'+x'+?+x')

12n

n

據的平均數（通常把

xx?xx',x',?,x',

12n12n

,,,,

叫做原數據，叫做新數據）。

（4）算術平均數與加權平均數的區別與聯系

①聯系：都是平均數，算術平均數是加權平均數的一種特殊形式（它特殊在各項的權相等，均為1）。

②區別：算術平均數就是簡單的把所有數加起來然后除以個數。而加權平均數是指各個數所占的比重不同，按照相

應的比例把所有數乘以權值再相加,最后除以總權值。

（二）眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。（注：不是唯一的，可存在多個）

（三）中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組

數據的中位數。

（注：①在找中位數的時候一定要把數據按大小依次排列；②如果是奇數，則中位數是第個；若是偶數，則中位

nn

數處于第和第

nn

22

+1

個的平均數；③中位數一般都是唯一的）

n+1

2

二、數據的波動

（一）極差：

（1）概念：一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差。

（2）意義：能夠反映數據的變化范圍，是最簡單的一種度量數據波動情況的量，極差越大，波動越大。

（二）方差：

（1）概念：在一組數據

xx?x

12n

,,,,

中，各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差。通常用

x

“

s

”表示，即

s=[(xx)+(xx)+?+(xx)]

2222

2

1

12n

n

（2）意義：衡量數據波動大小的量，方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，數據的波動越穩定。

222

2

注：如果有個數

n

x,x,,x

12n

?

的方差為的方差為的方差為

sss

，則①； ②；

ax,ax,,ax

12

?

n

a

x+b,x+b,,x+b

12n

?

2

2

③。

ax+b,ax+b,,ax+b

12n

?

的方差為

a

s

（三）方差的計算

（1）基本公式：

s=[(xx)+(xx)+?+(xx)]

2222

1

12n

n

n

xs=[(x+x+?+x)]

此公式的記憶方法是：方差等于原數據也可寫成

2

（2）簡化計算公式（Ⅰ）：

=x+x+?+xnx

1

2222

平方的平均數減去平均數的平方。

（3）簡化計算公式（Ⅱ）:

s=[(x'+x'+?+x')nx']

2222

1

12n

n

2

1

12n

n

當一組數據中的數據較大時，可以依照簡化平均數的計算方法，將每個數據同時減去一個與它們的平均數接近的常數

2

1

2222

此公式的記憶

a

，得到一組新數據，，…，，那么，

x'=xax'=xa

1122

x'=xa

nn

s=[(x'+x'+?+x')]x'

12n

n

方法是：方差等于新數據平方的平均數減去新數據平均數的平方。

（4）新數據法：原數據的方差與新數據，，…，的方差相等，也

x,x,?,x,

12n

x'=xax'=xa

1122

（四）方差的算數平方根叫做這組數據的標準差，用“s”表示，即

x'=xa

nn

就是說，根據方差的基本公式，求得

xx?x

',',,',

12n

的方差就等于原數據的方差。

s=s=[(xx)+(xx)+?+(xx)]

2222

1

12n

n

三、統計學中的幾個基本概念

1、總體:所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體:總體中每一個考察對象叫做個體。

3、樣本:從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。

4、樣本容量:樣本中個體的數目叫做樣本容量。

5、樣本平均數:樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數。

6、總體平均數:總體中所有個體的平均數叫做總體平均數，在統計中，通常用樣本平均數估計總體平均數。