解排列組合問題的常用技巧
解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確問題是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答。同時還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。結合我們幾年的教學下面介紹幾種常用的技巧。
一、合理分類與準確分步法
解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，作到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。
【例1】五個人從左到右排成一排，其中甲不在中間，乙不在末尾，不同的排法有 （ ）
A ．96種
B ．120種
C ．78種
D ．72種
分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：①若甲在末尾，剩下四人可自由排，有4
4
A 種排法；②若甲在第一，二，四位置上，則有1
31
33
3A A A 種排法。由分類計數原理，不同排法
共有781
3133344=+A A A A 種，答案：C
二、正難反易轉化法
對于一些生疏問題或直接求解較為復雜或較為困難問題，從正面入手情況較多，不易解決，這時可從反面入手，將其轉化為一個簡單問題來處理。
【例2】馬路上有10只路燈，為節約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，也不能關掉兩端的燈，那么滿足條件的關燈方法共有多少種？
分析： 關掉第1只燈的方法有8種，關第二只，第三只時需分類討論，十分復雜。若從反面入手考慮，每一種關燈的方法對應著一種滿足題設條件的亮燈與關燈的排列，于是問題轉化為“在7只亮燈的8個空中插入3只暗燈，但還要滿足不插在兩端”的問題。故關燈
方法種數為3
6C 。
三、混合問題“先選后排”
對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。 【例3】4個不同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，恰有一空盒的方法有多少種？ 分析： 因有一空盒，故必有一盒子放兩球。①選：從四個球中選2個有2
4C 種，從4個盒中選3個盒有3
4C 種；②排：把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3個元素，對
選出的3盒作全排列有33A 種，故所求放法有1443
33424=A C C 種。
四、特殊元素“優先安排法”
對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。
【例4】用0，1，2，3，4，五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ）。 A ． 24個 B ．30個 C ．40個 D ．60個
分析：由于該三位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應優先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分為兩類：① 0排末尾時，
有2
4A 個1。②0不排在末尾時，則有131312A A A 個，由分數計數原理，共有偶數1
3131224A A A A +=30
個，答案：B
練習1、從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，
若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）
（A ） 280種 （B ）240種 （C ）180種 （D ）96種
練習2、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數. 解：由于末位和首位有特殊要求，應該優先安排，以免不合要求的元素占了這
兩個位置先排末位共有_1
3C __
然后排首位共有_1
4
C __
最后排其它位置共有___ 由分步計數原理得2883
41413
=A C C 五、局部問題“整體優先法”
對于局部排列問題，可先將局部看作一個元與其余元素一同排列，然后在進行局部排列。 【例5】7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？
分析： 甲、乙及間隔的3人組成一個“小整體”，這3人可從其余5人中選，有2
5C 種；這個“小整體”與其余2人共3個元素全排列有3
3A 種方法，它的內部甲、乙兩人有2
2A 種站
法，中間選的3人也有33A 種排法，故符合要求的站法共有7203
3223325=A A A C 種。
六、總體淘汰法
對于含有否定字眼的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時應注意既不能多減也不能少減。
例如在例4中，也可用此法解答：五個數字組成三為數的全排列有3
5A 個，排好后發現
0不能排首位，而且數字1，3也不能排末位，這兩種排法要除去，故有30
1
313222435=--A A A A A 個偶數
七、相鄰問題用“捆綁法”法
對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看成一個“大”的元素與其它的元素排列，然后再對相鄰元素內部進行排列。
【例6】7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作一個“元”，與其余4人共5個元作全排列，有5
5A 種排
法，而甲乙、丙、之間又有33A 種排法，故共有55A 72003
3=A 種排法。
練習、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳
列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（ ） （A ）
5
5
44A A （B ）
5
5
4433A A A （C ）
5
5
4413A A A （D ）
5
5
4422A A A
34
A 13
C 4
34
A
分析：先把三種不同的畫捆在一起，各看成整體，但水彩畫不放在兩端，則整體有22A 種
不同的排法，然后對4幅油畫和5幅國畫內部進行全排，有5
5
44A A 種不同的排法，所以不同
的陳列方式有
5
5
4422A A A 種，選D 。
八、不相鄰問題用“插空法”
對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。
【例7】在例6中， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？
分析： 先將其余四人排好有4
4A 種排法，再在這人之間及兩端的5個“空”中選三個位
置讓甲乙丙插入，則有35A 種方法，這樣共有14003
544=A A 種不同排法。
九、定序問題倍縮、空位法
對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數除以這幾個元素的全排列數。
【例8】(倍縮法)6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種？
分析： 不考慮附加條件，排隊方法有6
6A 種，而其中甲、乙、丙的3
3A 種排法中只有
一種符合條件。故符合條件的排法有1203
366=÷A A 種。
（空位法）設想有6個位置讓除甲乙丙以外的3人排列共有3
6A 種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1 種坐法，則共有3
6A 種方法
十、元素相同問題隔板
將n 個相同的元素分成m 份（n ，m 為正整數），每份至少一個元素，可以用
m-1塊隔板，插入n 個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為1
1--m n C
【例9】6人帶10瓶汽水參加春游，每人至少帶1瓶汽水，共有多少種不同的帶法？
分析：將所求問題轉化——10個相同的球放到6個不同的盒子里，每個盒子里至少放1個球，有多少種不同的放法。
即把排成一行的10個“0”分成6份的方法數，這樣用5塊閘板插在9個間隔中，共有
種12659=C 即共有126種不同的帶法。
練習.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
十一、分排問題“直排法”、環排問題線排
把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統一排成一排的方法來處理。
【例10】7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？ 分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有7
7A 種。
一般地,n 個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n 個不同元素
中取出m 個元素作圓形排列共有
m
n A m
1種排法 例如. 5人圍桌而坐，共有多少種坐法?
甲
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于：坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人甲并從此位置把圓形展成直線其余4人共有種44A 種排法，即)15( ！
十二、枚舉法
例11、 將數字1、2、3、4填在標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填上一個數字，且每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有幾種？
它們是：
把符合條件的安排不重復、不遺漏的一一列舉出來，是
最簡單、最原始但也是最基本的計數方法．教材中多次應用到，高考中常用枚舉法解決問題． 例12．某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方法有（ ）
A ．5種
B ．6種
C ．7種
D ．8種
解析：根據所給選項數字較小，不難用枚舉法解決．
單片買3張，磁盤買2盒，花錢320元；單片買3張，磁盤買3盒，花錢390元；單片買3張，磁盤買4盒，花錢460元；單片買4張，磁盤買2盒，花錢380元；單片買4張，磁盤買3盒，花錢450元；單片買5張，磁盤買2盒，花錢440元；單片買6張，磁盤買2盒，花錢500元．故選購方式有7種，選A ．
例13．從1到100的一百個自然數中，每次取出兩個數，使其和大于100，這樣的取法共有多少種？
解： 從1到100的一百個自然數中，每次取出兩個數，其中必有一個是較小的．我們先按較小的一數枚舉，而當較小的數取定以后，使和超過100的另一個相應較大的數不難一一例舉，所有情況如下表：
甲
乙 丙
丁
戊
1 2
3
4
4 4 1
3 1 3
1 4
3 3
2 1 2
3 2 1
1 3
4 4
4 1 2
2 2 1
所以共有：1+2+3+…+49+50+49+…+1=2500種不同的取法．
【例14】9 人組成籃球隊，其中7人善打前鋒，3人善打后衛，現從中選5人（兩衛三鋒，且鋒分左、中、右，衛分左右）組隊出場，有多少種不同的組隊方法？
分析：由題設知，其中有1 人既可打鋒，又可打衛，則只會鋒的有6人，只會衛的有2 由表知，共有9002
233262212362236=++A A C A C A A A 種方法。
十三、分組問題
例15：8本不同的書，按照以下要求分配，各有多少種不同的分法?⑴一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；⑵甲得1本，乙得2本，丙得5本；⑶甲、乙、丙三人， 一人1本, 一人2本, 一人5本；⑷平均分給甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆，一堆4本，一堆2本，一堆2本；⑺給三人一人4本, 一人2本, 一人2本。
解析：小題⑴屬非平均分組問題，僅僅分組, 分組與順序無關，是組合問題，共有1
1
2358C C C 種不同的分法；小題⑵屬非平均分組定向分配問題，先分組，再分配, 但是是定向分配不涉及排序，共有1
12
35
8C C C 種不同的分法；小題⑶屬非平均分組不定向分配問題，先分組，再分配, 與順序有關，需排序，共有3
31
12
35
8A C C C 種不同的分法；小題⑷屬平均分組不定向分配問題，先分
組有4422242628A C C C C 種分法，再分配, 與順序有關, 有4
4A 種排列，共有444
422242628)(A A C C C C 種不同的分配方法；小題⑸屬平均分組問題, 分組與順序無關，是組合問題，有4
4
2
2
242628A C C C C 種不
