排列組合解法
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
1.認(rèn)真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進(jìn)行,確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
1、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).
練習(xí)、 7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
2、7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
練習(xí)、某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為
三.不相鄰問題插空策略
3、一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？
練習(xí)、某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為
四.定序問題倍縮空位插入策略
4、7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？
練習(xí)、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
五.重排問題求冪策略
5、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法
練習(xí)
1．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法
六.環(huán)排問題線排策略
6、 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有
練習(xí)、 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？
七.多排問題直排策略
7、8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.
練習(xí)、有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是
八.排列組合混合問題先選后排策略
8、有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.
解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
練習(xí)、一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 種
九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略
9、用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？
小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。
練習(xí)、
１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有 種
十.元素相同問題隔板策略
10、有10個運(yùn)動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？
將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為
練習(xí)題：
1．10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？
2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)？
十一.正難則反總體淘汰策略
11、從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的
取法有多少種？
有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,
練習(xí)、我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的
抽法有多少種?
十二.平均分組問題除法策略
12、 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。
練習(xí)題：
1、將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？
2、10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的
分組方法
3、某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安
排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______
十三. 合理分類與分步策略
例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法
解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。
練習(xí)：
1、從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有
2、3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法.
十四.構(gòu)造模型策略
14、馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？
一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決
練習(xí)、某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？
十五.實(shí)際操作窮舉策略
15、設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法
對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果
練習(xí)
1、同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？
2、給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 種
十六. 分解與合成策略
16、 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除
練習(xí):正方體的8個頂點(diǎn)可連成多少對異面直線
分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略
十七.化歸策略
17、 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？
處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題
練習(xí)、某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？
十八.數(shù)字排序問題查字典策略
18、由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？
數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。
練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是
十九.樹圖策略
19、人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有______
對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果
練習(xí): 分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅（）的不同坐法有多少種？
二十.復(fù)雜分類問題表格策略
20、有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法
一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達(dá)到好的效果.
