排列組合問(wèn)題的基本類型及解題方法
解決排列組合問(wèn)題要講究策略，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無(wú)序)，還是排列與組合混合問(wèn)題。其次，要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利用兩個(gè)基本原則進(jìn)行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決問(wèn)題，分類必須滿足兩個(gè)條件：①類與類必須互斥(不相容)，②總類必須完備(不遺漏)；乘法原理的特征是分步解決問(wèn)題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。分類與分步是解決排列組合問(wèn)題的最基本的思想策略，在實(shí)際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機(jī)結(jié)合，可以是類中有步，也可以是步中有類。
以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用準(zhǔn)加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗(yàn)真?zhèn)巍?
（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”
對(duì)于特殊元素的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。在操作時(shí)，針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。
例1： 這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個(gè)？
解法一：(元素優(yōu)先)分兩類：第一類，含，在個(gè)位有種，在十位有種；第二類，不含，有種。 故共有種。
注：在考慮每一類時(shí)，又要優(yōu)先考慮個(gè)位。
解法二：(位置優(yōu)先)分兩類：第一類，在個(gè)位有種；第二類，不在個(gè)位，先從兩個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)放個(gè)位，再選一個(gè)放百位，最后考慮十位，有種。
故共有
（二）總體淘汰法
對(duì)于含有否定詞語(yǔ)的問(wèn)題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減也不能少減，例如在例中也可以用此法解答：個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列為，排好后發(fā)現(xiàn)不能在首位，而且和不能排在末尾，這兩種不合題意的排法要除去，故有個(gè)偶數(shù)．
（三）合理分類與準(zhǔn)確分步
解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分布層次清楚，不重不漏．
例2：個(gè)人從左到右站成一排，甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置，不同的站法有
解：由題意，可先安排甲，并按其進(jìn)行分類討論：
（1）若甲在第二個(gè)位置上，則剩下的四人可自由安排，有種方法；
（2）若甲在第三個(gè)或第四個(gè)位置上，則根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理不同的站法有種站法；再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有：種．
（四）相鄰問(wèn)題：捆綁法
對(duì)于某些元素要求相鄰排列的問(wèn)題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個(gè)元素再與其 它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。
例3： 個(gè)男生個(gè)女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？
解：先把個(gè)女生捆綁為一個(gè)整體再與其他個(gè)男生全排列。同時(shí)，個(gè)女生自身也應(yīng) 全排列。由乘法原理共有種。
（五）不相鄰問(wèn)題用“插空法”
對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可（注意有時(shí)候兩端的空隙的插法是不符合題意的）.
例4： 個(gè)男生個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？
解：先排無(wú)限制條件的男生，女生插在個(gè)男生間的個(gè)空隙，由乘法原理共有種。
注意：①分清“誰(shuí)插入誰(shuí)”的問(wèn)題。要先排無(wú)限制條件的元素，再插入必須間隔的元素；
②數(shù)清可插的位置數(shù)；③插入時(shí)是以組合形式插入還是以排列形式插入要把握準(zhǔn)。
例5： 馬路上有編號(hào)為的盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)兩端的路燈，則滿足要求的關(guān)燈方法有幾種？
解：由于問(wèn)題中有盞亮盞暗，又兩端不可暗，故可在盞亮的個(gè)間隙中插入個(gè)暗的即可，有種。
（六）順序固定問(wèn)題用“除法”或選位不排或先定后插
對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)。或先在總位置中選出順序一定元素的位置而不參加排列，然后對(duì)其它元素進(jìn)行排列。也可先放好順序一定元素，再一一插入其它元素。
例6： 人參加百米跑，若無(wú)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有幾種情況？
解法一：先人全排有種，由于全排中有甲、乙的全排種數(shù)，而這里只有種是 符合要求的，故要除以定序元素的全排列種，所以有種。
解法二：先在個(gè)位置中選個(gè)位置放定序元素(甲、乙)有種，再排列其它人有， 由乘法原理得共有種。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三個(gè)中的第一人有種方法，接著插入第二人有種 方法，最后插入第三人有種方法。由乘法原理得共有種。
（七）“小團(tuán)體”排列，先“團(tuán)體”后整體
對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先按制約條件“組團(tuán)”并視為一個(gè)元素再與其它元素排列。
例7:四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)演唱會(huì)，演出的出場(chǎng)順序要求兩名女歌手之 間有兩名男歌手，則出場(chǎng)方案有幾種？
解：先從四名男歌手中選人排入兩女歌手之間進(jìn)行“組團(tuán)”有種，把這個(gè)“女男男女”小團(tuán)體視為人再與其余男進(jìn)行排列有種，由乘法原理，共有種．
（八）分排問(wèn)題用“直排法”
把個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，若沒(méi)其他的特殊要求，可用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理．
例8：個(gè)人坐兩排座位，第一排坐人，第二排坐人，則有 種排法．
解：個(gè)人，可以在前后兩排隨意就座，沒(méi)有其他的限制條件，故兩排可以看成一排來(lái)處理， 所以不同的坐法有．
(九)逐步試驗(yàn)法
如果題中附加條件增多,直接解決困難,用試驗(yàn)法尋找規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法．
例9：將數(shù)字填入標(biāo)號(hào)為的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填一個(gè)，
則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有 種。
解：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為復(fù)雜，可用試驗(yàn)法逐步解決．
第一方格內(nèi)可填或或．如填，則第二方格內(nèi)可填或或．若第二方格內(nèi)填,則第三方格內(nèi)只能填，第四方格內(nèi)填．若第二方格填，則第三方格應(yīng)填， 第四方格應(yīng)填．同理，若第二方格填，則第三、四方格應(yīng)分別填，。因而第一方格填共有種方法。同理，第一格填或也各有種，所以一共有種方法。
（十）探索規(guī)律法
對(duì)于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題需要仔細(xì)分析，探索出其中規(guī)律，再予以解決。
例10：從到的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使他們的和大于，則不 同的取法種數(shù)有 種。
解：此題的數(shù)字較多，情況也不一樣，需要分析摸索其規(guī)律。為方便，兩個(gè)加數(shù)中較小的為被加數(shù)，，為被加數(shù)的有種；同理，為被加數(shù)的有種；為被加數(shù)的有種；……；為被加數(shù)的有種；為被加數(shù)的有種；但為被加數(shù)的只有種；為被加數(shù)的只有種；……；為被加數(shù)的只有種，故不同的區(qū)法有：
種。
（十一）“住店”問(wèn)題
解決“允許重復(fù)排列”的問(wèn)題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可重復(fù)，另一類元素不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看著“客”，能重復(fù)的元素看著“店”，再利用分步計(jì)數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店法”。
例11：名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能種數(shù)是 種。
解：應(yīng)同一學(xué)生可同時(shí)奪得項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將名學(xué)生看著家“店”，五項(xiàng)冠軍看著名“客”，每個(gè)客有種住宿方法，由分步計(jì)數(shù)原理得種。
（十二）特征分析法
有約束條件的排數(shù)問(wèn)題，必須緊扣題中所提供的數(shù)字和結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。
例12：由六個(gè)數(shù)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)且是的倍數(shù)的五位數(shù)？
解：分析數(shù)字的特征：的倍數(shù)的數(shù)既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)。其中的倍數(shù)又滿足“各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是的倍數(shù)”的特征。而且是的倍數(shù)，從個(gè)數(shù)字中取個(gè)，使之和還是的倍數(shù)，則所去掉的數(shù)字只能是或。因而可以分兩類討論：第一類，所排的五位數(shù)不含，即由作數(shù)碼；首先從三個(gè)中任選一個(gè)作個(gè)位數(shù)字有種，然后其余個(gè)數(shù)字在其他數(shù)位上的全排列有，所以；第二類，所排的五位數(shù)不含，即由作數(shù)碼，依上法有，故種。
（十三）相同元素進(jìn)盒，用檔板分隔
例13：張參觀公園的門票分給個(gè)班，每班至少張，有幾種選法？
解：這里只是票數(shù)而已，與順序無(wú)關(guān)，故可把張票看成個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少球，可先把球排成一列，再在其中個(gè)間隔中選個(gè)位置插入塊“檔板”分成格(構(gòu)成個(gè)盒子)有種方法。
注：檔板分隔模型專門用來(lái)解答同種元素的分配問(wèn)題。
（十四）個(gè)數(shù)不少于盒子編號(hào)數(shù)，先填滿再分隔
例14： 個(gè)相同的球放入編號(hào)為的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有幾種不同的放法？
解：先用個(gè)球按編號(hào)數(shù)“填滿”各盒(符合起碼要求),再把個(gè)球放入個(gè)盒內(nèi)即可,可用塊檔板與個(gè)球一起排列(即為兩類元素的排列問(wèn)題),有種。
（十五）不同元素進(jìn)盒，先分堆再排列
對(duì)于不同的元素放入幾個(gè)不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于個(gè)元素時(shí)，不可分批進(jìn)入，必須先分堆再排入。
例15： 個(gè)老師分配到個(gè)班搞活動(dòng)，每班至少一個(gè)，有幾種不同的分法？
解：先把位老師分堆，有兩類：分布有種和分布有種，再排列到個(gè)班里有種，故共有種。
注意：不同的老師不可分批進(jìn)入同一個(gè)班，須一次到位(否則有重復(fù)計(jì)數(shù))。即“同一盒內(nèi)的元素必須一次進(jìn)入”。
（十六）兩類元素的排列，用組合選位法
例16： 級(jí)樓梯，要求步走完，每步可跨一級(jí)，也可跨兩級(jí)，問(wèn)有幾種不同的跨法？
解：由題意知，有步跨單級(jí)，步跨兩級(jí)，所以只要在步中任意選步跨兩級(jí)即可。故有種跨法。
注意：兩類元素的排列問(wèn)題涉及面很廣，應(yīng)予重視。
例17： 沿圖中的網(wǎng)格線從頂點(diǎn)到頂點(diǎn)，最短的路線有幾條？
解：每一種最短走法，都要走三段“|”線和四段“—”線，
這是兩類元素不分順序的排列問(wèn)題。故有或種走法。
例18： 從個(gè)班中選人組成校籃球隊(duì)(無(wú)任何要求)，有幾種選法？
解：這個(gè)問(wèn)題與例有區(qū)別，雖仍可看成塊“檔板”將個(gè)球分成格(構(gòu)成個(gè)盒子)，是球與檔板兩類元素不分順序的排列問(wèn)題。但某些盒子中可能沒(méi)有球，故塊“檔板”與個(gè)球一樣也要參與排成一列而占位置，故有種選法。
注意：怎樣把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為“兩類元素的排列”問(wèn)題是解題的關(guān)鍵。
（十七）元素交叉問(wèn)題 集合法
所謂集合思想，就是運(yùn)用集合的概念、邏輯語(yǔ)言、運(yùn)算、圖形等來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或非純數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法。利用集合思想解決排列組合問(wèn)題，可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，也可以防止在分類或分步的過(guò)程中出現(xiàn)重復(fù)和遺漏問(wèn)題。在利用集合思想求解時(shí)，要借助于下列一組公式，它們?nèi)菀子梦氖蠄D來(lái)驗(yàn)證。
