排列組合與概率經(jīng)典教案
兩個(gè)基本原理：
1.加法原理（分類計(jì)數(shù)原理）:做一件事,完成它有類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法, 在第二類辦法中有種不同的方法, ……,在第類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有：種不同的方法.
2.乘法原理（分步計(jì)數(shù)原理）: 做一件事,完成它有個(gè)步驟,做第一步有種不同的方法, 做第二步有有種不同的方法, ……, 做第步有種不同的方法,那么完成這件事共有： 種不同的方法.
特別注意：分類是獨(dú)立的、一次性的；分步是連續(xù)的、多次的。
三組基本概念：
1． 排列
1）排列：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元
素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。
2）排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。通常用表示。
特別地，當(dāng)時(shí)，稱為全排列，當(dāng)時(shí)，稱為選排列。
2． 組合
1）組合：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。
2）組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),記作。
3． 事件與概率
1）事件的分類：（1）必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件；（2）不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件；（3）隨機(jī)事件：在一定的條件下可能發(fā)生也可能
不發(fā)生的事件。
2）一些特殊事件：
（1）等可能事件：對(duì)于每次隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，只可能出現(xiàn)有限個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果；另外，所有不同的試驗(yàn)結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性是相等的。
（2）互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，我們把它稱為互斥事件。如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個(gè)都是互斥事件，那么就說(shuō)事件A1，A2，…，An彼此互斥。
（3）對(duì)立事件：必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件叫做對(duì)立事件。事件A的對(duì)立事件通常記作。特別地，有、的對(duì)立事件分別是、，即、。
（4）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。
3）事件的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)。
一些重要公式：
1．排列數(shù)公式 ：
這里,且。
2．組合數(shù)公式: ，這里,且。
注意：第一、二個(gè)公式分別多用于計(jì)算、證明。
3．等可能事件的概率公式：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是。如果事件A包含的結(jié)果有個(gè)，則事件A的概率為。
4．互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式：如果事件A1，A2，…,An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即：P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
特別地，1）有對(duì)立事件的概率的和等于1 即：P(A)+P（）= 1。
2）對(duì)于事件A與B及它們的和事件與及事件有下面的關(guān)系：
5．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：如果事件A1，A2，…,An相互獨(dú)立，那么這幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P（An）。
6．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率公式：如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是
Pn（k）=CPk（1－P）n－k（其中k=0,1,2,……,n）
基本思想和二十一個(gè)方法：
解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下:
1.認(rèn)真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問(wèn)題(有序)還是組合(無(wú)序)問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.
4.解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).
解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置. 先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計(jì)數(shù)原理得
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件
練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法
要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.
練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20
三.不相鄰問(wèn)題插空策略
例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？
解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種
元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端
練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30
四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略
例人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：
(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。
思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插
空模型處理
練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
五.重排問(wèn)題求冪策略
例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法
允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種
練習(xí)題：
1． 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法
六.環(huán)排問(wèn)題線排策略
例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！
一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有
練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
七.多排問(wèn)題直排策略
例人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種,則共有種
一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.
練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346
八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略
例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.
解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有
解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
