排列組合方法歸納大全
復習鞏固
1.分類計數(shù)原理(加法原理)
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，
n 1m 2m …，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：
n n m 1
2
n
N m m m =+++ 種不同的方法．
2.分步計數(shù)原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，n 1m 2m 做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：
n n m 12n
N m m m =??? 種不同的方法．
3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別
分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。
分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進行，確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).
解：由于末位和首位有特殊要求，應該優(yōu)先安排,
先排末位共有1
3
C 然后排首位共有1
4
C 最后排其它位置共有34
A 由分步計數(shù)原理得
1
1
3
434288
C C A =練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少
不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素
進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法
5
2
2
522480A A A =練習題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？
解：分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中5
5A 間包含首尾兩個空位共有種不同的方法，由分步計數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有 種46A 54
56A A
目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30四.定序問題倍縮空位插入策略
例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后用總
排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：
7
3
73/A A (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1
4
7A 種坐法，則共有種方法。
4
7A 思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
練習題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 5
10
C 五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計數(shù)原理共有種不同的排法
6
7練習題：
1．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入
原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法8
7六.環(huán)排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展
4
4A 成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！
7E 練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120七.多排問題直排策略
例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n 不同的元素沒有限制地安排在m 個位置上的排列數(shù)為種
n
m 一般地,n 個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n 個不同元素中取出m 個元素作圓形排列共有
1m
n A n
解:8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有種，再排后4個位2
4A
種
2
1
5
445A A
A
練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能
坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的小球，裝入4
個不同的盒內，每盒至少裝一個球
,
共有多少不同的裝法.
解
：第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素
(包含一個復合元素)裝入42
5C 個不同的盒內有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有4
4A 2
4
54
C A 練習題：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務，每人完成一種任務,
且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有 192 種
九.小集團問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)
有多少個？
解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有種排法，再排小集團內部共有種排法，
2
2A 2
2
22A A 由分步計數(shù)原理共有種排法.
2
2
2
222A A A 練習題：
１.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列，要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2
5
4
254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有種
2
5
5255A A A 十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個
位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有
種分法。
69C 一班二班三班七班
練習題：
1．10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？ 49
C 一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結為一排考慮，再分段研究.
解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。
將n 個相同的元素分成m 份（n ，m 為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n 個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為1
1m n C --
2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 100x y z w +++=3
103
C 十一.正難則反總體淘汰策略
例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個
奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有，只含有1個偶數(shù)的取法有，和為偶數(shù)的取法共
35C 12
55C C 有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有1
2
3
555C C C +1
2
3
5559
C C C +-練習題：我們班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內的
抽法有多少種?
十二.平均分組問題除法策略
例12. 6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取書得種方法，但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書為ABCDEF ，若第一步取
2
2
2
642C C C AB，第二步取CD，第三步取EF 該分法記為(AB,CD,EF)，則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),2
2
2
642C C C (CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ，而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法，故共有
3
3A 種分法。
222
36423/C C C A 練習題：
1 將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊, 有多少分法？（）5
4
4
2
13842/C C C A 2.10名學生分成3組，其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法 （1540）
3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______（）
2
2
2
2
4262/90C C A A =十三. 合理分類與分步策略
例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)
目，有多少選派方法
解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究
只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種，只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員
2
2
33C C 種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數(shù)原理共有
112534C C C 2255C C 種。
2211222
3353455C C C C C C C ++練習題：
1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們任選2只船或3只船，但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標準：
*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準
有些排列組合問題，正面直接考慮比較復雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.
平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以(為均分的組n
n A n 數(shù))避免重復計數(shù)。
解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。
*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結果十四.構造模型策略
例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞或
3盞，也不能關掉兩端的2盞，求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有 種
3
5C
練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）
十五.實際操作窮舉策略
例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法
解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果
2
5C 剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有種
2
52C 號盒 5號盒
練習題：
1.同一寢室4人，每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)
2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū) 域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有 72種
十六. 分解與合成策略
例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除
分析：先把30030分解成質因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依題意可知偶因數(shù)必先取2，再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，
所有的偶因數(shù)為：1
2
3
4
5
55555
C C C C C ++++練習：正方體的8個頂點可連成多少對異面直線
解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共，每個四面體有
4
81258C -=3對異面直線，正方體中的8個頂點可連成對異面直線
358174?=十七.化歸策略
例17. 25人排成5×5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？
解：將這個問題退化成9人排成3×3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)
下去.從3×3方隊中選3人的方法有種。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.
1113
2
1
C C C 一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決
對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果
分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略，把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解
決，然后依據(jù)問題分解后的結構，用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成，從而得到問題的答案 ，每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略
5
4
3
21
