教學(xué)目標(biāo)
1.進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。
2.掌握解決排列組合問(wèn)題的常用策略；能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問(wèn)題分析問(wèn)題的能力
3.學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問(wèn)題.
復(fù)習(xí)鞏固
1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(加法原理)
完成一件事，有類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有種不同的方法，…，在第類(lèi)辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不
同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
3.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別
分類(lèi)計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。
分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件．
解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下:
1.認(rèn)真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類(lèi)，或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類(lèi)。
3.確定每一步或每一類(lèi)是排列問(wèn)題(有序)還是組合(無(wú)序)問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.
4.解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類(lèi)與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).
解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計(jì)數(shù)原理得
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素.若以位置分析為主，需先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件
練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)
行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法
要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.
練習(xí)題：某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20
三.不相鄰問(wèn)題插空策略
例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？
解：分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入
第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法，由分
步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有 種
元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入
中間和兩端
練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不
相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30
四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略
例4.7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其
他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的
全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：
(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三
個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。
思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插
空模型處理
練習(xí)題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
五.重排問(wèn)題求冪策略
例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種分依此類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同
的排法
允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約
束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安
排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種
練習(xí)題：
1． 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法
的種數(shù)為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電
梯的方法
六.環(huán)排問(wèn)題線(xiàn)排策略
例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線(xiàn)其余7人共有（8-1）！種排法
即！
一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有
練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
七.多排問(wèn)題直排策略
例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種，再排后4個(gè)位置上
的特殊元素丙有種，其余的5人在5個(gè)位
置上任意排列有種，則共有種
一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.
練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)
定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同
排法的種數(shù)是 346
八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略
例8.有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的裝法.
解：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理
裝球的方法共有
解決排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加，則不同
的選法有 192 種
九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？
解：把１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法.
小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。
練習(xí)題：
１.計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà),４幅油畫(huà),５幅國(guó)畫(huà), 排成一行陳列，要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩
端，那么共有陳列方式的種數(shù)為
2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有種
十.元素相同問(wèn)題隔板策略
例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？
解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，
對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有種分
法。
