分數應用題中比的應用
一、抓不變量
【例1】有一些球，其中紅球占1/3,當再放入8個紅球后，紅球占總球數的5/14，問現在共有多少球?
解：其他球的數量沒有改變.增加8個紅球后，紅球與其他球數量之比是 5∶（14－5)＝5∶9.在沒有球增加時，紅球與其他球數量之比是 1∶（3－1）＝1∶2＝4.5∶9。因此8個紅球是5－4.5＝0.5（份）.現在總球數是
本題的特點是兩個數量中，有一個數量沒有變.把1∶2寫成4。5∶9，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解:(x＋8）∶2x＝5∶9.
【例2】甲、乙兩同學的分數比是5∶4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分,則他們的分數比是5∶7。甲、乙原來各得多少分?
解一：甲、乙兩人的分數之和沒有變化。原來要分成5＋4＝9份，變化后要分成5＋7＝12份。如何把這兩種分法統一起來?這是解題的關鍵。9與12的最小公倍數是36，我們讓變化前后都按36份來算,5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3)∶(7×3）＝15∶21。甲少得22。5分，乙多得22.5分，相當于20－15＝5份.因此原來甲得22.5÷5×20＝90（分),乙得 22。5÷5×16＝72（分).
我們再介紹一種能解本節所有問題的解法,也就是通過比例式來列方程。
解二:設原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x。根據得分變化，可列出比例式。
（5x－22。5)∶（4x＋22。5）＝5∶7 即 5(4x＋22.5)＝7（5x－22。5），15x＝12×22。5,x＝18。甲原先得分18×5＝90(分)，乙得18×4＝72（分）。
【例3】 張家與李家的收入錢數之比是8∶5，開支的錢數之比是8∶3,結果張家結余240元，李家結余270元。問每家各收入多少元？
解一：我們采用“假設"方法求解。如果他們開支的錢數之比也是8∶5,那么結余的錢數之比也應是8∶5。張家結余240元，李家應結余x元。 240∶x＝8∶5，x＝150（元）。
實際上李家結余270元，比150元多120元。這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5－3）＝60.（元）。因此可求出
解二：設張家收入是8份,李家收入是5份。張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多。
我們畫出一個示意圖：
張家開支的3倍是（8份－240）×3。 李家開支的8倍是(5份－270）×8.從圖上可以看出 5×8－8×3＝16份，相當于 270×8－240×3＝1440（元）.因此每份是1440÷16＝90(元）.張家收入是90×8＝720(元）,李家收入是90×5＝450（元）。本題也可以列出比例式：（8x－240)∶（5x－270）＝8∶3。然后求出x。事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術味道，而且一些數量關系也直觀些.
【例4】 A和B兩個數的比是8∶5，每一數都減少34后,A是B的2倍，求這兩個數。
解：減少相同的數34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數之差并沒有變，解題時要充分利用這一點。 8∶5,就是8份與5份，兩者相差3份。減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1。將前項與后項都乘以3，即2∶1＝6∶3，使兩者也相差3份.現在就知道34是8－6＝2(份）或5－3＝2（份).因此，每份是34∶2＝17. A數是17×8＝136,B數是17×5＝85。
本題也可以用例13解一“假設"方法求解，不過要把減少后的2∶1，改寫成8∶4。
【例5】 小明和小強原有的圖畫紙之比是4∶3，小明又買來15張。小強用掉了8張，現有的圖畫紙之比是5∶2。問原來兩人各有多少張圖畫紙？
解一:充分利用已知數據的特殊性。4＋3＝7，5＋2＝7，15－8＝7。原來總數分成7份，變化后總數仍分成7份,總數多了7張，因此，新的1份＝原來1份＋1原來4份，新的5份，5－4＝1，因此，新的1份有15－1×4＝11(張).小明原有圖畫紙11×5－15＝40（張),小強原有圖畫紙11×2＋8＝30(張）。
解二：我們也可采用例13解一的“假設"方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數(實際上就
是通分) 4∶3＝20∶15，5∶2＝20∶8.
假設小強也買來15×3/4＝45/4（張)，那么變化后的比仍應是20：15,但現在是20:8，因此這個比的每一份是(45/8＋8）÷(15－8）＝11/4.小明現有20×11/4＝55（張）,原有55－15＝40（張）；小強現有8×11/4＝22（張），原有22＋8＝30（張）。當然，也可以采用實質上與解方程完全相同的圖解法。
解三：設原來小明有4“份”，小強有3“份”圖畫紙。
把小明現有的圖畫紙張數乘2，小強現有的圖畫紙張數乘5，所得到的兩個結果相等.我們可以畫出如下示意圖：從圖上可以看出，3×5－4×2＝7（份）相當于圖畫紙15×2＋8×5＝70(張）。因此每份是10張,原來小明有40張，小強有30張。
備注：例1至5這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術方
法，卻可以充分利用已知數據的特殊性，找到較簡捷的解法,也啟示一些隨機應變的解題思路。另外,解方程的代數運算,對小學生說來是超前的，不容易熟練掌握。例3的解一，也是一種通用的方法?！凹僭O”這一思路是很有用的,希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應啟發小同學善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數據的特殊性。因此我們總是先講述靈巧的解法,利于心算，促進思維。
【例6】 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣。粗蠟燭可以點5小時,細蠟燭可以點4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍。問這兩支蠟燭點了多少時間?
解：設粗、細蠟燭長度是1,每小時粗蠟燭點去1/5，細蠟燭點去1/4，我們把問題改變一下：設細蠟燭長度是2，每小時點去2/4,問過多長時間兩支蠟燭長度相等。
現在兩者相關是(2－1），每小時能縮小差距（2/4－1/5），因此兩者相等需要時間是（2－1）÷（2/4－1/5）＝10/3(小時)。
把細蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”,思考就簡捷了。解這類問題這是常用的技巧。再請看一個稍復雜的例子。
【例7】 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經過若干次后，箱子里剩下3只白球,53只紅球,那么,箱子里原來紅球數比白球數多多少只？
解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球,每次取15只，最后應剩51只。
因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7×3＝21只,最后應剩 3×3＝ 9只。因此，共取了（51－ 3×3）÷（7×3－15)＝ 7（次）。
紅球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.白球有 7×7＋3＝52（只)原來紅球比白球多 158－52＝106（只）.
經典練習一
1、甲、乙兩堆火柴，從甲取50根火柴到乙堆，甲、乙兩堆火柴一樣多；從乙取40根火柴到甲堆，甲、乙兩堆火柴根數之比是4∶1。兩堆火柴各有多少根?
2、A，B兩種商品的價格之比是7∶3。如果它們的價格分別上漲70元后，價格之比是7∶4。這兩種商品原來的價格各是多少元?
3、甲有50張畫片，甲拿出乙有的畫片數的8倍給乙，現在乙有的畫片數是甲的2倍。問乙原來有多少張畫片？
4、兄、弟兩人，每月收入的比是4∶3，支出錢數的比18∶13。全年他們兩人都結余3600元，問每人每月收入各多少元？
5、一把小刀售價3元.如果小明買了這把小刀,小明與小強的錢數之比是2∶5；如果小強買了這把小刀,兩人錢數之比是8∶13。問
