畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告
信息與計(jì)算科學(xué)
幾何背景分析在高等代數(shù)課程學(xué)習(xí)中的作用
一、選題的背景、意義
1．選題的背景
我們知道高等代數(shù)與解析幾何之間的重復(fù)現(xiàn)象，在高等代數(shù)、解析幾何與近世代數(shù)、微分方程之間又何嘗沒(méi)有。因此統(tǒng)籌考慮代數(shù)類與幾何類的課程體系改革是必要的又是可能的。高代與近代之間是關(guān)系非常緊密、內(nèi)容也有重疊。如多元多項(xiàng)式，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形等。這些內(nèi)容在高代中論述相當(dāng)之麻煩，而在近代中可簡(jiǎn)捷明了論述清楚[1]。這樣在高代中棄之不講，而放在近世代數(shù)中可得到事半功倍之效。本世紀(jì)的微分幾何代表Cartan（卡當(dāng)）、陳省身所研究的問(wèn)題經(jīng)常是整體的、大范圍的，故常稱為整體微分幾何。他們使用的研究方法，如活動(dòng)標(biāo)架法，外微分形式等與代數(shù)理論關(guān)系可以說(shuō)是形影不離，微分幾何在一定意義上正在代數(shù)化。雖然大學(xué)微分幾何課主要講經(jīng)典微分幾何，以往的教法很少與代數(shù)聯(lián)系。現(xiàn)在則盡量利用代數(shù)語(yǔ)言與方法，如用非代數(shù)方法講解結(jié)構(gòu)方程與基本定理；用對(duì)稱變換講解主方向，主曲率，Gauss曲率與平面曲率等。這些講法不僅和高等代數(shù)、解析幾何、近世代數(shù)緊密聯(lián)連，而且更貫
穿了現(xiàn)代微分幾何的思想與方法[2]。當(dāng)然這也要求高等代數(shù)與解析幾何課更新有關(guān)內(nèi)容與之相適應(yīng)。這樣就強(qiáng)化了微分幾何與高等代數(shù)、解析幾何、近世代數(shù)的聯(lián)系，同時(shí)，也使古典微分幾何更現(xiàn)代化。
2．選題的意義
從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，代數(shù)與幾何關(guān)系已密不可分，相互依賴，早在歐式幾何原本那里，包括幾何數(shù)論和初等代數(shù)一些內(nèi)容，幾何與代數(shù)不加劃分，幾何學(xué)幾乎代表了全部數(shù)學(xué)，事實(shí)上英文書名為《Elements》。故應(yīng)譯為《原本》，而《幾何原本》“幾何”二字由利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯為中文時(shí)所添加上去。十四世紀(jì)初，人們承認(rèn)原理數(shù)后就有了用數(shù)表示線段的長(zhǎng)度，二、三維圖形的面積、體積等，阿拉伯人用代數(shù)方法解方程，然后用幾何圖形說(shuō)明所做步驟的原理。這種做法展示了代數(shù)與幾何之并行不悖，這種并行性的進(jìn)一步，充分發(fā)揚(yáng)并導(dǎo)致解析幾何的產(chǎn)生[3]。誠(chéng)然，解析幾何是以代數(shù)為工具來(lái)研究幾何問(wèn)題，因而我們
可本著“工欲善其事，必先利其器”的原則，我們可否先討論高等代數(shù)，而后用之解決解析幾何問(wèn)題？從本質(zhì)上看，解析幾何中的二次曲線，二次曲面的分類與線性代數(shù)中的二次型的分類可的說(shuō)是一回事。至今解析幾何課一直先于或同時(shí)與高等代數(shù)開(kāi)設(shè)。教師教得費(fèi)心，學(xué)生學(xué)得辛苦。例如，解析幾何中的共線共面，二次曲面的導(dǎo)向，漸近方向，主方向，共軛方向等，有了線性代數(shù)知識(shí)后，介紹起
來(lái)異常簡(jiǎn)單。其實(shí)這些內(nèi)容只不過(guò)是低維空間的線性代數(shù)而已。單在解析幾何課中學(xué)這些概念很難深透。試想把解析幾何中有關(guān)線性代數(shù)內(nèi)容去掉后，還需要多常時(shí)間講解析幾何？【4】
二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題
2.1 高等代數(shù)和解析幾何
2.1.1 高等代數(shù)的組成
高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（或數(shù)學(xué)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)系）最主要的基礎(chǔ)課程之一。高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容包括三個(gè)方面：線性代數(shù)，多項(xiàng)式理論，群、環(huán)、域的基礎(chǔ)概念。線性代數(shù)占的比重最大，它研究線性空間及其線性映射（包括具有度量的線性空間及與度量有關(guān)的線性變換）。多項(xiàng)式理論是研究一元和多元多項(xiàng)式環(huán)。群、環(huán)、域的基本概念是緊密結(jié)合多項(xiàng)式理論和線性變換（包括與度量有關(guān)的線性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項(xiàng)式環(huán)、矩陣環(huán)、線性變換環(huán)、模p剩余類域、正交群、酉群和辛群【5】。
2.1.2 解析幾何的范圍
代數(shù)幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，顧名思義，它把抽象代數(shù)的方法，特別是交換代數(shù)，與幾何的語(yǔ)言和問(wèn)題糅合在一起．在與復(fù)分析，拓?fù)洌瑪?shù)論等有多重聯(lián)系的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中，代數(shù)幾何占據(jù)了中
心位置。代數(shù)幾何最初研究多個(gè)變量的多項(xiàng)式方程組，它并不始于方程求解，而是至少掌握方程組的全部解，以得到某些解，這就把整個(gè)數(shù)學(xué)在概念和技術(shù)方面帶入了更深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，代數(shù)簇是它的最基本的研究對(duì)象。而分類問(wèn)題又是代數(shù)幾何中的主要研究課題，它起著引導(dǎo)代數(shù)幾何發(fā)展和進(jìn)步的作用。【5】
2.1.3 高等代數(shù)的幾何意義
線性代數(shù)實(shí)際上產(chǎn)生于解析幾何，線性代數(shù)的許多基本概念和方法都有很強(qiáng)的幾何背景，從幾何角度來(lái)學(xué)習(xí)線性比較容易理解，其效果比單純從代數(shù)角度來(lái)學(xué)習(xí)更好。幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法。數(shù)理邏輯是科學(xué)研究擅長(zhǎng)的思維方式，但人類對(duì)幾
何圖形的直觀認(rèn)識(shí)卻是與生俱來(lái)的，“數(shù)形結(jié)合”恰恰是聯(lián)系二者的橋梁。直觀的模型，形象的認(rèn)識(shí)，輔以邏輯推理，將有利于數(shù)學(xué)結(jié)論的理解和掌握。我們把通過(guò)對(duì)幾何圖形進(jìn)行觀察，根據(jù)直觀認(rèn)識(shí)的橫向遷移來(lái)解決其它數(shù)學(xué)分支相關(guān)問(wèn)題的方法稱為幾何直觀方法[6]
。高等代數(shù)是研究線性空間及其上的線性變換的學(xué)科，課程中大量的公式、定理、推論都是采用嚴(yán)格的演繹論證方法，抽象程度高，邏輯性強(qiáng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)很難深刻理解其中的抽象概念和復(fù)雜結(jié)論，學(xué)習(xí)效率不高[4]。利用幾何直觀方法，把抽象的問(wèn)題形象化，結(jié)合直觀的形象對(duì)抽象內(nèi)容加以理解，可以幫助學(xué)生理解概念，發(fā)現(xiàn)研究思路，有效開(kāi)展推理、猜想，直至問(wèn)題解決。因此，在教學(xué)中
運(yùn)用幾何直觀與演繹論證相結(jié)合的方法，不僅是學(xué)生學(xué)好高等代數(shù)的需要，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力和養(yǎng)成科學(xué)的思維品質(zhì)都具有十分重要的意義[7]。 2．2 幾何在高等代數(shù)中運(yùn)用的實(shí)例
2.2.1 幾何在線性方程中的運(yùn)用【1】
我們用解析幾何中直線的相交問(wèn)題來(lái)解決代數(shù)中有關(guān)線性方程組解的定理以及向量的線性相關(guān)性問(wèn)題可以使代數(shù)問(wèn)題變的很簡(jiǎn)單，下面我們給出1個(gè)例題及其的3種解法。
例1 設(shè)111122232333,,a b c a b c a b c ααα????????????===??????????????????
，則三條直線
1112223230,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=，其中220,1,2,3i i a b i +≠=，交于一點(diǎn)的充要條件是（ ）
（A ）123,,ααα線性相關(guān) （B ）123,,ααα線性無(wú)關(guān)
（C ）12312,,,)ααααα秩()=秩( （D ）123,,ααα線性相關(guān)，12,αα線性無(wú)關(guān)
解法一 ：首先，由條件220,1,2,3i i a b i +≠=知，120,0;αα≠≠
三條直線交于一點(diǎn)?線性方程組1230x y ααα++=有唯一解?3α由{}12,αα唯一表示?{}123,,ααα線性相關(guān)，且{}12,αα線性無(wú)關(guān)；
解法二 ：設(shè)矩陣123(,),(),x A B X y ααα??==-= ???
，則三條直線交于一點(diǎn)?線性方程組AX B =有唯一解?{}123()(|)2,,rank A rank A B ααα==?線性相關(guān)，且{}12,αα線性無(wú)關(guān)；
解法三 ：三條直線交于一點(diǎn)?線性方程組1230x y ααα++=有唯一解，其中由有解{}123,,ααα?線性相關(guān)，由有唯一解?線性方程組120x y αα+=的解空間為零空間，從而{}12,2rank αα=，得出{}12,αα線性無(wú)關(guān)；反之，由{}123,,ααα線性相關(guān)，且{}12,αα線性無(wú)關(guān)?3α由{}12,αα唯一表示，從而線性方程組1230x y ααα++=有唯一解； 以上題目給出了二維幾何空間中的三條直線交于一點(diǎn)的一個(gè)充要條件，通過(guò)它的求解 可以幫助我們把很多東西總結(jié)歸納連起來(lái)，比如：
1.用到了線性方程組的三種形式：
常規(guī)形式11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????????++???+=?向量形式1122n n x x x αααβ++???+=，其中, 1112112122221212,,,,n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==???==? ? ? ? ????????????? ? ? ? ?????????
矩陣形式AX B =，其中 1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A X B a a a x b ????????? ? ? ???? ? ? ?=== ? ? ????????????? ? ? ??????????
2.看到了線性方程組111122132112222331132233
000a x a x a a x a x a a x a x a ++=??++=??++=?有唯一解的幾何背景；
3.通過(guò)類比、聯(lián)想可以得出幾何空間3R 中很多幾何相關(guān)結(jié)論的代數(shù)判別方法，比如3
R
中四平面111122133142112222332431132233334
411422433440000
a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++=??+++=??+++=??+++=?交于一點(diǎn)?13111
2142321222412343331323443414244,,,a a a a a a a a a a a a a a a αααα???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
線性相關(guān)，131112232122123333132434142,,a a a a a a a a a a a ααα?????? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
線性無(wú)關(guān)()12344(,,,)3rank rank ααααα??=；又比如3R 中一條直線111213142122332400
a x a y a z a a x a y a z a +++=??+++=?與平面313233340a x a y a z a +++=相交1112131412122232342431323334,,,a a a a a a a a a a a a αααα???????? ? ? ? ??==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????線性相關(guān)，且111213121222323313233,,a a a a a a a a a ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
線性無(wú)關(guān)()12344(,,,)3rank rank ααααα??=。 4.通過(guò)求解，能熟悉串聯(lián)代數(shù)中的相關(guān)命題，比如： 線性方程組1122n n x x x a ααβ++???+=，其中
1112112122221212,,,,n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==???== ? ? ? ????????????? ? ? ? ?????????有唯一解β?由{}12,,,n ααα???唯一表示{}12,,,,n αααβ????線性相關(guān)，且{}12,,,n ααα???線性無(wú)關(guān){}{}1212(,,,,)(,,,)n n rank rank n αααβααα????=???=?矩陣方程AX B =，其中
111211121
2222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A X B a a a x b ????????? ? ? ???? ? ? ?=== ? ? ????????????? ? ? ??????????有唯一解。【1】
