框架柱計算長度系數法和二階分析設計法的比較
童根樹
金陽
（浙江大學土木系
杭州310027
）摘
要
對框架柱的計算長度系數法和二階分析設計法詳細列出設計公式進行了比較，詳細解釋了內力采用二階
分析時計算長度系數取1.0的原因。通過算例分析，對兩種分析設計方法進行了定量比較。對框架的比較表明，純框架如果采用二階分析方法設計，無需計算穩定性。關鍵詞
框架柱
計算長度系數法
二階分析設計法
C O M P A R I S O NB E T W E E NE F F E C T I V EL E N G T HA P P R O A C HA N DS E C O N
D -O R D
E R
A N A L Y S I SD E S I G NA P P R O A C HO FC O L U M NI NF R A M E
!"#$%&#’()*+#,-#$
（Z h e j i a n g U n i v e r s i t y H a n g
z h o u 310027）A B S T R A C T Ad e t a i l e dc o m p a r i s o nb e t w e e ne f f e c t i v e l e n g t ha p p r o a c ha n ds e c o n d -o r d e ra n a l y s i sd e s i g na p p
r o a c ho f c o l u m n i n f r a m e i s c a r r i e d o u t b y l i s t i n g r e s p e c t i v e f o r m u l a s ，a n d t h e r e a s o nw h y e f f e c t i v e l e n g t h f a c t o r i s t a k e n a s 1.0w h e n s e c o n d -o r d e r a n a l y s i s i s a d o p t e d i s c l e a r l y e x p l a i n e d .T h e n t w o e x a m p l e s a r e p r
e s e n t e d t o i l l u m i n a t e t h e q u a n t i t a t i v e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o d e s i g n a p p r o a c h e s o f c o l u m n i n f r a m e a n d i n d i c a t e t h a t t h e i n -p l a n e s t a b i l i t y o f u n b r a c e d f r a m e n e e d n o t b e e v a l u a t e d i f s e c o n d -o r d e r a n a l y s i s d e s i g n a p p r o a c h i s u s e d .K E Y W O R D S c o l u m n i n f r a m e
e f f e c t i v e l e n g t h a p p
r o a c h s e c o n d -o r d e r a n a l y s i s d e s i g n a p p
r o a c h 框架柱是鋼結構中最常見的一種構件。目前規范規定的框架柱設計方法主要有計算長度系數法和二階分析設計法。計算長度系數法又稱一階分析設計法，就是對框架柱進行一階線性內力分析和穩定計算；二階分析設計法嚴格地講只需對框架柱進行二階內力分析和強度計算，但是目前規范規定的二階分析設計法是近似的，因而為了安全起見規范仍然規定取計算長度系數為1.0進行穩定性驗算。本
文對框架柱的上述兩種設計方法進行了比較，以便于設計人員選擇設計方法時參考。
1規范規定的一階和二階分析設計法
按照現行的《鋼結構設計規范》（G B50017-2003
）〔1〕（以下簡稱“規范”），框架柱的內力可以按一階分析計算，也可以按二階分析計算。由于框架
柱同時承受彎矩和軸壓力，內力按一階分析時，框架柱的穩定性計算必須查表確定計算長度系數，然后計算長細比，進行穩定驗算。
“規范”規定強度計算公式為：
P
A n +M x γx W n x
≤f （1
）式中，A n 為凈截面面積；W n x 為對x 軸的凈截面模量；γx 為截面塑性發展系數；
P 為構件軸壓力，M x 為構件最大彎矩。
彎矩作用平面內的穩定性按下式計算：
P φ
x A +βm x M x γx W 1x （1-0.8P ／P ?E x ）≤f （2）式中，P ?E x E π2E A ／（1.1λ2x ）；φ
x 為彎矩作用平面內的軸心受壓構件穩定系數，由λx E μh ／i x 查表得到；μ是計算長度系數；W 1x 為受壓纖維的毛截面模量；βm
x 為等效彎矩系數，“規范”第5.2.2條對其取值有詳細規定。
第一作者：童根樹男1963年11月出生
教授
收稿日期：2004-09-08
框架柱采用二階彈性分析方法設計時，要按照式（3）、式（4
）進行強度和平面內穩定性計算，但是此時的彎矩為二階分析得到的彎矩：
P 2A n +M x 2
γx W n x
≤f （3
）P 2φx 2A +βm x 2M x 2γx W 1x
（1-0.8P 2P ?E x 2
）≤f （4）式（3）、式（4）和式（1）、式（2）形式相同，為了區別起見，在式（3
）、式（4）的有關量中加上下標2，表示與一階分析的不同。特別是P ?E x 2E π2E
A ?8
科研開發
鋼結構2005年第2期第20卷總第78期
（1.1λ2x 2）-1；λx 2E h ／i x ；φ
x 2由λx 2查表確定；P 2則近似地取一階分析的結果；β
m x 2E 0.35+0.65M 2／M 1。對于二階彈性分析，“規范”允許采用近似二階分析方法，并有如下規定：
1）對∑P ?Δu
∑H ?h >0.1的框架結構宜采用二階彈性分析，此時應在每層柱頂附加考慮假想水平力
H n i E αy Q i 2500.2+1n ?
s
，其中Q i 、n s 、αy 分別為第i 層的總重力荷載設計值、框架總層數、鋼材強度影響
系數，并且式中根號的值要小于1.0。這條規定實際上是通過一個假想水平力來考慮結構初始缺陷的影響。
2
）對純框架結構，當采用二階彈性分析時，各桿件桿端的彎矩M Ⅱ可用下列近似公式進行計算：M ⅡE M Ⅰb +α2i
M Ⅰs （5）α2i E 1／（1-∑P ?Δu ∑H ?h
）（6）式中，M Ⅰb 、M Ⅰs 分別為假定框架無側移、有側移時按一階彈性分析求得的各桿件端彎矩；α2i 為考慮二階效應第i 層桿件的側移彎矩放大系數；∑P 為所計算樓層各柱軸心壓力設計值之和；∑H 為產生層間側移Δu 的所計算樓層及以上各層的水平力之和；Δu 為按一階彈性分析求得的所計算樓層的層間側移；h 為所計算樓層的高度。2為什么內力采用二階分析時計算長度系數取1.0
嚴格地講，考慮結構的穩定問題就必須采用二階分析，因為分析結構的穩定性就是要在結構變形以后的位置上建立平衡關系，也就必須要考慮二階效應。因此，框架柱設計無論采用計算長度系數法還是二階分析設計法進行穩定性設計時，都必須考慮二階效應的影響，但是兩種方法的考慮途徑有所不同。
設懸臂壓桿存在初始缺陷：
y 0E d 0（1-c o s πx 2h ），y "0E d 0
（π2h ）2c o s πx 2h 則壓桿平衡微分方程為：
E I y （
V
）
+P y "E-P y "0
令y E d （1-c o s πx 2h
）
，由逆解法得：d +d 0E d 0
1-P ／P E ，其中P E E π2E I 4h
2。根據邊緣纖維屈服準則得到：
P A +P d 0
W x （1-P ／P E ）E f
y
上式化為：
σ2-［f y +σE （1+E ）］σ+σE f y
E 0式中，σE P ／A ；σE E P E ／A ；E E A d 0／W x 。根據上式得到著名的P e r r y
-R o b e r t s o n 公式：σm a x
E 12
［f y +（1+E ）σE ］-［f y +（1+E ）σE ］2-4σE f ?｛｝y 比值σm a x ／f y 被定義為穩定系數φ：φE 121+1+E -λ2-（1+1+E -λ2）2-4-λ
?
［
］
2式中， λE λ／λy ，λy E πE ／f ?y
。歐洲鋼結構設計規范E C 3采用的柱子穩定系數公式與上面的相似：
φE 121+1+α（-λ-0.2）-λ2-［1+1+α（-λ-0.2）-λ2］2-4-λ
?
｛
｝
2（7）相當于取E E α（ λ-0.2），對應a 、b 、c 曲線α取
0.206、0.339、0.489
。從上面推導過程可知，穩定系數φ可以近似地看作由以下三個步驟得到：1）考慮初始缺陷；2
）進行二階內力分析；3）進行最不利截面的強度計算。因此如果內力采用二階分析方法確定，又考慮了初始缺陷（“規范”中的假想水平力），那么只要進行強度校核就可以了，無需再進行穩定驗算。
但是考慮目前的二階分析方法是近似的，僅考慮了有側移的P -Δ效應，而沒有考慮無側移的P -δ效應，例如在上面懸臂柱的例子中：1
／（1-P ?P E -1）
是二階效應放大因子，但在“規范”中這個系數為1／［1-P h 3?（3E I ）
-1］是近似的；而且初始缺陷的影響也無法真實模擬，為了安全起見，“規范”仍然規定取計算長度系數為1.0進行穩定性計算。
為了進一步解釋內力采用二階分析時，計算長度系數無需查表確定，我們再考慮框架柱平面內穩
定計算公式（2
）
的來源。參考教科書〔2〕，內力采用二階分析后，受力最大截面的強度計算公式為：
P A +M x +P e *γx W 1x （1-P ／P E x ）
E f （8）式中，e *是用來考慮各種缺陷影響的壓桿等效初彎曲。令M x E 0時壓桿的承載力P E φx A f ，可以得到等效缺陷因子e *，將e *代入上式化簡得到：
P φ
x A +M x γx W 1x （1-φx P ／P E x ）E f （9）式（9）已經與式（2）接近，不同之處為φx P ／P E x 變為
0.8P ／P ?E x 。
因此可以說，采用一階分析內力的平面內穩定計算等效于采用二階分析內力和考慮初始缺陷影響的強度計算。既然是強度計算，當然沒有必要查計算長度系數。穩定系數中已經部分地包含了二階分
9
童根樹，等：框架柱計算長度系數法和二階分析設計法的比較
S t e e l C o n s t r u c t i o n .2005（2），V o l .20，N o .78
析，還包含了初始缺陷的影響。
為什么說穩定系數中僅僅包含了部分的二階效應。因為荷載產生的主彎矩還有二階效應，這部分
的二階效應在式（2）中用1／（1-0.8
P P ?E x ）考慮。3一階和二階分析設計方法對比
本文通過下面兩組算例對框架柱的兩種設計方法進行了定量比較。
3.1懸臂柱承載力分析
如圖1所示懸臂柱，在柱頂作用有豎向荷載P 和水平荷載Q ，P 與Q 的比值為k 。假定該柱在彎矩作用平面外有足夠的支撐，不會發生平面外失穩。一階分析設計法的柱底截面彎矩為M x E Q L ；二階分析設計法的柱底截面彎矩為M x 2E （Q +H n ）L 1-P ／P E x ，假想水平力為H n E P ／250。無論采用哪一種設計方法，根據“規范”5.2.2條規定對懸臂柱的等效彎矩系數βm x 均為1
.0，因而無論哪一種設計方法均由
穩定應力控制承載力。
懸臂柱承載力值一階和二階分析結果比較
k E P ／Q λx E 40（λx 2E
20），L E 371.354c m P 1P 2P 2／P 1λx E 80（λx 2E
40），L E 742.708c m P 1P 2P 2／P 10.2532.52732.50410.99929616.306916.30120.99965051124.888124.5580.997357663.088463.00260.998642237.195236.0450.9951517120.967120.6660.99751173338.875336.5990.9932837174.357173.7610.99658175516.238511.2340.9903068269.917268.5940.995098510
852.687
840.389
0.9855774460.853
457.55
0==============================================================.9928329k E P ／Q λx
E 120（λx 2
E 60），L E 1114.06c m P 1P 2P 2／P 1λx
E 160（λx 2
E 80），L E 1485.42c m
P 1P 2P 2／P 10.2510.8510.85951.00087568.1118.130071.0023511141.735641.89211.003749830.926731.21471.0093123279.491680.05811.007126558.304859.31191.0172733113.915115.0681.010121682.820284.82291.024********.659177.3281.0152812125.156129.6211.035675510
293.301
300.59
1.0248516
204.994
216.388
1.0555821
注：P 1、P 2分別為一階、
二階分析得到的承載力值。從表1可以看出：對圖1所示的b 類截面懸臂柱，一階分析設計法和二階分析設計法得到的承載力值基本接近，長細比大、豎向荷載大時出現一定的差別，但兩者的最大差值在5%以內。我們還對a 類、c 類截面懸臂柱進行了分析，結果類似。3.2單層框架的框架柱承載力分析
如圖2所示的單層框架，跨度為l ，高度為h ，在橫梁上作用有均布豎向荷載q ，柱頂作用有水平荷載Q ，水平荷載與豎向總荷載的比值為k
。假定框架在平面外有足夠的支撐不會發生平面外失穩。
科研開發
鋼結構2005年第2期第20卷總第78期
采用二階分析設計法時，框架內力按式（5）計算并同時在柱頂考慮附加假想水平力的影響。在圖2所示的豎向荷載和水平荷載作用下框架的右柱內力更為
不利，表2列出了其內力表達式，并給出了兩種設計方法的計算長度系數、等效彎矩系數的取值。
取l E 8000m m ，h E 5000m m ，
橫梁和柱的截表2圖2所示單層框架右柱的內力、層間側移表達式
參數計算長度系數法
二階分析設計法
柱頂截
面彎矩M 上E q
l 36*I x c I x b h +2I x c l +3Q h 2
2*
I x b 6I x b h +I x c l M 上2E q
l 36*I x c I x b h +2I x c l +α2i
3（Q +H n ）h 22*I x b 6I x b h +I x c
l 柱底截面彎矩M 下E q
l 312*I x c I x b h +2I x c l +Q h 2-3Q h 2
2*
I x b 6I x b h +I x c l M 下2E q
l 312*I x c I x b h +2I x c l +α2i
（Q +H n ）h 2-3（Q +H n ）h 22*I x b 6I x b h +I x c ［］
l 軸力P E q
l 2+3Q h 2
l *
I x b 6I x b h +I x c
l P 2E q
l 2+3Q h 2
l *I x b 6I x b h +I x c
l 層間側移Δu E 1E I x c （Q h 36-3Q h 4
4*
I x b
6I x b h +I x c
l ）計算長度系數
查“規范”附表D -2得到
μE
1.0等效彎
矩系數βm
x E 1.0（內力未考慮二階效應的無支撐純框架）βm
x 2E 0.65+0.35M 2M
1
，且|M 1|≥|M 2|（“規范”5.2.2條）注：I x b 、I x c 分別為梁截面慣性矩、柱截面慣性矩；α2i 由公式（6）確定；M 1、M 2為總的端彎矩，使構件產生同向曲率時取同號，使構件產生反向曲率時取異號。
面均采用H 型鋼H 500*300*8*14，鋼材為Q 235-B
。取不同的水平荷載和豎向荷載比值k （與懸臂柱的k 相反），對右柱進行驗算，當采用計算長度系數法時由平面內穩定控制承載力，利用式（2）進行平面內穩定驗算反求得到框架承載力值q 1，當采用二階分析設計法時，利用式（4）進行平面內穩定驗算反求得到承載力值q 21，利用式（3）進行強度驗算反求得到承載力值q 22
，結果見表3。表3單層框架柱一階和二階分析結果比較
k E Q ／（q l ）q 1q 21q 21／q 1q 22q 22／q 10.2572.752163.6312.24973.4281.009133.07680.8422.44433.2041.004218.25943.1152.36118.3311.004312.61129.4062.33212.6611.00457.79017.9792.3087.8221.00410
3.983
9.119
2.289
4.000
1.004
從表3得知，框架進行二階分析后，無需計算穩定性，總是由強度控制設計。
下面來看另一組框架，形式仍然如圖2，取不同的荷載比值k ，先通過P K P M 軟件初選截面，控制較不利右柱的穩定應力在200M P a 左右，所選截面見表4
。表4中第1組數據是特意選擇的，目的是希望獲得（∑P ?Δu ）／（∑H ?h ）>0.1的一個例子。為了達到這個目的，框架高度要達到25m 。由此可知實際工程中不太可能出現∑P ?Δu
∑H ?h
>0.1的情況。對上述這組框架的右柱進行設計驗算，計算長度系數法利用式（2
）進行平面內穩定驗算反求得到表4框架尺寸及梁柱截面型號
框架尺寸／m k 柱截面／m m 梁截面／m m 8*250.025H 500*300*8／10
H 500*300*8／14
8*50.05H 300*300*8／14H 500*300*8／148*50.25H 500*300*8／14H 500*300*8／148*51.0H 650*450*10／16
H 650*400*8／14
8*52.0
H 900*600*12／16H 700*500*10／16
8*5
5.0H 1200*1000*14／18H 900*600*14／18
承載力值q 1，二階分析設計法分別利用式（4）、式（3
）進行平面內穩定和強度驗算反求得到承載力值q 21、q 22
，結果見表5。表5表4中各框架柱一階和二階分析結果比較
k E Q ／（q l ）q 1q 21q 21／q 1q 22q 22／q 10.02569.477103.3931.48889.6811.2910.0572.988137.0281.87774.5771.0220.2572.752163.6312.24973.4281.0091.070.004161.7242.31070.1671.0022.068.879141.2972.05168.9691.0015.0
68.009
128.570
1.890
68.078
1.001
從表5可知，對于第一個例子，二階設計方法偏不安全，而且相差較大。
從表3、表5的數據可以看出：對于無支撐純框架采用計算長度系數法和二階分析設計法由穩定條件得到的承載力值差別很大。究其原因，不難發現：根據“規范”規定，采用計算長度系數法時，內力采用一階線性分析，等效彎矩系數βm x 取1.0；采用二階分析設計法時，內力采用二階分析，等效彎矩系數按βm
x 2E 0.65+0.35（M 2／M 1）取。由于框架柱的端彎矩M 1、M 2使其產生反向曲率，
故它們的比值取負，（下轉第40頁）
1
1童根樹，等：框架柱計算長度系數法和二階分析設計法的比較
S t e e l C o n s t r u c t i o n .2005（2），V o l .20，N o .78
工程設計
鋼結構2005年第2期第20卷總第78期
