電荷密度圖、能帶結(jié)構(gòu)、態(tài)密度的分析
能帶圖的橫坐標(biāo)是在模型對(duì)稱性基礎(chǔ)上取的K點(diǎn)。為什么要取K點(diǎn)呢？因?yàn)榫w的周期性使得薛定諤方程的解也具有了周期性。按照對(duì)稱性取K點(diǎn)，可以保證以最小的計(jì)算量獲得最全的能量特征解。能帶圖橫坐標(biāo)是K點(diǎn)，其實(shí)就是倒格空間中的幾何點(diǎn)。縱坐標(biāo)是能量。那么能帶圖應(yīng)該就是表示了研究體系中，各個(gè)具有對(duì)稱性位置的點(diǎn)的能量。我們所得到的體系總能量，應(yīng)該就是整個(gè)體系各個(gè)點(diǎn)能量的加和。
主要是從以下三個(gè)方面進(jìn)行定性/定量的討論：
1、電荷密度圖（charge density）；
2、能帶結(jié)構(gòu)（Energy Band Structure）；
3、態(tài)密度（Density of States，簡(jiǎn)稱DOS）。
電荷密度圖是以圖的形式出現(xiàn)在文章中，非常直觀，因此對(duì)于一般的入門級(jí)研究人員來講不會(huì)有任何的疑問。唯一需要注意的就是這種分析的種種衍生形式，比如差分電荷密
圖（def-ormation charge density）和二次差分圖（difference charge density）等等，加自旋極化的工作還可能有自旋極化電荷密度圖（spin-polarized charge density）。所謂“差分”是指原子組成體系（團(tuán)簇）之后電荷的重新分布，“二次”是指同一個(gè)體系化學(xué)成分或者幾何構(gòu)型改變之后電荷的重新分布，因此通過這種差分圖可以很直觀地看出體系中個(gè)原子的成鍵情況。通過電荷聚集（accumulation）/損失（depletion）的具體空間分布，看成鍵的極性強(qiáng)弱；通過某格點(diǎn)附近的電荷分布形狀判斷成鍵的軌道（這個(gè)主要是對(duì)d軌道的分析，對(duì)于s或者p軌道的形狀分析我還沒有見過）。分析總電荷密度圖的方法類似，不過相對(duì)而言，這種圖所攜帶的信息量較小。
成鍵前后電荷轉(zhuǎn)移的電荷密度差。此時(shí)電荷密度差定義為：delta_RHO = RHO_sc - RHO_atom
其中 RHO_sc 為自洽的面電荷密度，而 RHO_atom 為相應(yīng)的非自洽的面電荷密度，是由理想的原子周圍電荷分布堆徹得到的，即為原子電荷密度的疊加(a superposition of atomic charge densities)。需要特別注意的，應(yīng)保持前后兩次計(jì)算（自洽和非自洽）中的 FFT-mesh 一致。因?yàn)椋挥芯S數(shù)一樣，我們才能對(duì)兩個(gè)RHO作相應(yīng)的矩陣相減。
能帶結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)在在各個(gè)領(lǐng)域的第一原理計(jì)算工作中用得非常普遍了。首先當(dāng)然可以看出這個(gè)體系是金屬、半導(dǎo)體還是絕緣體。對(duì)于本征半導(dǎo)體，還可以看出是直接能隙還是間接能隙：如果導(dǎo)帶的最低點(diǎn)和價(jià)帶的最高點(diǎn)在同一個(gè)k點(diǎn)處，則為直接能隙，否則為間接能隙。
1）因?yàn)槟壳暗挠?jì)算大多采用超單胞（supercell）的形式，在一個(gè)單胞里有幾十個(gè)原子以及上百個(gè)電子，所以得到的能帶圖往往在遠(yuǎn)低于費(fèi)米能級(jí)處非常平坦，也非常密集。原則上講，這個(gè)區(qū)域的能帶并不具備多大的解說/閱讀價(jià)值。因此，不要被這種現(xiàn)象嚇住，一般的工作中，我們主要關(guān)心的還是費(fèi)米能級(jí)附近的能帶形狀。
2） 能帶的寬窄在能帶的分析中占據(jù)很重要的位置。能帶越寬，也即在能帶圖中的起伏越大，說明處于這個(gè)帶中的電子有效質(zhì)量越小、非局域（non-local）的程度越大、組成這條能帶的原子軌道擴(kuò)展性越強(qiáng)。如果形狀近似于拋物線形狀，一般而言會(huì)被冠以類sp帶（sp-like band）之名（此陳述有待考證—博主加）。反之，一條比較窄的能帶表明對(duì)應(yīng)于這條能帶的本征態(tài)主要是由局域于某個(gè)格點(diǎn)的原子軌道組成，這條帶上的電子局域性非常
強(qiáng)，有效質(zhì)量相對(duì)較大。
3）如果體系為摻雜的非本征半導(dǎo)體，注意與本征半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行對(duì)比，一般而言在能隙處會(huì)出現(xiàn)一條新的、比較窄的能帶。這就是通常所謂的雜質(zhì)態(tài)(doping state)，或者按照摻雜半導(dǎo)體的類型稱為受主態(tài)或者施主態(tài)。
4） 關(guān)于自旋極化的能帶，一般是畫出兩幅圖：majority spin和minority spin。經(jīng)典的說，分別代表自旋向上和自旋向下的軌道所組成的能帶結(jié)構(gòu)。注意它們?cè)谫M(fèi)米能級(jí)處的差異。如果費(fèi)米能級(jí)與majority spin的能帶圖相交而處于minority spin的能隙中，則此體系具有明顯的自旋極化現(xiàn)象，而該體系也可稱之為半金屬（half metal）。如果majority spin與費(fèi)米能級(jí)相交的能帶主要由雜質(zhì)原子軌道組成，可以此為出發(fā)點(diǎn)討論雜質(zhì)的磁性特征。
5）做界面問題時(shí)，襯底材料的能帶圖顯得非常重要，各高對(duì)稱點(diǎn)之間有可能出現(xiàn)不同的情況。具體地說，在某兩點(diǎn)之間，費(fèi)米能級(jí)與能帶相交；而在另外的k的區(qū)間上，費(fèi)米能級(jí)正好處在導(dǎo)帶和價(jià)帶之間。這樣，襯底材料就呈現(xiàn)出各項(xiàng)異性：對(duì)于前者，呈現(xiàn)金屬性，而對(duì)于后者，呈現(xiàn)絕緣性。因此，有的工作是通過某種材料的能帶圖而選擇不同的面作為生長(zhǎng)面。具體的分析應(yīng)該結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果給出。
原則上講，態(tài)密度可以作為能帶結(jié)構(gòu)的一個(gè)可視化結(jié)果。很多分析和能帶的分析結(jié)果可以一一對(duì)應(yīng)，很多術(shù)語(yǔ)也和能帶分析相通。但是因?yàn)樗庇^，因此在結(jié)果討論中用得比能帶分析更廣泛一些。簡(jiǎn)要總結(jié)分析要點(diǎn)如下：
1） 在整個(gè)能量區(qū)間之內(nèi)分布較為平均、沒有局域尖峰的DOS，對(duì)應(yīng)的是類sp帶（此陳述有待考證—博主加），表明電子的非局域化性質(zhì)很強(qiáng)。相反，對(duì)于一般的過渡金屬而言，d軌道的DOS一般是一個(gè)很大的尖峰，說明d電子相對(duì)比較局域，相應(yīng)的能帶也比較窄。
2）從DOS圖也可分析能隙特性：若費(fèi)米能級(jí)處于DOS值為零的區(qū)間中，說明該體系是半導(dǎo)體或絕緣體；若有分波DOS跨過費(fèi)米能級(jí)，則該體系是金屬。此外，可以畫出分波（PDOS）和局域（LDOS）兩種態(tài)密度，更加細(xì)致的研究在各點(diǎn)處的分波成鍵情況。
3）從DOS圖中還可引入“贗能隙”（pudogap）的概念。也即在費(fèi)米能級(jí)兩側(cè)分別有兩個(gè)尖峰。而兩個(gè)尖峰之間的DOS并不為零。贗能隙直接反映了該體系成鍵的共價(jià)性的強(qiáng)弱：越寬，說明共價(jià)性越強(qiáng)。如果分析的是局域態(tài)密度（LDOS），那么贗能隙反映的則是相鄰兩個(gè)原子成鍵的強(qiáng)弱：贗能隙越寬，說明兩個(gè)原子成鍵越強(qiáng)。上述分析的理論基礎(chǔ)
可從緊束縛理論出發(fā)得到解釋：實(shí)際上，可以認(rèn)為贗能隙的寬度直接和Hamiltonian矩陣的非對(duì)角元相關(guān)，彼此間成單調(diào)遞增的函數(shù)關(guān)系。
4） 對(duì)于自旋極化的體系，與能帶分析類似，也應(yīng)該將majority spin和minority spin分別畫出，若費(fèi)米能級(jí)與majority的DOS相交而處于minority的DOS的能隙之中，可以說明該體系的自旋極化。
5）考慮LDOS，如果相鄰原子的LDOS在同一個(gè)能量上同時(shí)出現(xiàn)了尖峰，則我們將其稱之為雜化峰（hybridized peak），這個(gè)概念直觀地向我們展示了相鄰原子之間的作用強(qiáng)弱。
由于金屬的能帶有可能穿越fermi能級(jí)，從而引起總能計(jì)算時(shí)的不連續(xù)變化。為了避免這種情況，需要引入分?jǐn)?shù)的占據(jù)態(tài)smearing。
