祖沖之和π值的計(jì)算
祖沖之(429～500)，中國(guó)南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家．他在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是：
1．推算出圓周率π在不足近似值3.1415926和過(guò)剩近似值3.1415927之間，精確到小數(shù)點(diǎn)后7位．
2．和祖暅一起解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題，得到球體積公式，并提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的原理．
祖沖之，字文遠(yuǎn)，他是我國(guó)南北朝時(shí)期的一位杰出的科學(xué)家．祖沖之的祖籍在河北，但晉朝末年以來(lái)，北方連年混戰(zhàn)，民不聊生，中原地區(qū)的大量人口移到了南方，這就促進(jìn)了長(zhǎng)江流域的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)各方面的迅速發(fā)展．祖沖之的祖父就是這些移民中的一員．祖沖之出生在南方，他的幾代祖先都在南方做官，他的家庭具有濃厚的研究科學(xué)的傳統(tǒng)，祖家歷代對(duì)天文歷法都很有研究．據(jù)說(shuō)他的祖父掌管土木建筑，也懂得一些科學(xué)知識(shí)．在家庭的影響下，祖沖之從小就對(duì)天文學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣．
青年時(shí)祖沖之進(jìn)入了政府的學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——華林學(xué)省，專門從事學(xué)術(shù)活動(dòng)，后來(lái)他又擔(dān)任過(guò)大大小小的各種官職．但是做官并沒(méi)有使他放棄對(duì)科學(xué)的研究，他一生中對(duì)科學(xué)的研究孜孜不倦，并取得了杰出的成就．他的主要成就在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械制造三個(gè)領(lǐng)域．
在數(shù)學(xué)上，祖沖之研究過(guò)《九章算術(shù)》和劉徽為之所做的注解，同時(shí)給《九章算術(shù)》和劉徽的《重差》作過(guò)注解．他還寫過(guò)一部著作《綴術(shù)》．這部書被收入著名的《算經(jīng)十書》中，作為唐代國(guó)子監(jiān)算學(xué)課本．令人遺憾的是這些重要的文獻(xiàn)都已失傳，這是我國(guó)科學(xué)史上的一個(gè)重大損失．所幸的是在《隋書·律歷志》中留下了一小段祖沖之的關(guān)于圓周率工作的記載，他算出π的值在3.1415926和3.1415927之間，準(zhǔn)確到小數(shù)后7位，成為當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的成就．唐代的李淳風(fēng)在《九章算術(shù)》的注文中記載了祖沖之和兒子祖暅求球體積的方法，才使得這一成果能夠流傳下來(lái)．
在天文歷法方面，祖沖之創(chuàng)制了《大明歷》，這是以制成的年代命名的．這部歷法有許多革新突破點(diǎn)，例如最早將歲差引進(jìn)歷法；采用3391年加144個(gè)閏月的新閏周；首次精密測(cè)出交點(diǎn)月日數(shù)（27.21223）和回歸年日數(shù)（365.2428）等數(shù)據(jù)，并且發(fā)明了用圭表測(cè)量冬至前后若干天的正午太陽(yáng)影長(zhǎng)以定冬至?xí)r刻的方法，可以說(shuō)《大明歷》開(kāi)辟了歷法史的新紀(jì)元．
然而這樣一部?jī)?yōu)良的歷法上書皇帝要求頒布實(shí)行時(shí)，遭到宋孝武帝的寵臣戴法興的百般刁難，于是在朝廷上發(fā)生了激烈的爭(zhēng)論．戴法興認(rèn)為祖沖之引進(jìn)歲差、改革閏周等都違背了儒家經(jīng)典．戴法興指責(zé)祖沖之是“誣天背經(jīng)”，大力宣揚(yáng)日月運(yùn)行的規(guī)律“非凡夫所測(cè)”的不可知論觀點(diǎn)．祖沖之針鋒相對(duì)地寫了一篇辯駁的奏章．他表示“愿聞顯據(jù)，以核理實(shí)”“浮辭虛貶，竊非所懼”，并且引用歷史文獻(xiàn)和天象觀測(cè)的大量事實(shí)，逐條批駁了戴法興的論點(diǎn)，明確指出“天體運(yùn)行的規(guī)律，不是什么神圣的，不可捉摸的東西，是有形體可供觀察考驗(yàn)，有數(shù)據(jù)可以推算的”，科學(xué)在不斷進(jìn)步，人們不能“信古而疑今”．這場(chǎng)辯論充分體現(xiàn)了一位科學(xué)家不畏強(qiáng)權(quán)，敢于堅(jiān)持真理，勇于革舊創(chuàng)新的可貴品質(zhì)．但是，在祖沖之的有生之年，這部?jī)?yōu)秀的歷法未能頒布實(shí)行．
祖沖之在機(jī)械制造方面曾經(jīng)設(shè)計(jì)制造過(guò)利用水力加工糧食的水碓磨，銅制機(jī)件傳動(dòng)的指南車，一天能走百里的“千里船”以及一些陸上運(yùn)輸工具．他還設(shè)計(jì)制造過(guò)漏壺（古代的計(jì)時(shí)器）和巧妙的款器等．
此外，祖沖之還精通音律，是一位下棋能手，甚至寫過(guò)小說(shuō)，他的著述很多，可惜大部分都已失傳．他是我國(guó)歷史上少有的一位博學(xué)多才的人物．
為了紀(jì)念和表彰祖沖之在科學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)，莫斯科大學(xué)里排列著世界上最著名的科學(xué)家的雕像，祖沖之是其中之一．1961年，蘇聯(lián)發(fā)射宇宙火箭成功后，決定用世界上最著名的科學(xué)家的名字來(lái)作為月球上山谷的名字，于是月背面就有了以祖沖之命名的環(huán)形山．我國(guó)紫金山天文臺(tái)于1977年把該臺(tái)在1964年11月9日發(fā)現(xiàn)的1888號(hào)小行星命名為祖沖之……從此，祖沖之這個(gè)名字將與日月并存！
在人類的生活中，最常見(jiàn)的圖形之一是圓形的東西．例如：火紅的太陽(yáng)、皎潔的月亮，清晨的露珠，旋轉(zhuǎn)的年輪等等．逐漸地，人類在對(duì)這一類物體的觀察與研究中抽象出了一個(gè)幾何概念：圓．圓是人類最早認(rèn)識(shí)的幾何圖形之一，這個(gè)被人們視為最簡(jiǎn)單而美麗的圖形中包含著一個(gè)神秘的數(shù)：圓周率π，這是一個(gè)與直徑的大小無(wú)關(guān)的常數(shù)．
在人類的生產(chǎn)實(shí)踐中常常遇到需要計(jì)算圓的面積和周長(zhǎng)的問(wèn)題，這就引發(fā)了人們對(duì)于π值的探討．在遠(yuǎn)古時(shí)代，所取的π值是非常粗糙的．例如我國(guó)最早的一部古書《周髀算經(jīng)》中說(shuō)：“周三徑一”，即π＝3．這個(gè)值在古巴比倫和埃及人那里也曾被應(yīng)用．計(jì)算π的第一次科學(xué)嘗試歸功于古希臘的大數(shù)學(xué)家阿基米德．從他以后，對(duì)求得π的更精確的值成了古代數(shù)學(xué)的一個(gè)經(jīng)久不衰的課題，許多人為此付出了大量的心血和汗水．現(xiàn)在，人們對(duì)π值的
重視似乎已不在π值本身，而把每一次更精確的π值的得出看作人類對(duì)于自身毅力的檢驗(yàn)，π值成了各民族堅(jiān)韌不拔的毅力的象征．總的來(lái)說(shuō)，在漫長(zhǎng)的π值計(jì)算史中，人們所用的方法有兩種：古老的幾何方法和17世紀(jì)以后風(fēng)靡一時(shí)的分析方法．下面，我們就沿著時(shí)間的走廊來(lái)瀏覽一下π值簡(jiǎn)捷的年表．
公元前240年，阿基米德在他的論文《圓的量度》中記載了這樣一個(gè)方法：從圓內(nèi)接和外切正六邊形開(kāi)始，每次把邊數(shù)加倍，用這樣一系列的內(nèi)接和外切正多邊形來(lái)窮竭圓周，從而求得圓的周長(zhǎng)與其半徑之比．阿基米德求得了圓內(nèi)接與外切正九十六邊形的周長(zhǎng)，得到＜π＜．
公元263年，我國(guó)三國(guó)時(shí)代的著名數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)了利用圓的內(nèi)接正多邊形的面積接近于圓的面積的方法來(lái)計(jì)算圓周率，即割圓術(shù)．他的方法是以1尺為半徑作圓，作圓內(nèi)接正六邊形，然后逐漸倍增邊數(shù)，計(jì)算出正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形和正九十六邊形的面積，舍棄了分?jǐn)?shù)部分后，得π＝3.14，后人把3.14稱為“徽率”．
公元480年，祖沖之把圓周率的計(jì)算又向前推進(jìn)了一大步．他仍然采用劉徽的割圓術(shù)，一直算到圓的內(nèi)接正12288（6×2
11）邊形的邊長(zhǎng)，并算出了正12288和24576邊形的面積后推得π≈3.1415926．
在祖沖之的時(shí)代，還沒(méi)有紙和筆，只能用算籌在地上擺出數(shù)字和計(jì)算過(guò)程．從圓內(nèi)接正六邊形起，每次倍增直到內(nèi)接正12288邊形．每進(jìn)一步，都要把許多算籌按照加、減、乘、除、開(kāi)方、平方等11個(gè)步驟的同一運(yùn)算程序反復(fù)擺弄12次，而每次都是對(duì)9位數(shù)字進(jìn)行的，要完成這樣復(fù)雜的運(yùn)算，需要多么頑強(qiáng)的意志和嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作風(fēng)啊！
祖沖之還找到了兩個(gè)近似于π的分?jǐn)?shù)值，一個(gè)是，稱為約率，另一個(gè)，稱為密率，后者是祖沖之獨(dú)創(chuàng)的，因此，后人稱之為“祖率”，以紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家．
1429年，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家第一次打破了由祖沖之保持了1000多年的π值“世界紀(jì)錄”．他在《關(guān)于弦和正弦》一文中分別計(jì)算了圓內(nèi)接和圓外切805，306，368邊形（3×228邊形）的周長(zhǎng)，計(jì)算出2π＝6.2831853071795865，使圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后16位．
1579年，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家韋達(dá)由圓內(nèi)接6×216邊形算出π的9位小數(shù)，并且得到了π的第一個(gè)無(wú)窮乘積表達(dá)式
．
1610年，德國(guó)的魯?shù)婪蛴?62邊形計(jì)算π到小數(shù)點(diǎn)后第35位．這一工作幾乎耗費(fèi)了魯?shù)婪虍吷男难ナ篮螅藗優(yōu)榱思o(jì)念他，將這一值銘刻在他的墓碑上，并稱之為“魯?shù)婪驍?shù)”．
1630年，數(shù)學(xué)家格林貝爾格(Gtrienberger)把π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后39位，這是用古老的幾何方法計(jì)算π的最后的較為重要的嘗試了．
17世紀(jì)，隨著分析學(xué)的建立與擴(kuò)展，人們相繼發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)π的表達(dá)式．例如，1650年，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃里斯把π表示成下面的形式
1671年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家詹姆斯·格里高里得到無(wú)窮級(jí)數(shù)
當(dāng)x＝1時(shí)，此級(jí)數(shù)變?yōu)?/span>
但是用這些式子去計(jì)算π有一些問(wèn)題：要么計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，要么級(jí)數(shù)收斂速度太慢．例如，若要用最后一個(gè)公式把π計(jì)算得準(zhǔn)確到第6位數(shù)字，就必須計(jì)算公式的前2，000，000項(xiàng)．
1706年，英國(guó)的一個(gè)不太出名的數(shù)學(xué)家約翰·梅軟發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)公式：
使得計(jì)算π值的速度大大加快．他用此公式算π達(dá)100位小數(shù)．
人們花費(fèi)如此高昂的代價(jià)來(lái)求π的數(shù)值，其中有一個(gè)目的是想找出π值有什么規(guī)律．然而，由于林德曼在1882年證明了π是個(gè)超越數(shù)，也就是π的小數(shù)部分一定是無(wú)限而又不循環(huán)的．這樣，原來(lái)的目的再也沒(méi)有什么意義了．不過(guò)，人們還是不肯罷休．后來(lái)，數(shù)學(xué)家們又相繼找出了一系列公式，應(yīng)用這些公式，π的位數(shù)節(jié)節(jié)上升．
