熱力學(xué)費米分布的推導(dǎo)過程

熱力學(xué)費米分布的推導(dǎo)過程

熱力學(xué)費米分布的推導(dǎo)過程如下：

假設(shè)系統(tǒng)中有一組粒子，滿足費米-狄拉克統(tǒng)計。統(tǒng)計物理中的

費米子遵循泡利不相容原理，即同一量子態(tài)最多只能有一個粒子。根

據(jù)泡利不相容原理，每個量子態(tài)的粒子數(shù)要么為0（無粒子），要么為

1（有一個粒子）。

考慮一個費米氣體系統(tǒng)，由N個粒子組成，各占據(jù)不同的量子態(tài)。

假設(shè)每個粒子各自的能級為?i，共有ω個不同的量子態(tài)。根據(jù)費米

子的性質(zhì)，每個粒子的能級都要與其他粒子的能級不同。

我們希望計算出費米分布函數(shù)，即粒子占據(jù)每個量子態(tài)的概率。

設(shè)粒子占據(jù)第i個量子態(tài)的概率為f(i)，則占據(jù)其余量子態(tài)的概率為

1-f(i)。

根據(jù)統(tǒng)計物理的定義，粒子占據(jù)第i個量子態(tài)的概率應(yīng)滿足以下

兩個條件：

1. 粒子在所有量子態(tài)上的分布概率之和為1：∑[f(i) + (1-f(i))] =

∑1 = ω

2. 粒子在每個量子態(tài)上的概率與粒子的占據(jù)數(shù)之間有關(guān)：f(i) + (1-

f(i)) = 1，當(dāng)粒子數(shù)大于等于1時；f(i) + (1-f(i)) = 0，當(dāng)粒子

數(shù)等于0時。

考慮到不同的量子態(tài)是互相獨立的，我們可以根據(jù)各個量子態(tài)的

占據(jù)概率的獨立性，將整個系統(tǒng)的概率分布表示為各個量子態(tài)的概率

的乘積。

因此，我們定義費米分布函數(shù)f(i)為粒子占據(jù)第i個量子態(tài)的概

率。考慮到泡利不相容原理，每個量子態(tài)上最多只能有一個粒子，因

此我們可以寫出費米分布函數(shù)的形式：

f(i) = 1 / [exp[(?i - μ) / kT] + 1]

其中，?i為第i個量子態(tài)的能量，μ為化學(xué)勢，k為玻爾茲曼

常數(shù)，T為系統(tǒng)的溫度。

費米分布函數(shù)的形式給出了粒子占據(jù)各個量子態(tài)的概率。當(dāng)溫度

趨近于絕對零度時，由于費米分布函數(shù)中的指數(shù)項非常大，可以將其

近似為無窮大，費米分布函數(shù)則為0。這就對應(yīng)了費米子自由度下的全

滿能級，即費米能級以下的能級被占滿，費米能級以上的能級為空。

以上即為熱力學(xué)費米分布的推導(dǎo)過程。