自由電子費(fèi)米能級(jí)計(jì)算公式

自由電子費(fèi)米能級(jí)計(jì)算公式

費(fèi)米能級(jí)（Fermi Level）是半導(dǎo)體物理中的重要概念，不可不知。

前面幾節(jié)中介紹的能帶圖，描述了晶體中的電子所可能具有的能量值。打個(gè)不十

分恰當(dāng)?shù)谋扔鳎?/span>能帶圖就好比是在一個(gè)蜿蜒連綿的山區(qū)中，沿著高高低低、層層

重疊的山坡谷底，建造了許許多多的房子。每種晶體有各自獨(dú)特的建房方案。所

有這些房子都是單間房，因?yàn)殡娮咏^不與別人同居。每間房子，電子可能住進(jìn)去

了，也可能還沒住。電子到底住沒住？住進(jìn)某個(gè)房間的幾率是多少？一定的條件

下，電子是如何分布在這些房間中的？很遺憾，這些從能帶圖上看不出來(lái)。那么，

哪一個(gè)參數(shù)才會(huì)告訴我們這些信息呢？這個(gè)參數(shù)就是費(fèi)米能級(jí)。

所以，費(fèi)米能級(jí)并不高深神秘，只是具有能量量綱的某個(gè)數(shù)值而已。不過，一個(gè)

參數(shù)就能供給我們這么多的信息，這個(gè)數(shù)值也還是挺神的。

費(fèi)米能級(jí)可以告訴我們電子的分布情況，所以應(yīng)該和統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象有關(guān)。

物理學(xué)中有3種不同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：波爾茲曼統(tǒng)計(jì)、波色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)、和費(fèi)米狄

拉克統(tǒng)計(jì)。它們分別適用于三種不同性質(zhì)的微觀粒子：經(jīng)典粒子、玻色子、和費(fèi)

米子。相對(duì)于經(jīng)典粒子而言，玻色子和費(fèi)米子服從量子力學(xué)的規(guī)律。從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)

來(lái)看，它們和經(jīng)典粒子的不同之處是在于它們的不可區(qū)分性，或者說，玻色子和

費(fèi)米子是全同粒子。

什么是全同粒子呢？所謂全同粒子就是質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)完全相同的

粒子。以經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，即使兩個(gè)粒子的上述性質(zhì)全同，它們也仍然可以從運(yùn)

動(dòng)的不同軌道而被區(qū)分。但在量子力學(xué)中，由于測(cè)不準(zhǔn)原理，粒子沒有確定的軌

道，因而當(dāng)兩個(gè)粒子間距大大小于它們的德布羅意波長(zhǎng)時(shí)，就無(wú)法區(qū)分了。至于

費(fèi)米子和玻色子的不同秉性，我們?cè)?jīng)描述過一點(diǎn)點(diǎn)兒：費(fèi)米子是獨(dú)行俠，就像

電子那樣，必須每人單獨(dú)住一間房，而玻色子呢，則可以群居。

這3種粒子本性的不同，又如何影響它們的統(tǒng)計(jì)分配規(guī)律呢？讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單

的例子：兩個(gè)粒子（A、B）分住三間房子（F1、F2、F3）的情況，來(lái)體會(huì)這點(diǎn)。

圖10.1

我們最熟悉的是經(jīng)典粒子，就是等同于兩個(gè)‘人’住3間房子的情況，可能的方

案有圖10中所示的9種。因此，兩個(gè)經(jīng)典粒子入住的方法共有9種。如果這兩

個(gè)粒子是費(fèi)米子，則入住的方式只有1、2、3這三種。這是因?yàn)橘M(fèi)米子遵循泡利

不相容原理而排除了方案4、5、6；又因?yàn)樗鼈儫o(wú)法被區(qū)分而使得7、8、9完全

等同于1、2、3。對(duì)兩個(gè)玻色子來(lái)說，它們也不能被區(qū)分，但可以同住一間，所

以便有1到6六種分配方法。

有的讀者可能會(huì)問：“一間房是什么意思呢？是不是一個(gè)能級(jí)呢？”其實(shí)不是這

樣，這也是從能帶圖上看不出來(lái)的。更確切地說，一間房是指一個(gè)量子態(tài)。不同

的量子態(tài)由不同的量子數(shù)來(lái)決定。同樣的能量數(shù)值，還可以有多個(gè)量子態(tài)，因?yàn)?/span>

還可以有諸如角動(dòng)量、自旋等等的不同。

另外，這三種粒子，還有一個(gè)共同具有的有趣性質(zhì)：大家都喜歡住在低處，即能

量更小的地方。特別是在溫度接近絕對(duì)零度左右時(shí)，這些小粒子們的運(yùn)動(dòng)幾乎停

止了，一個(gè)個(gè)疲憊不堪，茍延殘喘，只要有可能，便都拼命想往低處靠，好像越

低越保險(xiǎn)似的。所以，經(jīng)典粒子和玻色子在接近0T時(shí)，全部都擠在那個(gè)最底層

0

的大房子里，就像無(wú)家可歸者擠在難民營(yíng)里一樣，反正又沒有什么‘泡利不相容

原理’來(lái)限制它們。

這時(shí)，費(fèi)米子倒顯出一點(diǎn)骨氣，它們?nèi)匀粓?jiān)持自己要獨(dú)居的風(fēng)格，井井有條地一

個(gè)一個(gè)排隊(duì)入住到給它們打造的‘單間’量子態(tài)中。由于它們要遵循泡利不相容

原理，所以就不可能所有的電子都住在底層，底層住滿后便第1、2、……地排

上去。粗略地說，最后那個(gè)電子入住的房間的高度（能量）的數(shù)值，便是費(fèi)米能

級(jí)。為什么這兒加上個(gè)‘粗略地說’呢，這是因?yàn)橐_地定義費(fèi)米能級(jí)，是需

要用點(diǎn)不怎么討人喜歡的公式的。

總之，大家現(xiàn)在明白了，費(fèi)米能級(jí)的概念的確很簡(jiǎn)單，不就是一個(gè)能量數(shù)值的標(biāo)

準(zhǔn)嗎。從剛才所說的意思，假設(shè)任何高度都連續(xù)地建有房間的話，那么，在這個(gè)

標(biāo)準(zhǔn)之下，房間全被住滿了；而在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之上的房間則全部空著。

以上的理解完全正確。不過，剛才所說的是接近絕對(duì)零度時(shí)的情況。如果溫度升

高一些，情況則略有不同。溫度升高了，電子的動(dòng)能增加了，它們不像原來(lái)那么

老實(shí)了，而是在房間里跳來(lái)跳去，也不太屑于那種要‘住得低一些’的老觀念，

而是四處窺探有無(wú)可乘之機(jī)！住在比較下面的電子伸頭一看，周圍房間上上下下

全都住滿了，太高的地方又跳不上去，所以，只好仍然規(guī)規(guī)矩矩地在原處待著，

集聚更多的內(nèi)力，等待溫度再升高。而那些靠近費(fèi)米能級(jí)、原來(lái)就住得比較高的

電子就有所希望啦。它們有的已經(jīng)蹦到比費(fèi)米能級(jí)還高的地方去了。溫度越高，

電子上蹦成功的可能性就越大。

所以，當(dāng)絕對(duì)溫度T不為0的時(shí)候，費(fèi)米能級(jí)并不是‘住了電子’，還是‘沒住

電子’的分界線。但是，對(duì)這種情況，物理學(xué)家費(fèi)米和狄拉克，各自獨(dú)立地導(dǎo)出

了一個(gè)同樣的公式。看，公式終于出現(xiàn)了，這就是我們現(xiàn)在稱之為費(fèi)米狄拉克統(tǒng)

計(jì)分布的公式：

(10.1)

公式（10.1）中的E就是費(fèi)米能級(jí)，f（E）是占據(jù)能量為E量子態(tài)的電子數(shù)目。

F

所以說，費(fèi)米能級(jí)雖然只是一個(gè)數(shù)，但是，知道了這個(gè)數(shù)，就知道了在某一個(gè)溫

度下，電子入住各個(gè)房間的分配情況。這些房間的高度（E）可以低于費(fèi)米能級(jí)，

也可以高于費(fèi)米能級(jí)，只是電子住或不住的幾率有所不同而已。這兒的‘幾率’

便與表達(dá)式（10.1）有關(guān)。

綜上所述，溫度升高時(shí)，只有費(fèi)米能級(jí)附近的電子才容易跳來(lái)蹦去，參與熱躍遷，

或產(chǎn)生電荷的輸運(yùn)過程。而這也正是固體表現(xiàn)導(dǎo)電或不導(dǎo)電，決定各種物理性質(zhì)

的機(jī)制所在。所以，在能帶圖中，我們感興趣的也只是費(fèi)米能級(jí)附近的能帶結(jié)構(gòu)，

因?yàn)樗鼈儧Q定了電子（或空穴）的輸運(yùn)性質(zhì)。

圖10.2：費(fèi)米能級(jí)在不同材料能帶圖中的位置

在上一節(jié)中我們描述了第一布里淵區(qū)，它是波矢空間中的一塊區(qū)域。在波矢空間

中還定義了另一個(gè)與費(fèi)米能級(jí)有關(guān)的區(qū)域，叫做費(fèi)米面。

又有點(diǎn)迷惑吧？費(fèi)米能級(jí)不是一個(gè)數(shù)嗎，怎么又變成一個(gè)面了呢？一個(gè)數(shù)變成一

個(gè)面其實(shí)不難，比如說，給你一個(gè)數(shù)作為半徑，你立刻可以在三維空間中畫出一

個(gè)球面來(lái)。費(fèi)米面也是用這樣類似方法畫出來(lái)的，只不過不是在真實(shí)的三維坐標(biāo)

空間中畫，而是在三維的波矢空間（k空間）里畫的。換句話說，費(fèi)米面是在k

空間中的一個(gè)等能量面，這個(gè)面上的點(diǎn)的k值（k,k,k）不同，但對(duì)應(yīng)的能量

xyz

數(shù)值卻是相同的，等于費(fèi)米能級(jí)與最低能量態(tài)的差別，或稱‘費(fèi)米能’。

這里需要提醒讀者注意：我們從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律（10.1），定義了‘費(fèi)米能

級(jí)（FermiLevel）’，剛才又提到‘費(fèi)米能（Fermi Energy）’。這在某些場(chǎng)合，

比如處理費(fèi)米氣體的情況，是相關(guān)但不完全相同的兩個(gè)概念。不過在半導(dǎo)體文獻(xiàn)

中卻經(jīng)常被混淆地用作同義詞。因此，我們也不嚴(yán)格區(qū)分它們，只不過一般只說

‘費(fèi)米能級(jí)’。

現(xiàn)在，考察一下第7節(jié)中討論過的自由電子，也就是忽略晶格離子作用時(shí)，能帶

為拋物線的那種情況。這時(shí)，能量正比于k矢量絕對(duì)值的平方，因此，等能量面

都是球面，自由電子的費(fèi)米面沒有例外，當(dāng)然也是球面。既然自由電子的費(fèi)米面

是球面，也就有了費(fèi)米球、費(fèi)米海、費(fèi)米半徑之類的相應(yīng)定義。