數(shù)學(xué)史研究報(bào)告

數(shù)學(xué)史的課題研究

一、前言

數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動，為古中國六藝之一，亦被古希

臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn)。數(shù)學(xué)的希臘語μαθηματικ??

（mathematikós）意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”，源于μ?θημα（máthema）

（“科學(xué)，知識，學(xué)問”）。

數(shù)學(xué)最早用于人們計(jì)數(shù)、天文、度量甚至是貿(mào)易的需要。這些需

要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對結(jié)構(gòu)、空間以及時(shí)間的研究。對結(jié)構(gòu)的

研究是從數(shù)字開始的，首先是從我們稱之為初等代數(shù)的——自然數(shù)和

整數(shù)以及它們的算術(shù)關(guān)系式開始的。更深層次的研究是數(shù)論。對空間

的研究則是從幾何學(xué)開始的，首先是歐幾里得幾何和類似于三維空間

（也適用于多或少維）的三角學(xué)。后來產(chǎn)生了非歐幾里得幾何，在相

對論中扮演著重要角色。到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)及三角學(xué)等初

等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的

量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一

步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)

展，數(shù)學(xué)有著久遠(yuǎn)的歷史。它被認(rèn)為起源于人類早期的生產(chǎn)活動; 中

國古代的六藝之一就有“數(shù)”，數(shù)學(xué)一詞在西方有希臘語詞源。

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質(zhì)的多少、時(shí)間的長

短等抽象的數(shù)量關(guān)系，如時(shí)間－日、季節(jié)和年。算術(shù)(加減乘除)也自

然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑亦證實(shí)了當(dāng)時(shí)已有幾何的知識。已知最

古老的數(shù)學(xué)工具是發(fā)現(xiàn)于斯威士蘭列朋波山的列朋波骨，大約是公元

前35,000年的遺物。它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29個(gè)不

同的缺口，使用計(jì)數(shù)婦女及跟蹤婦女的月經(jīng)周期。相似的文物也在非

洲和法國被出現(xiàn)，大約有35,000至20,000年之久，都與量化時(shí)間有關(guān)。

伊香茍骨發(fā)現(xiàn)于尼羅河上源之一的愛德華湖西北岸伊香茍地區(qū)（位于

剛果民主共和國東北部），年代大約有20,000年，上面刻了三組一系

列的條紋符號。常見的解釋是已知最早的質(zhì)數(shù)序列，亦有認(rèn)為是代表

六個(gè)陰歷月的紀(jì)錄。其他地區(qū)亦發(fā)現(xiàn)不同的史前記數(shù)系統(tǒng)，如符木或

于印加帝國內(nèi)用來儲存數(shù)據(jù)的奇普。在幾何學(xué)方面，公元前五千年的

古埃及前王朝時(shí)期即已出現(xiàn)用圖畫表示的幾何圖案。年代大約是公元

前三千年的英格蘭和蘇格蘭地區(qū)的巨石文化遺址中，也發(fā)現(xiàn)了融入幾

何觀念的設(shè)計(jì)，包括圓形、橢圓形和畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)。

從歷史時(shí)代的一開始，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等

相關(guān)計(jì)算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天

文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、

空間及時(shí)間方面的研究。

二、摘要

數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是什么？當(dāng)今數(shù)學(xué)究竟發(fā)展到了哪個(gè)階段？在

科學(xué)中的地位如何？與其它學(xué)科有什么聯(lián)系？這些問題大都不被全

面了解，而從數(shù)學(xué)史中可以找到這些問題的答案。

日本數(shù)學(xué)家藤天宏教授在第九次國際數(shù)學(xué)教育大會報(bào)告中指出，

人類歷史上有四個(gè)數(shù)學(xué)高峰：第一個(gè)是古希臘的演繹數(shù)學(xué)時(shí)期，它代

表了作為科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)的誕生，是人類“理性思維”的第一個(gè)重大

勝利；第二個(gè)是牛頓－萊布尼茲的微積分時(shí)期，它為了滿足工業(yè)革命

的需要而產(chǎn)生，在力學(xué)、光學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域獲得巨大成功；第三個(gè)

是希爾伯特為代表的形式主義公理化時(shí)期；第四個(gè)是以計(jì)算機(jī)技術(shù)為

標(biāo)志的新數(shù)學(xué)時(shí)期，我們現(xiàn)在就處在這個(gè)時(shí)期。而數(shù)學(xué)歷史上的三大

危機(jī)分別是古希臘時(shí)期的不可公度量，17、18世紀(jì)微積分基礎(chǔ)的爭論

和20世紀(jì)初的集合論悖論，它同前三個(gè)高峰有著驚人的密切聯(lián)系，這

種聯(lián)系絕不是偶然，它是數(shù)學(xué)作為一門追求完美的科學(xué)的必然。從這

種聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)追求的是清晰、準(zhǔn)確、嚴(yán)密，不允許有任何雜亂，

不允許有任何含糊，這時(shí)候就很容易認(rèn)識到數(shù)學(xué)的三大基本特征——

抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛應(yīng)用性。

同時(shí)，介紹必要的數(shù)學(xué)史知識可以在學(xué)習(xí)中對所學(xué)問題的背景產(chǎn)

生更加深入的理解，認(rèn)識到數(shù)學(xué)絕不是孤立的，它與其他很多學(xué)科都

關(guān)系密切，甚至是很多學(xué)科的基礎(chǔ)和生長點(diǎn)，對人類文明的發(fā)展起著

巨大的作用。從數(shù)學(xué)史上看，數(shù)學(xué)和天文學(xué)一直都關(guān)系密切，海王星

的發(fā)現(xiàn)過程就是一個(gè)很好的例子；它與物理學(xué)也密不可分，牛頓、笛

卡兒等人既是著名的數(shù)學(xué)家也是著名的物理學(xué)家。在我們所處的新數(shù)

學(xué)時(shí)期，數(shù)學(xué)（不僅僅是自然科學(xué)）逐步進(jìn)入社會科學(xué)領(lǐng)域，發(fā)揮著

意想不到的作用，可以說一切高技術(shù)的背后都有某種數(shù)學(xué)技術(shù)支持，

數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代的一個(gè)重要特征。這些認(rèn)識是很有必

要，也是必不可少的。 三、關(guān)鍵字

數(shù)學(xué)的發(fā)展、數(shù)學(xué)史的研究范圍、數(shù)學(xué)史的研究內(nèi)容及形式、研

究數(shù)學(xué)史的重要意義

四、內(nèi)容

（一）數(shù)學(xué)的發(fā)展

1.古代在中國。南北朝是中國古代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展時(shí)期，計(jì)有《孫

子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作問世。祖沖之、

祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性。他們著重進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)

學(xué)推理，在前人劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一步。根據(jù)史料

記載，其著作《綴術(shù)》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小

數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的約率為

22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值；

歐洲直到16世紀(jì)德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）

才得出同樣結(jié)果。②祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積公式，

并提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（“冪勢既同則積不

容異”）定理；歐洲17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（Cavalieri）才提

出同一定。

賈憲在《黃帝九章算法細(xì)草》中提出開任意高次冪的“增乘開方

法”，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發(fā)現(xiàn)；賈憲的二項(xiàng)式定理

系數(shù)表與17世紀(jì)歐洲出現(xiàn)的“巴斯加三角”是類似的。秦九韶是南宋

時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家。1247年，他在《數(shù)書九章》中將“增乘開方法”

加以推廣，論述了高次方程的數(shù)值解法，并且例舉20多個(gè)取材于實(shí)踐

的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀(jì)意大利人菲爾洛才提

出三次方程的解法。

2.近代在歐洲。數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興時(shí)期取得了重要發(fā)展，三、四次

方程的解法被發(fā)現(xiàn)。意大利人卡爾達(dá)諾在他的著作《大術(shù)》中發(fā)表了

三次方程的求根公式，但這一公式的發(fā)現(xiàn)實(shí)應(yīng)歸功于另一學(xué)者塔塔利

亞。四次方程的解法由卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)，在《大術(shù)》中也

有記載。邦貝利在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用

了虛數(shù)，還改進(jìn)了當(dāng)時(shí)流行的代數(shù)符號。符號代數(shù)學(xué)是由16世紀(jì)的法

國數(shù)學(xué)家韋達(dá)確立的。他于1591年出版了《分析方法入門》，對代數(shù)

學(xué)加以系統(tǒng)的整理，第一次自覺地使用字母來表示未知數(shù)和已知數(shù)。

韋達(dá)在他的另一部著作《論方程的識別與訂正中，改進(jìn)了三、四次方

程的解法，還建立了二次方程和三次方程方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，

現(xiàn)代稱之為韋達(dá)定理。 三角學(xué)在文藝復(fù)興時(shí)期也獲得了較大的發(fā)展。

德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯的《論各種三角形》是歐洲第一部獨(dú)立于天

文學(xué)的三角學(xué)著作。書中對平面三角和球面三角進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述，

還有很精密的三角函數(shù)表。哥白尼的學(xué)生雷蒂庫斯在重新定義三角函

數(shù)的基礎(chǔ)上，制作了更多精密的三角函數(shù)表。法國人笛卡兒于1637

年，在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。費(fèi)馬建立了求切

線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻(xiàn)。

其將不定方程的研究限制在整數(shù)范圍內(nèi)，從而開始了數(shù)論這門數(shù)學(xué)分

支。在和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——

數(shù)學(xué)期望的概念。

3.現(xiàn)代沒有定論，應(yīng)該是美國。因?yàn)楹芏嗫茖W(xué)都離不開數(shù)學(xué)，特

別是物理學(xué)，而數(shù)學(xué)和物理學(xué)又關(guān)系到武器等等。從美國的武器應(yīng)該

可以看出該國的實(shí)力。另外，現(xiàn)在世界性的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)共有48個(gè)，美國頒

發(fā)的就有近20個(gè)，而獎(jiǎng)項(xiàng)得主也以美國為最，這也應(yīng)該可以從一個(gè)側(cè)

面看出來。

（二）研究范圍及內(nèi)容:

1.按研究的范圍又可分為內(nèi)史和外史。內(nèi)史：從數(shù)學(xué)內(nèi)在的原因

（包括和其他自然科學(xué)之間的關(guān)系）來研究數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；外史：

從外在的社會原因（包括政治、經(jīng)濟(jì)、哲學(xué)思潮等原因）來研究數(shù)學(xué)

發(fā)展與其他社會因素間的關(guān)系。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)研究的各個(gè)分支，和社

會史與文化史的各個(gè)方面都有著密切的聯(lián)系，這表明數(shù)學(xué)史具有多學(xué)

科交叉與綜合性強(qiáng)的性質(zhì)。

2.從研究材料上說，考古資料、歷史檔案材料、歷史上的數(shù)學(xué)原

始文獻(xiàn)、各種歷史文獻(xiàn)、民族學(xué)資料、文化史資料，以及對數(shù)學(xué)家的

訪問記錄，等等，都是重要的研究對象，其中數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)是最常用

且最重要的第一手研究資料。從研究目標(biāo)來說，可以研究數(shù)學(xué)思想、

方法、理論、概念的演變史；可以研究數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會的互動關(guān)

系；可以研究數(shù)學(xué)思想的傳播與交流史；可以研究數(shù)學(xué)家的生平等等。

3. 總結(jié)數(shù)學(xué)史所研究的內(nèi)容是：數(shù)學(xué)史研究方法論問題、數(shù)學(xué)

史通史、數(shù)學(xué)分科史、不同國家、民族、地區(qū)的數(shù)學(xué)史及其比較、不

同時(shí)期的斷代數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家傳記、數(shù)學(xué)思想、概念、數(shù)學(xué)方法發(fā)展

的歷史、數(shù)學(xué)發(fā)展與其他科學(xué)、社會現(xiàn)象之間的關(guān)系、數(shù)學(xué)教育史、

數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)學(xué)。

（三）重要意義

1、科學(xué)意義

每一門科學(xué)都有其發(fā)展的歷史，作為歷史上的科學(xué)，既有其歷史

性又有其現(xiàn)實(shí)性。其現(xiàn)實(shí)性首先表現(xiàn)在科學(xué)概念與方法的延續(xù)性方

面，今日的科學(xué)研究在某種程度上是對歷史上科學(xué)傳統(tǒng)的深化與發(fā)

展，或者是對歷史上科學(xué)難題的解決，因此我們無法割裂科學(xué)現(xiàn)實(shí)與

科學(xué)史之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)科學(xué)具有悠久的歷史，與自然科學(xué)相比，數(shù)

學(xué)更是積累性科學(xué)，其概念和方法更具有延續(xù)性，比如古代文明中形

成的十進(jìn)位值制記數(shù)法和四則運(yùn)算法則，我們今天仍在使用，諸如費(fèi)

爾馬猜想、哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現(xiàn)代數(shù)論

領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)史材料可以在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究中

獲得發(fā)展。國內(nèi)外許多著名的數(shù)學(xué)大師都具有深厚的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)或者

兼及數(shù)學(xué)史研究，并善于從歷史素材中汲取養(yǎng)分，做到古為今用，推

陳出新。中國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生早年在拓?fù)鋵W(xué)研究領(lǐng)域取得杰出

成就，七十年代開始研究中國數(shù)學(xué)史，在中國數(shù)學(xué)史研究的理論和方

法方面開創(chuàng)了新的局面，特別是在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)機(jī)械化思想的啟發(fā)

下，建立了被譽(yù)為“吳方法”的關(guān)于幾何定理機(jī)器證明的數(shù)學(xué)機(jī)械化

方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典范。

2、文化意義

美國數(shù)學(xué)史家M.克萊因曾經(jīng)說過：“一個(gè)時(shí)代的總的特征在很大

程度上與這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)活動密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個(gè)時(shí)代尤

為明顯”。“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要

是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、

哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)影響著政治家和神學(xué)家的

學(xué)說”。數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現(xiàn)代文化

的主要力量。因而數(shù)學(xué)史是從一個(gè)側(cè)面反映的人類文化史，又是人類

文明史的最重要的組成部分。許多歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，了解

古代其他主要文化的特征與價(jià)值取向。古希臘（公元前600年-公元前

300年）數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理和由此得出的結(jié)論，因此他們不關(guān)心

這些成果的實(shí)用性，而是教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，和激發(fā)人們對

理想與美的追求。通過希臘數(shù)學(xué)史的考察，就十分容易理解，為什么

古希臘具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)、極端理性化的哲學(xué)，以及理

想化的建筑與雕塑。而羅馬數(shù)學(xué)史則告訴我們，羅馬文化是外來的，

羅馬人缺乏獨(dú)創(chuàng)精神而注重實(shí)用。

3、教育意義

當(dāng)我們學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)史后，自然會有這樣的感覺：數(shù)學(xué)的發(fā)展并不

合邏輯，或者說，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們今日所學(xué)的數(shù)學(xué)教科書

很不一致。我們今日中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上屬于17世紀(jì)微積分學(xué)

以前的初等數(shù)學(xué)知識，而大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的大部分內(nèi)容則是17、18

世紀(jì)的高等數(shù)學(xué)。這些數(shù)學(xué)教材業(yè)已經(jīng)過千錘百煉，是在科學(xué)性與教

育要求相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，是將歷史上的數(shù)學(xué)材料

按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)要求加以取舍編纂的知識體系，這樣就必

然舍棄了許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實(shí)際背景、知識背景、演化歷程

以及導(dǎo)致其演化的各種因素，因此僅憑數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲得數(shù)

學(xué)的原貌和全景，同時(shí)忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現(xiàn)實(shí)科學(xué)或許

有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補(bǔ)這方面不足的最好途徑就是通過數(shù)學(xué)

史的學(xué)習(xí)。

（五）總結(jié)

在一般人看來，數(shù)學(xué)是一門枯燥無味的學(xué)科，因而很多人視其為

畏途，從某種程度上說，這是由于我們的數(shù)學(xué)教科書教授的往往是一

些僵化的、一成不變的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容

而讓數(shù)學(xué)活起來，這樣便可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有助于學(xué)生對

數(shù)學(xué)概念、方法和原理的理解與認(rèn)識的深化。科學(xué)史是一門文理交叉

學(xué)科，從今天的教育現(xiàn)狀來看，文科與理科的鴻溝導(dǎo)致我們的教育所

培養(yǎng)的人才已經(jīng)越來越不能適應(yīng)當(dāng)今自然科學(xué)與社會科學(xué)高度滲透

的現(xiàn)代化社會，正是由于科學(xué)史的學(xué)科交叉性才可顯示其在溝通文理

科方面的作用。通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)，可以使數(shù)學(xué)系的學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專

業(yè)訓(xùn)練的同時(shí)，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，文科或其它專業(yè)的學(xué)生通

過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以了解數(shù)學(xué)概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上

數(shù)學(xué)家的業(yè)績與品德也會在青少年的人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作

用。

中國數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)

達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就，其源遠(yuǎn)流

長的以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化數(shù)學(xué)模式與古希臘

的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響

世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。由于各種復(fù)雜的原因，16世紀(jì)以后中國落后了，經(jīng)

歷了漫長而艱難的發(fā)展歷程才漸漸匯入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流。由于教育上

的失誤，致使接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)文明熏陶的我們，往往數(shù)典忘祖，對祖國

的傳統(tǒng)科學(xué)一無所知。數(shù)學(xué)史可以使學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成

就，了解中國近代數(shù)學(xué)落后的原因，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)狀以及與

發(fā)達(dá)國家數(shù)學(xué)的差距，以激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，振興民族科學(xué)。