高中數(shù)學(xué)_基本不等式(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 知識(shí)與技能：了解基本不等式的幾何背景，探索基本不等式的證明

過(guò)程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最大（小）值問(wèn)題。

2. 過(guò)程與方法：進(jìn)一步讓學(xué)生探究不等式的代數(shù)證明，加深對(duì)基本不

等式的理解和認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生邏輯推理的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。

3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能

力，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1. 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探

索基本不等式的證明過(guò)程，基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

2. 教學(xué)難點(diǎn)：用基本不等式求最大值和最小值。

三、教材分析

最新版教材之所以把“基本不等式”前置是經(jīng)過(guò)了學(xué)習(xí)的重要性與可

能性兩方面的綜合考量。相比舊教材，“基本不等式”的教材地位與

教學(xué)要求都發(fā)生的變化，由于“基本不等式”本身內(nèi)涵非常豐富，其

學(xué)習(xí)過(guò)程不可能一蹴而就，“反復(fù)認(rèn)知，螺旋上升”才是課堂教學(xué)的

有效策略。

四、學(xué)情分析

本節(jié)課針對(duì)的是高一年級(jí)學(xué)生，知識(shí)上，剛系統(tǒng)學(xué)完了不等式性質(zhì)，

一元二次不等式，在初中階段，也了解了數(shù)學(xué)家趙爽“弦圖”推出勾

股定理，圓的垂徑定理，算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。方法上，能夠運(yùn)

用數(shù)形結(jié)合和化歸的思想提煉基本不等式，闡述基本不等式的幾何意

義。能力上，運(yùn)用作差法，綜合法能從數(shù)量關(guān)系上進(jìn)行邏輯推理驗(yàn)證

基本不等式。

五、教學(xué)方法

1、借助“折紙游戲”，從特殊到一般的猜想，發(fā)現(xiàn)基本不等式（數(shù)學(xué)

抽象、直觀想象）。

2、探索基本不等式的證明過(guò)程，會(huì)用作差比較法、綜合法，分析法，

證明基本不等式（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象）。

3、從不同角度理解基本不等式（直觀想象）。

4、感知與基本不等式相近一些不等式的證明（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）。

師生活動(dòng)： 設(shè)計(jì)意圖：

【新課導(dǎo)入】

教師：同學(xué)們，上節(jié)課我們從趙爽的弦圖中推導(dǎo)出重要不

等式，讓我們一起來(lái)回顧一下。通過(guò)比較四個(gè)直角三角形和其

拼接而成的正方形的面積大小，我們獲得了結(jié)論：任意a,b屬由簡(jiǎn)單

22

于R，有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。除了這種

a?b?2ab

問(wèn)題引入，通

幾何的證明方式，我們能否從代數(shù)的角度給出證明呢，哪位同

過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)

學(xué)來(lái)說(shuō)一下？

學(xué)生：比較法，做差得到大小關(guān)系。

的內(nèi)部提出

問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)

教師：非常好請(qǐng)坐。那現(xiàn)在我們來(lái)思考一個(gè)問(wèn)題，如果用

生自主學(xué)習(xí)

根a,b代替式子中的a和b，會(huì)得出什么樣的結(jié)論呢？

學(xué)生：

a?b?2ab

教師:那這個(gè)結(jié)論是如何得到的，又有哪些要求呢，下面

讓我們通過(guò)一個(gè)折紙游戲來(lái)探究一下。

【探索新知】

教師：請(qǐng)同學(xué)們看我手中的兩個(gè)正方形，面積分別是a和

b，沿對(duì)角線對(duì)折后，得到兩個(gè)三角形，則這個(gè)大三角形的面

能力，靈活運(yùn)

用已學(xué)知識(shí)，

體會(huì)證明的

答題過(guò)程。

積是？

學(xué)生齊答：a/2

教師：小三角形的面積是？

學(xué)生齊答：b/2 用折紙

教師：三角形的腰分別是？ 游戲、代數(shù)

學(xué)生齊答：根號(hào)a和根號(hào)b 法、幾何法分

教師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們小組互助動(dòng)手嘗試，看如何拼接翻折別得到基本

得到一個(gè)長(zhǎng)是根號(hào)a寬是根號(hào)b的矩形。 不等式的證

（學(xué)生上臺(tái)演示） 明過(guò)程，分析

教師：讓我們對(duì)比這兩個(gè)三角形的面積之和與矩形的面并理解。培養(yǎng)

積，能得到什么不等關(guān)系？ 學(xué)生分析問(wèn)

a?b

?ab

學(xué)生：

2

題的能力，感

受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

和推導(dǎo)過(guò)程

讓學(xué)生

主動(dòng)觀察、思

考、討論的氛

教師：歷史上，在實(shí)際的生產(chǎn)生活中得到了一些數(shù)學(xué)結(jié)論，

后經(jīng)數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)格證明得到了數(shù)學(xué)公式和定理，你能否利用

代數(shù)的方法得到這個(gè)結(jié)論

學(xué)生：比較法，做差得到大小關(guān)系。

教師：很好，那么我們得到的這個(gè)不等關(guān)系就稱作基本不

等式（板書）

基本不等式文字語(yǔ)言可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不

小于它們的幾何平均數(shù).

教師：接下來(lái)，讓我們共同探究，能否利用幾何的方法證

明基本不等式。觀察這個(gè)以直徑為一邊、圓內(nèi)接的一個(gè)三角形。

如何用a,b表示OD？

學(xué)生：

OD?

a?b

2

如何用a,b表示CD？ 圍.在教師的

學(xué)生：

DC?ab

觀察OD和DC，他們有什么不等關(guān)系？

指導(dǎo)下，一方

面讓學(xué)生經(jīng)

歷從特殊到

a?b

?ab

學(xué)生：ODDC，，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重

?

2

合，即當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立.

一般，從已知

到未知，步步

教師：圓的半徑長(zhǎng)不小于半弦長(zhǎng)，這就是基本不等式的幾

深入的過(guò)程。

何意義。

培養(yǎng)學(xué)生分

教師：讓我們一起來(lái)回顧一下，類比重要不等式，我們從

析問(wèn)題的能

代數(shù)和幾何兩個(gè)方法證明了基本不等式.在我們應(yīng)用它之前，

力，感受發(fā)現(xiàn)

a?b

?ab

問(wèn)題和推導(dǎo)

2

再對(duì)著黑板認(rèn)識(shí)一遍：首先.a,b大于0得到...注意

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

【例題應(yīng)用】

1

x?

下面我們學(xué)以致用看一下例題1:已知，求的最小

x?0

x

過(guò)程。

值.

教師：類比基本不等式，這道題中的a是

學(xué)生：x

教師：b是

1

學(xué)生：

x

x?

1

x

大于等于 教師：那么

培養(yǎng)學(xué)

生自主學(xué)習(xí)

1

2x·

學(xué)生：

x

教師：我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果x剛好

學(xué)生：消去了 能力，靈活運(yùn)

教師：得到定值 用已學(xué)知識(shí)，

學(xué)生：2 體會(huì)證明的

教師：當(dāng)且僅當(dāng) 答題過(guò)程

學(xué)生：時(shí)等號(hào)成立

x?

1

x

教師：這時(shí)我們得到的是

學(xué)生：最小值2

教師：好的，我們類比這道例題完成三個(gè)變式，這里請(qǐng)三

位同學(xué)上來(lái)板書

變式1：已知，求的最小值.

x?0

變式2：已知，求的最大值.

x?0

變式3：已知，求的最小值.

x?1

2x?

1

x

x?

1

x

1

x?1

x?

教師：我們看變式3，如果時(shí)，最值還是這個(gè)答案嗎

x?4

學(xué)生：不是

教師：原因是什么

學(xué)生：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)南嗟?/span>

教師：所以我們運(yùn)用基本不等式求最值的條件可以總結(jié)為

學(xué)生：一正、二定、三相等

教師：觀察我們例1和變式，我們發(fā)現(xiàn)在利用基本不等式

后兩正數(shù)之積為定值，這時(shí)我們能求出兩正數(shù)之和的最小值，

那么我們是否可以得到結(jié)論：

讓我們一起來(lái)證明一下

證明：?x?0,y?0,??xy

x?y

2

(1)當(dāng)積xy等于定值P時(shí)，即xy?P

x?y

?P,

2

?x?y?2P,

當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，上式等號(hào)成立，

?當(dāng)x?y時(shí)，和x?y有最小值2P

這里我們得到了第一個(gè)模型：

學(xué)生：積確定和有最小值

教師：那么當(dāng)和確定時(shí)我們能獲得什么結(jié)論呢？

學(xué)生：積最小

教師：那讓我們類比第一問(wèn)，證明第二問(wèn)

(1) 如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x?y時(shí),和x?y有最小值2P;

1

(2)如果和x?y等于定值S，那么當(dāng)x?y時(shí),積xy有最大值S.

2

4

（學(xué)生答案投影并講解）

教師：這里我們得到了第二個(gè)模型

學(xué)生：和確定積有最大值

教師：讓我們利用兩個(gè)模型完成練習(xí)，并總結(jié)出兩個(gè)結(jié)論

（1）已知a?0,b?0,ab?10,當(dāng)__________時(shí)，和a?b取得最小值__________;

（2）已知a?0,b?0,a?b?9,當(dāng)___________時(shí)，積ab取得最大值__________。

【歸納總結(jié)】

學(xué)生對(duì)本節(jié)課小結(jié)，教師作補(bǔ)充。

本節(jié)課通過(guò)重要不等式類比學(xué)習(xí)了基本不等式，通過(guò)代

數(shù)、幾何兩種方法證明。

利用基本不等式求最值

基本不等式的兩個(gè)模型：積定和最小，和定積最大

通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想，理解“形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)

少直觀”

【課堂小測(cè)】

學(xué)生三分鐘限時(shí)小測(cè)，學(xué)生對(duì)答案，解決問(wèn)題。

1.判斷對(duì)錯(cuò)：

(1) ?x,y?R,則x?y?2xy. ( )

1

的最小值為2a. ( )(2)當(dāng)a?0時(shí)，a?

2

a

1

(3)若x?2,則x?的最小值是2. ( )

x

1

(4)若x?0,則x?的最大值是-2. ( )

x

3

(5)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )

??

a＋b

2

??

. ( ) (6)若a>0，b>0，則ab≤

2

??

1

2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )

a

A．2 B．22 C．3 D．4

【作業(yè)布置】

A層：課本46頁(yè)1.2.3，48頁(yè)1.2

B層：課本46頁(yè)4（嘗試一題多解），48頁(yè)5

《基本不等式》學(xué)情分析

本節(jié)課針對(duì)的是高一年級(jí)學(xué)生，知識(shí)上，剛系統(tǒng)學(xué)完了不等式性

質(zhì)，一元二次不等式，在初中階段，也了解了數(shù)學(xué)家趙爽“弦圖”推

出勾股定理，圓的垂徑定理，算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。方法上，能

夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和化歸的思想提煉基本不等式，闡述基本不等式的幾

何意義。能力上，運(yùn)用作差法，綜合法能從數(shù)量關(guān)系上進(jìn)行邏輯推理

驗(yàn)證基本不等式。

《基本不等式》效果分析

基本不等式”雖然表現(xiàn)出很多“基本”的屬性，但實(shí)際上基本不

等式蘊(yùn)含了豐富背景與內(nèi)涵，需要深入挖掘；在運(yùn)用其解決最值問(wèn)題

時(shí)也并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依賴于變

形化簡(jiǎn)的技巧，需要花時(shí)間去掌握。因此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并

不是一蹴而就的，尤其是面對(duì)數(shù)學(xué)一些核心概念、重要的定理與公式，

一般需要經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象、由低級(jí)到高級(jí)，在已有

理解基礎(chǔ)上擴(kuò)展、深化的反復(fù)認(rèn)知過(guò)程。正是基于這個(gè)基本認(rèn)知規(guī)律

的考量，新教材對(duì)“基本不等式”采用了“螺旋上升”的設(shè)計(jì)策略，

整塊內(nèi)容被分為兩節(jié)，前后知識(shí)內(nèi)容雖然有適當(dāng)?shù)闹貜?fù)，但在學(xué)習(xí)要

求上逐步提高，并使后面的內(nèi)容成為前面內(nèi)容的擴(kuò)展和深化，從而使

教材體現(xiàn)出一個(gè)“因襲與擴(kuò)張”相融合的學(xué)習(xí)進(jìn)程。

《基本不等式》教材分析

最新版教材之所以把“基本不等式”前置是經(jīng)過(guò)了學(xué)習(xí)的重要性

與可能性兩方面的綜合考量。相比舊教材，“基本不等式”的教材地

位與教學(xué)要求都發(fā)生的變化，由于“基本不等式”本身內(nèi)涵非常豐富，

其學(xué)習(xí)過(guò)程不可能一蹴而就，“反復(fù)認(rèn)知，螺旋上升”才是課堂教學(xué)

的有效策略。

本節(jié)在前面研究不等式的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，展開了對(duì)一種具體的不

等式——基本不等式的研究。研究基本不等式的定義、幾何解釋、證

明方法與應(yīng)用。基本不等式與學(xué)生在初中學(xué)過(guò)的乘法公式有類似的作

用，乘法公式能夠簡(jiǎn)化某些特殊形式的代數(shù)式的恒等變形，而基本不

等式使解決滿足一定條件的代數(shù)式的最值問(wèn)題有路可循。

基本不等式可以通過(guò)許多有趣的方式建立起來(lái)，本節(jié)從重要不等

式、（上一節(jié)由第24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)中抽象得出）說(shuō)起，

取這個(gè)不等式的特殊形式，完成推導(dǎo)過(guò)程。教學(xué)中可以借助上一節(jié)的

會(huì)標(biāo)圖形，幫助學(xué)生從直觀上理解a與b是否相等與不等式a2十b2

≥2ab取什么符號(hào)之間的關(guān)系。

接下來(lái)，教科書闡述了基本不等式的代數(shù)解釋，這不僅有利于加

深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，而且與學(xué)生已有的平均數(shù)概念建立了聯(lián)

系，便于學(xué)生記憶這個(gè)不等式。

此外，教科書在本課時(shí)的練習(xí)和習(xí)題安排了利用基本不等式求代

數(shù)式的最大值或最小值的變式練習(xí)，如第46頁(yè)"練習(xí)"的第4題，習(xí)

題2.2的第1 題的第（1）小題，是通過(guò)變形構(gòu)造兩個(gè)正數(shù)的和為定

值或積為定值的問(wèn)題。教學(xué)中可以根據(jù)給定代數(shù)式的形式，結(jié)合基本

不等式的使用條件，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形。對(duì)于這類問(wèn)題，教

科書有意控制了這種變式問(wèn)題的難度，設(shè)置的問(wèn)題都是通過(guò)簡(jiǎn)單變形

就符合基本不等式應(yīng)用條件的問(wèn)題。教學(xué)中也要注意本部分內(nèi)容的教

學(xué)重點(diǎn)是"能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問(wèn)題"。

例1是用基本不等式求代數(shù)式最小值問(wèn)題中的最簡(jiǎn)情形.教科書

在解決問(wèn)題之前，先解釋了求代數(shù)式最小值的含義，在本例之后，還

強(qiáng)調(diào)了代數(shù)式的最小值必須是代數(shù)式能取到的值.本例的解答則從所

求代數(shù)式與基本不等式在形式上的聯(lián)系入手，教學(xué)中可以用"一正、

二定、三相等"這種通俗易懂的語(yǔ)言幫助學(xué)生理解和記憶能應(yīng)用基本

不等式解決問(wèn)題的特點(diǎn)。

例2讓學(xué)生用基本不等式證明兩類最值問(wèn)題。教科書設(shè)置例2的

目的，一是在例1的基礎(chǔ)上再給出一道直接利用基本不等式證明數(shù)學(xué)

問(wèn)題的例題;二是借此題的題干給出了利用基本不等式解決問(wèn)題的兩

個(gè)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型可知，有兩類最值問(wèn)題可以用基本

不等式解決，即"兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它

們的和有最小值"和"兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，

它們的積有最大值"，這就為第二課時(shí)解決例3，例4埋下了伏筆。

《基本不等式》課后反思

基本不等式雖然表現(xiàn)出很多“基本”的屬性，但實(shí)際上蘊(yùn)含了豐

富背景與內(nèi)涵，需要深入挖掘，結(jié)合學(xué)生自己已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，類

比重要不等式證明的兩個(gè)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念概括的過(guò)程，從具

體到一般的推廣過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生理性的思維能力，樹立了敢于批判

質(zhì)疑的意識(shí)，形成勇于探究思考的習(xí)慣。在運(yùn)用其解決最值問(wèn)題時(shí)也

并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依賴于變形化

簡(jiǎn)的技巧，需要花時(shí)間去掌握。因此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并不是

一蹴而就的，尤其是面對(duì)數(shù)學(xué)一些核心概念、重要的定理與公式，一

般需要經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象、由低級(jí)到高級(jí)，在已有理

解基礎(chǔ)上擴(kuò)展、深化的反復(fù)認(rèn)知過(guò)程。正是基于這個(gè)基本認(rèn)知規(guī)律的

考量，新教材對(duì)“基本不等式”采用了“螺旋上升”的設(shè)計(jì)策略，整

塊內(nèi)容被分為兩節(jié)，前后知識(shí)內(nèi)容雖然有適當(dāng)?shù)闹貜?fù)，但在學(xué)習(xí)要求

上逐步提高，并使后面的內(nèi)容成為前面內(nèi)容的擴(kuò)展和深化，從而使教

材體現(xiàn)出一個(gè)“因襲與擴(kuò)張”相融合的學(xué)習(xí)進(jìn)程。

在本次賽課的準(zhǔn)備階段經(jīng)過(guò)一次次的琢磨、改正、調(diào)整，我在專

業(yè)上得到了進(jìn)步，不僅對(duì)本節(jié)課有了更深的理解和把握，同時(shí)也加強(qiáng)

了我的教學(xué)基本功。在今后的授課當(dāng)中，也要本著“整合、精簡(jiǎn)、建

構(gòu)，提高”的方向去努力，提高我的教學(xué)能力。

《基本不等式》評(píng)測(cè)練習(xí)

【例1】已知，求的最小值.

x?0

x?

1

x

變式1：已知，求的最小值.

x?0

變式2：已知，求的最大值.

x?0

變式3：已知，求的最小值.

x?1

2x?

1

x

x?

1

x

1

x?1

x?

【例2】已知x，y都是正數(shù)，求證：

(1) 如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x?y時(shí),和x?y有最小值2P;

1

(2)如果和x?y等于定值S，那么當(dāng)x?y時(shí),積xy有最大值S.

2

4

練習(xí)：

（1）已知a?0,b?0,ab?10,當(dāng)__________時(shí)，和a?b取得最小值__________;

（2）已知a?0,b?0,a?b?9,當(dāng)___________時(shí)，積ab取得最大值__________。

當(dāng)堂檢測(cè)

1. 判斷對(duì)錯(cuò)：

(1) ?x,y?R,則x?y?2xy. ( )

1

(2)當(dāng)a?0時(shí)，a?的最小值為2a. ( )

2

a

1

(3)若x?2,則x?的最小值是2. ( )

x

1

(4)若x?0,則x?的最大值是-2. ( )

x

3

(5)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )

??

a＋b

2

??

. ( ) (6)若a>0，b>0，則ab≤

??

2

1

2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )

a

A．2 B．22 C．3 D．4

作業(yè)布置

A層：課本46頁(yè)1.2.3，48頁(yè)1.2

B層：課本46頁(yè)4（嘗試一題多解），48頁(yè)5

《基本不等式》課標(biāo)分析

六、教學(xué)目標(biāo)

4. 知識(shí)與技能：了解基本不等式的幾何背景，探索基本不等式的證明

過(guò)程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最大（小）值問(wèn)題。

5. 過(guò)程與方法：進(jìn)一步讓學(xué)生探究不等式的代數(shù)證明，加深對(duì)基本不

等式的理解和認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生邏輯推理的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。

6. 情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能

力，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。

七、教學(xué)重難點(diǎn)

3. 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探

索基本不等式的證明過(guò)程，基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

4. 教學(xué)難點(diǎn)：用基本不等式求最大值和最小值。