三角形中的重要線段

2023年12月10日發(作者：爆米花和野草莓)

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三角形中的重要線段

【知識要點梳理】

1．三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.（三角形三條角平分線交于三角形內一點）

2．三角形的中線：在三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線.（三角形的三條中線交于三角形內一點）

3．三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點與垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.（三角形的三條高所在的直線交于一點）

【典型例題探究】

例1. 在?ABC中，?A?60?,?B?70?,?ACB的平分線交AB于D，DE∥BC交AC于E，求?BDC和?EDC的度數．

例2．如圖，在?ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且BC=12，AC=8，AD=6，求BE的長？

例3.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,△ADC的周長比△ABD的周長多5cm,AB與AC的和為11cm,求AC的長.

C

D

B

A

C

D

B

E

A

C

E

A

D

B

例4.如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，且∠B=3∠BAD，求∠ADC的度數.

例5. 如圖?ABC的周長為18cm，BE、CF、AD分別為AC、AB、BC邊上的中線，且AF=3cm，AE=2cm，求BD的長．

C

D

A

B

A

F

O

B

D

E

C

【基礎達標演練】

一、選擇題

1．三角形的三條高所在直線的交點有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．以上都不對

2．三角形的三條中線的交點在三角形的（ ）

A．內部 B．外部 C．一邊上 D．以上情況都有可能

3．三角形的角平分線是（ ）

A．直線 B．射線 C．線段 D．射線或線段

4．三條高所在的直線的交點在三角形的外部，此三角形是（ ）

A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定

5. 如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ） A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定

6．下面說法錯誤的是（ ）

A．三角形的三條角平分線交于一點 B．三角形的三條中線交于一點

C．三角形的三條高交于一點 D．三角形的三條高所在的直線交于一點

7．能將一個三角形分成面積相等的兩個三角形的一條線段是（ ）

A．中線 B．角平分線 C．高線 D．三角形的角平分線

二、解答題

8．如圖，已知AB=AC，中線BD把?ABC周長分成12cm和15 cm，求腰和底的長.

B

C

D

A

【能力提升訓練】

1．如圖1，△ABC中，AD⊥BC，E、F是BC上的點，則以AD為高的三角形有______個.

2．如圖2，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是高，DE是△ABD的高，則與∠B互余的角有______________；與∠C相等的角有______________.

3. 如圖3，AB=7，AC=5，AD是中線，那么△ABD和△ADC的周長差是_______

4.?ABC中，?B?68?,?C?32?，AD和AE分別是?ABC的角平分線和高，求?DAE的度數．

B

E

D

C

A

B

E

F

D

C

圖1

B

D

圖2

C

B

D

圖3

E

A

A

A

C

5．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB、DF∥AC，EF交AD于點O，試問：DO是不是△DEF的角平分線？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

A

E

O

F

D

C

B

【走近中考前沿】

1.（2008白銀）如圖，網格小正方形的邊長都為1．在△ABC中，試畫出三邊的中線（頂點與對邊中點連結的線段），然后探究三條中線位置及其有關線段之間的關系，你發現了什么有趣的結論？請說明理由．

A

C

B

【數學競賽花園】

* 1. 如圖，在ΔABC中，∠A=52，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點D2，依次類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點D5，則∠BD5C的度數是：（ ）

A 60

O

OB 56O

C 94O

D 68O

* 2.閱讀下面問題及解答.

如圖（1），△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC=90°+1∠A=

211×180°＋∠A；如圖（2），△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分線交于O1、O2點，則22∠BO1C?2112?180???A，BO2C??180???A.根據以上信息：

3333（1）你能猜想出它的規律嗎？n等分時（內部有n?1個點），?BO1C?__________，?BOn?1C=______________（用含n的代數式表示）；

（2）根據你的猜想，當n?4時，說明?BO3C的度數成立的理由.

* 3.在△ABC中，∠A=75°，AC、AB邊上的高BE、CF所在直線交于H，

（1）若△ABC是銳角三角形，求∠BHC；

（2）若△ABC是直角三角形，求此兩條高的夾角 ；

（3）若△ABC是鈍角三角形，求此兩條高所在直線的夾角.

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